2019高考數(shù)學(xué)突破三角函數(shù)與解三角形問題中的套路專題04解三角形學(xué)案理

1、知識必備、正弦定理 1 1.正弦定理在厶ABC中，若角A,B,C對應(yīng)的三邊分別是a,b,c,則各邊和它所對角的正弦的比相等，即.正弦定理對任意三角形都成立.sin A sin B sin C常見變形a :b : c二sin A: sin B : sin C;=2R，其中R ABC的外接圓的半徑sin A sin B sin C解決的問題(1)(1)已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角;(2)(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.在ABC中,二、余弦定理1 1 余弦定理專題 04 解三角形(1)(1)sin Aa sinC(2)(2)sin Bb si nAsin B b,a sin B

2、sin Asin B sin C si nA sin Bsin A sin C sin Bsin C sin A sin B sin C正弦定理的推廣:(3)(3)已知a,b和A時，三角形解的情況2三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即2 2 2 2 2 2a b e -2bccosA, b a c -2accosB,2 2 .余弦定理的推論從余弦定理，可以得到它的推論:,2 2 2 2 2,2 2,2 2 b +c -ac +a b小a +b -ccos A, cosB,cos C2bc2ca2ab3 3 .解決的問題(1) 已知三邊，求三個角

3、；(2) 已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角.4 4 利用余弦定理解三角形的步驟三、三角形的面積 i i三角形的面積公式設(shè)厶ABC的三邊為a,b,c,對應(yīng)的三個角分別為A B, C,其面積為S(1(1)S=ah( (h為BC邊上的高) )；2111S bcsinA acsinBabsinC；222(3(3)r(a b c)( (r為三角形的內(nèi)切圓半徑22 2 三角形的高的公式hA= =bsinsinC= =csinsinB, hB= =csinsinA= =asinsin C,C,hc= =asinsinB=bsinsinA.核心考點考點一直接利用正、余弦定理解三角形【例 1 1】 (正

4、弦定理) 設(shè)厶 ABCABC 的角 A,B,CA,B,C 所對的邊分別是 a,b,ca,b,c,若A = 60 , B = 75 , C = 8 ,則a二A A. 4.74.72 2 2c a b -2abcosC.(1)Iff迪和它余茂崑瘞們的夾角=(2)B.B. 4.64.6D.D. 4.24.23C.C. 4 4 5 54【答案】B B【解析】；A=60A=60 ,B,B =75=75 C C =45=45 , ,由正弦定理_sin AA A. 2 2【答案】B B【解析】在曲C中，+月+（7 =珥又二0二年，由余弦定理知b1= -c2 2c ccos5 ?c12M)f或卞=2(舍去，故

5、選B.【例3 3】（正、余弦定理的綜合）在厶ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若3sinA = 2sin B,4b = 3c，則cosB =【解析】因為3sin A =2sin B，所以由正弦定理得3a = 2b，又因為4b = 3c，所以6a = 4b = 3c，令出刪超劇涮隔倔催MMU礎(chǔ)加倔闕陽M倔W曲側(cè)的細昭甜唏昭細晞詁蚩昭腳超齢做刪購誦備考指南1 1.利用正、余弦定理求邊和角的方法：（1 1）根據(jù)題目給出的條件（即邊和角）作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置.（2 2） 選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用

6、余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到D.D.111616【答案】D Da =2m,b =3m, c = 4m,所以由余弦定理得cosB二泄衛(wèi)亡曲，選D.162 2m 4m得 sin C sin 45故選B B.【例2 2】（余弦定理）已知a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A, B,C所對的邊,且a = 1,b二3, A C rB,2B.B. 1 15(3)在運算求解過程中注意三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.2 2 .常見結(jié)論：A + BnC(1 1 )三角形的內(nèi)角和定理： 在厶ABC中，A Bn,其變式有：

7、A，B二n-C,等.2 2 2(2 2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系：sin(A - B) =sinC；cos(A - B) = cosC；.AB C A B . Csincos；cossin2 2 2 2期腳躺網(wǎng)圖圳射M側(cè)細關(guān)f御啡斷卻附酬晞礎(chǔ)的如斗航*劇跖 3 洶側(cè)劇翩腳詁溝購昭 關(guān)砂U考點二三角形解的個數(shù)或形狀的判斷【例 4 4】(三角形個數(shù)的判斷) 在厶ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角 代B,C所對的邊，若a=2=2,b=、6,A=45=45 ,則滿足條件的三角形有A A. 1 1 個B.B. 2 2 個C.C. 0 0 個D.D.無法確定【答案】 B B【解析】Tbsin A = , 6-

8、= ,23，二bsin A：a：b，二滿足條件的三角形有 2 2個，故選 B B備考指南判斷三角形解的個數(shù)的兩種方法1 1.代數(shù)法：根據(jù)大邊對大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷.2 2 .幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個數(shù)乂刪i啊WiM昭咖I測倔冊昭冊珈曲昭 囁嗣嘯財翩昭陽 側(cè)加細辭購閩刪【例 5 5】(三角形形狀的判斷)在厶ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角代B,C所對的邊，若bcosC ccosB二asinA，則ABC的形狀為A A.等腰三角形B.B.直角三角形C.C.鈍角三角形D.D.銳角三角形【答案】B B6【解析方,J : / boos C + c c

9、o辺=b-+ 卞-lablac二ti = ts sin / , sin 4二1，孑故詵氐方法二：co&C+ccos asin AfSIBB005(7+ &in Ccos = sinA rsin(B + C) sinAfIt丁/ +0+(7=他*”siu(0 + C)二siuAO，二sin/=l,/二；故選B.緒躺編W刪報fMUM軸葩謝附加紳齢時劇瞬締甜訓(xùn)U齢跆晞TFM附購昭紳詁肖加腳謝確陽歸刪Afi倔備考指南利用正、余弦定理判定三角形形狀的兩種思路：1 1“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀2 2

10、 “邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變換，得出內(nèi)角間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A Bn這個結(jié)論.提醒：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免造成漏解 畑臧細MAI刪國加必冊備超斕的腳齢対翩劇刪尿隔細編火刪M考點三三角形的面積與周長問題【例6 6】（直接求面積）在厶ABC中，A =60 , AB =2, AC =3,則ABC的面積等于A A.2、334.33332D.D. 3 3【答案】C C11【解析】在ABC中，A=60,AB=2,AC =3,所以ABC的面積等于一AB AC si nA2

11、223sin60 3-3，故選 C C2【例7 7】（三角形周長問題） 在厶ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b=5,tan B = 1,7(1)求cosC的值;8(2(2)求ABC的周長.【解析】( (1 1)因為在ABC中，tan B =1，所以B二一，4又b=5,C=2,2，所以由正弦定理可得得sin C =csnB =2,b 5所以cosC = J _(2)2=迺，V 55因為C: b b，所以cosC215(2(2)由余弦定理知b2二a2 c22accosB，所以5a2(2 J2)2，即a2-4a -17 =0，解得a= 2 21或a= 2-.21(舍去)，2所以AB

12、C的周長為 21 5 2 =212,2-雀昭M屏詁站甜刪彌歸鳩覘加內(nèi) 尿*逐卓冊醐質(zhì)*曲*晞編訊側(cè)聊昭抽涮細謎達昭腳誦骼尿匸劇刪的請備考指南1 1 求三角形面積的方法1若三角形中已知一個角( (角的大小，或該角的正、余弦值) )，結(jié)合題意求夾這個角的兩邊或該兩邊之積，套公式求解.2若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.2 2 三角形中，已知面積求邊、角的方法三角形面積公式中含有兩邊及其夾角，故根據(jù)題目的特點，若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；若求邊，就尋求與該邊( (或兩邊) )有關(guān)聯(lián)的角，

13、利用面積公式列方程求解.W腳唏翩 0 焙射刪冊瞄$御射唏酬齡斜冊晞聶站謝1$劇跆洶I鈾冊綸紬紳詁達昭輛下瞬臥肋艙俯考點四 三角形中的范圍或最值問題【例 8 8】(范圍問題)已知a, b,C是厶ABC的內(nèi)角A, B,C所對的邊，2a si nA二as in 2C 2csi nCcosA,則角A的取值范圍是9n【答案】(0 0,- 3【解析】T 2sin/ 二asin 2C+2csin Ceos蟲I sin / = sin/sin CcosC + Gos/siD，C=sin C(sin A cos C+cos Asm C)= sin C sin( A + C) = sip C sin Ba2= b

14、e -1Jt-匕(當(dāng)且僅當(dāng)沁取等劭篤角/的取値范圍杲(0, |.【例 9 9】(最值問題)ABC中，角A, B,C所對的邊分別為a,b,c,(acosC-b)s in B = (c - b - a cosB) sinC.(1 1 )求A的大??；(2 2 )若ABC的面積為二，求a的最小值.2【解析】( (1 1)v(acosC _b)sin B = (c -b -acosB)sin C,. a(sin B cosC cosBsin C)二bsin B csin C - bsinC，即asin( B C)二bsin B csin C - bsinC, asinA二二bsin B csin C -

15、bsin C,由正弦定理得，a2=b2，c2-bc,由余弦定理得，cosA二工二匹J2bc 2bc 2 0：An,1n石(2(2 )由(1 1)知，ABC= =bcsin=,232bc=2=2,a2= b2c2-2bccosn= =b2c2-bc2bc-bc= =bc=2=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號,3a 2(舍)或a2，cos A =-2bcb2+c2-bc Ibc-bc2bc皿7tA二10am in= = 2 2 . .3311備考指南求最值或范圍時，注意公式的選擇. .1 1 求取值范圍時，用正弦定理轉(zhuǎn)化為解三角函數(shù)值域. .2 2 .求最大或最小值時,用余弦定理和均值不等式. .注意均

16、值不等式只能求一端的最值, ,有時由兩邊之和大于第三邊求另一個. .能力突破1 1 .已知ABC的三個內(nèi)角A, B,C所對的邊分別是a,b,c，若sinB-sinA =、3a c,則角B的大小為A A.C.C.【答案】D DsinCB.nD.D.【解析】由正弦定理得 口 = 忌c，化簡得c a b2 2 2a c -b2ac-=cosB，故2【名師點睛】 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用， 考查利用正弦定理進行邊角互化的方法. .由于題目所給已知條件一邊是角的形式，另一邊是邊的形式，由此我們考慮將兩邊同時化為邊或者同時轉(zhuǎn)化為角的形式,考慮到正弦定理，故將角轉(zhuǎn)化為邊，然后利用余弦定理將式子轉(zhuǎn)化為余弦值

17、，由此求得B的大小. .2 2 .已知ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c，若a2b二C2 2ab，則sin C二3A A.3B.B.3C.23D.D. 2J2J3【答案】【解析】由已知可得,a2b2_c2=2ab，由余弦定理可得2 2 2小a+b-c cosC2ab3312所以si心.8竽133 3 在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若C = 60,a = 4b,c = J13，則ABC的面積為A A.3B.B.2D. ,13【答案】A A【解析】因為所以由余弦罡理可得13=/+歹_仍，又a= 4b?所嘆1彷-訝=13,即站2 = 13,解得b=f所以口 =4,故二:

18、曲血C二丄:4xlx羋=的,故選A.2 2 214 4.在ABC中，角 代B,C所對的邊分別為a,b,c. .若cosBcosC-sin BsinC二2(1(1)求角 A A 的大小;(2)若ABC的面積為S = 2-、3，且a = 2-、3，求b c的值. .1【解析】(1 1)由題意知cosBcosC -sinBsin C = cos(B C)=2因為ABC二n,所以B C二n-A,1所以cos(B C)二cos( n-A)二-cos A二2則cosA2n因為0：A : n,所以A. .3(2(2)因為S=bcsin A3b2 3，所以be =8. .24由余弦定理得a2=b2 c2-2b

19、ccosA，則12=b2c2-bc，2 2 2所以(b c)二b c -bc 3bc =12 24 =36，解得b c = 6. .D = 2 B，且AD = 2,CD = 6,cos B =(1)求ACD的面積;(2)若BC =4,3，求AB的長.C. 2 35 5 如圖所示，在四邊形ABCD中,14【解析】(1 1)因為cos B3,0：B：詢3所以sinB詩，又D =2B,2_2所以sin D =sin 2B = 2sin Bcos B =,3所以SAACDAD CD sin D =4.22(2) )由余弦定理可得由余弦定理可得AC二AD2CD2-2AD CD cosD = 4 3，因為

20、BC =4-、3,咼考通關(guān) 1 1.(20172017 山東理)在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(1 +2cosC) = 2sin AcosC +cosAsinC，則下列等式成立的是A A.a =2bB B.b = 2aC. A =2BD. B =2A【答案】A A【解析】由題意知sin(A C) 2si n BcosC二2si n AcosC cos A si nC,所以2sin B cosC二sin AcosC = 2sin B = sinA=2b = a，選 A.A.【名師點睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進行恒等

21、變形首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有A,B,C的式子，再用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到a=2b解答三角形中的問題時，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個隱含條件，不容忽視所以cosB二AB2BC2- AC22AB BCAB2(4、.3)2-(4、3) 32ABX4V33解得AB=8.15(2018(2018 新課標(biāo) n n 理)在ABC中，cosCcosC5 5, BCBC =1=1 , ACAC =5=5，則AB =2 25 5A A.4 2C. .29.29D.D. 2 2 5 5【答案】A Acast：- 2cos2- l- 2 x【解析】因為2= a2+b2- labcosC= = 1 1

22、+ + 2525 2 2 X X 1 1 X X 5 5 X X ( (一)= 32,32,則!; =4J2，選 A.A.【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件，靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的2 2 2（20182018 新課標(biāo)川理） A AABC的內(nèi)角 A A , B B , C C 的對邊分別為a, b b ,若厶 ABCABC 的面積為 一,. . n nA.A.- -2 2【答案】C C1 . a-”S .= ahsinC -【解析】由題可知B B.D.D.，所以汽飛-S，由余弦定理護十 b b2 2- - c c2

23、2= =labcQsC，得sinC = cosC，因為 Cw(Ojr)Cw(Ojr)，所以7TC =4 4, ,故選 C.C.（20172017 新課標(biāo) I I 理） ABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,已知ABC的面積為2a3sin A(1(1)求sinsinBsinsinC(2(2)若6cos6cosBcoscosC=1 1,a=3=3，求ABC的周長. .【解析】(1)(1)1a21由題設(shè)得 一acsin B，即一csin B二23sin A23sin A1sin Asin C sin B =-23sin A+存2故sin Bsin C. .3由正弦定理得1由題設(shè)及(1 1)得COSBCOSC -sinBsin”1，即cog C)二-16故A二二-.31 a2由題設(shè)得一bcsinA，即be = 8. .23sin A由余弦定理得b2 e2- be =9，即(bc)2-3bc =9，得b. 33. .故故厶ABC的周長為