2020屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練：第13章推理與證明、算法、復(fù)數(shù)66Word版含解析

1、 【課時(shí)訓(xùn)練】第66節(jié)數(shù)學(xué)歸納法 一、選擇題 1. (2018 德州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“ 1 + 2 + 22 + 2n+2 = 2n +3 1”，在驗(yàn)證 n= 1 時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為() B. 1+ 2 D. 1+2+22+ 23 【答案】D 【解析】當(dāng) n= 1 時(shí)，左邊=1 + 2 + 22+ 23. 2. (2018 常德一模)數(shù)列an中，已知 a1 = 1,當(dāng) n2 時(shí)，a. a. -1 = 2n 1,依次計(jì)算 a2,比,a4后，猜想 a*的表達(dá)式是( ) A . 3n 2 B. n2 C. 3n 1 D. 4n 3 【答案】B 【解析】計(jì)算出 a1 = 1, a2 = 4

2、, a3 = 9, a4= 16.可猜想 an = n2. 3. (2018 沈陽調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明“ n3 + (n+ 1)3 + (n + 2)3(n N*)能被 9 整除”，利用歸納法假設(shè)證明 n= k+ 1 時(shí)，只需展開( ) A . (k+ 3)3 B . (k+ 2)3 C . (k+ 1)3 D . (k+ 1)3 + (k+ 2)3 【答案】A 【解析】假設(shè) n= k 時(shí)，原式 k3+(k+ 1)3+ (k+ 2)3能被 9 整除， 當(dāng) n=k+ 1 時(shí)，(k+1)3+(k+ 2)3 + (k+ 3)3為了能用上面的歸納假設(shè)， 只須將(k+ 3)3展開，讓其出現(xiàn) k3即可.

3、 4 . (2018 太原質(zhì)檢)平面內(nèi)有 n 條直線，最多可將平面分成 f(n) 個(gè)區(qū)域，則 f(n)的表達(dá)式為( ) A . n+ 1 n2 +n+ 2 c.2 1 A. 1 C. 1 + 2 + 22 B . 2n D . n2+n+ 1 【答案】C 【解析】1 條直線將平面分成 1 + 1 個(gè)區(qū)域；2 條直線最多可將平 面分成 1 + (1 + 2) = 4 個(gè)區(qū)域；3 條直線最多可將平面分成 1+(1 + 2 + 3)= 7 個(gè)區(qū)域；n 條直線最多可將平面分成 1 + (1 +2+3+ 2 n n+ 1 n +n+ 2 n) = 1 + 2 = 2 個(gè)區(qū)域. 5. (2018 山東荷澤

4、模擬)對于不等式 n2 1 3 4+nvn+1(n N*),某同 學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下： k2+3k+ 2 + k + 2 = k+ 22 = (k+1)+ 1,所以當(dāng) n = k+ 1 時(shí)，不 等式成立，則上述證法 ( ) A .過程全部正確 B . n= 1 驗(yàn)得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D .從 n = k 到 n = k+ 1 的推理不正確 【答案】D 【解析】在門=k+ 1 時(shí)，沒用 n= k 時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法. 從門=k 到 n=k+ 1 的推理不正確. 二、填空題 6. (2018 合肥檢測)已知 n 為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明 1-+ 1 1 1 * 1 1

5、丄、 4-1+廿=2喬 2+n+7+ 2n 時(shí)，若已假設(shè)n=k(k2, 且 k 為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證 n = _ 寸等 式成立. 【答案】k+ 2 【解析】n= k(k2,且 k 為偶數(shù))的下一個(gè)偶數(shù)為 k+2,根據(jù)數(shù) (1) 當(dāng) n= 1 時(shí)，“.12 + 1v 1 + 1,不等式成立. (2) 假設(shè)當(dāng) n = k(k N*且 k 1)時(shí)，不等式成立.即 k2 + kv k+1, 則當(dāng) n = k + 1 時(shí)，k +1 2 + k+1 = k2 + 3k+ 2 v學(xué)歸納法的步驟可知，應(yīng)填 k+ 2. 7. (2018 淮北三校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為且對任意 的

6、自然數(shù) n 都有：(& 1)2= anS,通過計(jì)算 Si, &,気 猜想 S.= 1 【解析】由(Si 1)2= S1 得：Si =2；由(S2 1)2= (S2 Si)S2得：S2 則當(dāng) n=k+1 時(shí)左端應(yīng)在 n= k 的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為 _ . 【答案】(k2+1)+(k2+2) + (k+ 1)2 【解析】 當(dāng) n = k 時(shí)，左端為 1+2 + 3+ k+(k+1)+(k+ 2) + + k2,則當(dāng) n=k+ 1 時(shí)，左端為 1 + 2+3+k2+ (k2 +1)+ (k2 + 2)+ (k+ 1)2，故增力口 (k2 +1)+ (k2 + 2) + +(k+ 1)2

7、. 三、解答題 9. (2018 秦皇島模擬)設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 S,且方程 x2 anx an = 0 有一根為 Sn 1(n N*). (1) 求 a1, a2的值； (2) 猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并給出證明. (1)【解】當(dāng) n= 1 時(shí)，方程X ax a1 = 0 有一根為 S 1 = a1 1, 2 (a1 1) a1(a 1) a1 = 0, 當(dāng) n= 2 時(shí)，方程 x2 a2x a2= 0 有一根為 S2 1 = a1 + a2 1 = a2 【答n n+ 1 2 2 =3；由(S3 1) = (S3 S2)S3 得: 3 S3=4.猜想 Sn= n n+ 1 8.

8、(2018 三亞模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + 2+3+ + n2= n4+ n 解得 a1=1 1 2, 【證明】由題意知(Sn_1)2 3n(S T) 3n = 0, 當(dāng) nA 2 時(shí)，3n= Sn Sn-1,代入上式整理得 1 SnSh- 1 2S1 + 1 = 0,解得 Sn = . 2 Si 1 由(1)得 S =a1 = 2， 1 1 2 乂士 丄口 n * S2 = a + a2= 2 + 6= 3.猜想 Sn= (n N ). 2 6 3 n+1 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論. 當(dāng) n= 1 時(shí)，結(jié)論成立. k 假設(shè)n= k(k N , kA 1)時(shí)結(jié)論成立， 即 Sk= k+

9、 1 Sk+1 = = 77 2 Sk 2上 k+ 1 即當(dāng) n=k+ 1 時(shí)結(jié)論成立. 由知 Sn= J 對任意的正整數(shù) n 都成立. n+ 1 1 1 1 1 10. (2018 長春三校聯(lián)考)已知 f(n)= 1+33+43+冷,g(n) 3 丄 * =2 2n2, n N . (1)當(dāng) n= 1,2,3 時(shí)，試比較 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系； A1)- a2 1 解得 a2=召. 當(dāng) n= k+ 1 時(shí), k+1 k + 2 猜想 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系，并給出證明. (1)【解析】當(dāng) n= 1 時(shí)，f(1)= 1, g(1) = 1,所以 f(1) = g(1); 9

10、11 當(dāng) n= 2 時(shí)，f(2)= 8, g(2) = 8，所以 f(2) v g(2)； 【證明】由(1)猜想 f(n)wg(n),下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明. 當(dāng) n= 1,2,3 時(shí)，不等式顯然成立. 假設(shè)當(dāng) n= k(k3, k N*)時(shí)不等式成立. 加 1 1 1 1 3 1 即 1 + 2+33+43+ 那么，當(dāng) n=k+1 時(shí), 1 3 1 1 k+ 1 3 2 2k + k+1 3, k+ 3 丄3k 1 2 k+1 322 k+ 1 3k2 ， 3 1 所以 f(k+1)2-= g(k+1). 由可知，對一切 n N*，都有 f(n)g(n)成立. 11. (2018 江蘇南通模擬)數(shù)列xn滿足 x1 = 0, xn+1 = Xn + xn+ c(n N*). (1)證明：Xn是遞減數(shù)列的充分必要條件是 C 0 ； 1 若 0 C 4,證明數(shù)列Xn是遞增數(shù)列. 【證明】(1)充分性：若 c0,由于 Xi +1= xn+xn+ cwxn + c Xn, 數(shù)列Xn是遞減數(shù)列. 必要性：若Xn是遞減數(shù)列，則 X2 X1，且 X1 = 0. n= 3 時(shí)，f(3) =探，g(3) =鴛, 所以 f(3)v g(3). f(k + 1)=f(k)+ 因?yàn)?1 2 k+ 1 2 1 1 (k+ 1)3