(新教材)2020新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步學(xué)案：6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示W(wǎng)ord版含答案

1、6. 3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示， 會(huì)用向量的坐標(biāo)形式求數(shù)量積數(shù)學(xué)運(yùn)算平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示能根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模、夾角及判定兩個(gè)向量垂直數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材 P34 P35 的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是什么？2 .如何用坐標(biāo)表示向量的模、夾角和垂直？L新知初更1 .平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知 a= (%, y“，b= (X2, y2)，貝 U a b=X1X2+ yiy2.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.名師點(diǎn)撥公式 a b= |a|b|cosa, b與

2、 a b= X1X2+ yiy2都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo).2.兩個(gè)公式、一個(gè)充要條件(1)向量的模長(zhǎng)公式：若 a = (x, y)，則|a|=寸 x2+ y2.向量的夾角公式：設(shè) a, b 都是非零向量，a= (x1, y1), b= (x2, y2),B是 a 與 b 的夾a b_X*+ y1y2,x1+y2；x|+y|(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件設(shè)非零向量 a = X, y1), b= (x2, y2),貝 U a 丄 b? 乂年辻緲三 0.名師點(diǎn)撥若 Ag, y1), B(X2, y2)，則 AB =(X2 X1, y2 yj,|A

3、B|= (X2 X1)2+( y2 y1)2,即卩 A, B 兩點(diǎn)間的距離為(X2 x02+( y2 y1)角， 貝 U cos(1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和.()y自我檢測(cè)判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”)(2)|AB|的計(jì)算公式與 A, B 兩點(diǎn)間的距離公式是一致的.()答案：XV0 已知 a = (- 3, 4), b= (5, 2)，貝Ua b 的值是()A . 23B . 7C.- 23D.- 7答案：D 已知向量 a = (1, - 2), b= (x, 2)，若 a 丄 b,貝Ux=()A . 1B . 2C. 4D . - 4答案：C0 已知 a=(麗,1),b=(-V

4、3,1)，則向量 a,b 的夾角0=_答案：120 探究點(diǎn)Ell數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例 1已知向量 a= (1, - 1), b= (- 1, 2)，則(2a + b) a =()A . - 1B . 0C. 1D. 2【解析】 因?yàn)?a = (1，- 1), b= ( 1, 2),所以(2a+b)=(1,0)(1,-1)=1.【答案】 C數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩個(gè)途徑一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式 展開(kāi)，再依據(jù)已知計(jì)算.1.設(shè)向量 a= (1, - 2)，向量 b= (-3, 4)，向量 c= (3 , 2),則向量(a+ 2b)c=()A . (- 15

5、, 12) B. 0C.- 3D . - 11解析：選 C.依題意可知，a + 2b= (1, - 2) + 2( - 3, 4) = (- 5, 6),解惑探究突破 (1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和.()所以(a+ 2 b) = (- 5, 6) (3, 2) = - 5X3+ 6X2=- 3.2 .已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2, E 為 CD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 AD 上, AF = 2FD，則 BE CF解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則2)，B(0，0)，C(2, 0),T T4因?yàn)?AF = 2FD，所以 Fg, 2).T4所以 BE = (2, 1), CF = (3,

6、2) - (2, 0T T2所以 BE CF = (2, 1) (-3, 2)=2X(-令+ 1X2=3.2答案：33探究點(diǎn)平面向量的模例 2(1)設(shè)平面向量 a = (1, 2), b= (-2, y),若 a/ b 則|3a + b|等于()A. ,5B. .6C. ,17D. .26已知|a|= 2 13, b= (2, - 3),若 a 丄 b,求 a + b 的坐標(biāo)及|a + b|.【解】選 A.因?yàn)?a / b,所以 1Xy- 2X( 2) = 0,解得 y= 4，從而 3a + b= (1, 2), |3a+ b|=5.設(shè) a= (x, y),則由 |a|= 2 ,13 ,得 x

7、2+ y2= 52由 a 丄 b,解得 2x- 3y = 0 x= 6 ,x= 6 ,聯(lián)立，解得或l.y= 4l.y=- 4.所以 a= (6 , 4)或 a = (-6, 4).所以 a+ b= (8 , 1)或 a+ b= ( 4, 7),所以 |a+ b|= ,65.(1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和.()求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2= a2,將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題.(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若 a = (x, y),貝 U a a= a2= |a|2= x2+ y2,于是有 ai= x2+ y2.已知點(diǎn) A(0, 1), B(1, 2)

8、，向量 AC = (4, - 1)，則 |BC|=_解析：設(shè) C(x, y)，因?yàn)辄c(diǎn) A(0, 1)，向量 AC= (4, 1)，所以 AC= (x, y 1) = (4, 1),x=4,所以解得 x= 4, y= 0,所以 C(4, 0),ly1 = 1,所以BC= (3, 2), |BC|= 9 + 4 = . 13.答案：，13探究點(diǎn)jg平面向量的夾角(垂直)例已知 a= (4 , 3) , b= ( 1 , 2).(1) 求 a 與 b 夾角的余弦值；(2) 若(a入 b)丄(2a+ b),求實(shí)數(shù) 入的值.【解】(1)因?yàn)?a b= 4X( 1) + 3X2= 2 ,|a|=742+

9、3 = 5 , |b|=p ( 1)2+ 22= V5 ,設(shè) a 與 b 的夾角為所以 cos0=岸需=552 *5=25 .(2)因?yàn)?a ?b= (4 + 入 3 2 為，2a+ b= (7 , 8),又(a ?b) _L (2 a + b),所以 7(4+為+ 8(3 2 為=0,所以 L 牛.現(xiàn)律方法現(xiàn)律方法利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1.已知向量 a= (1,n.3) , b= (3 , m).若向量 a , b 的夾角為,則實(shí)數(shù)m=()C. 0B. 3D. .3解析：選 B.因?yàn)?a= (1,3) , b= (3 , m).所以 |a|= 2 , |b|= 9 +

10、m2, a b= 3+ ,3m ,na bn3+/3 mJ3廠J2又 a , b 的夾角為 -,所以 后= cos -,即 一/2=,所以 心 + m=f 9+ m ,解得| | | |列9+ m2m= .3.2 .已知 A( 2, 1), B(6, 3), C(0 , 5)，則 ABC 的形狀是(A 直角三角形B 銳角三角形C.鈍角三角形D .等邊三角形解析：選 A.由題設(shè)知AB=(8, - 4),AC= (2, 4), BC= (-6, 8)，所以 AB AC= 2X8+ (4)X4= 0,即 AB 丄 AC.所以/ BAC= 90,故公 ABC 是直角三角形.1.已知向量 a= (2 ,

11、 0) , a b= (3 , 1),則下列結(jié)論正確的是(A . a b= 2B. a/ bC. b(a + b)D. a = |b|解析：選 C.因?yàn)橄蛄?a= (2, 0), a b= (3, 1),設(shè) b= (x, y),則1.0 y= 1,2 x= 3 ,解得y= 1 ,x= 1 ,所以 b= ( 1, 1), a+ b= (1, 1), b (a+ b) = 1X1 + ( 1)X( 1) = 0，所以 b 丄(a+ b).2 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，AB = (1, 2), AD = (2,1)，則 AD - AC =解析：由四邊形 AB

12、CD 為平行四邊形，知AC=AB +AD= (3, 1)，故 AD AC= (2, 1) (3,利用平面向捲數(shù)Jt積的坐標(biāo)廢汞按式求出這 兩個(gè)向童的數(shù)量觀利用w計(jì)界出這兩牛向凰怖撲載It積j-jXi+yiy：命強(qiáng)値卜Hi石廠僅半在0C O C TT由COS0 的值求角0-1) = 5.答案：53.已知 a= (1 ,3), b= (2, m).當(dāng) 3a- 2 b 與 a 垂直時(shí)，求 m 的值；當(dāng) a 與 b 的夾角為 120時(shí)，求 m 的值.解：(1)由題意得 3a 2b= ( 1,3；3 2m),由 3a 2b 與 a 垂直，得一 1 + 9 2-.-3m = 0, 所以 m=4J3.(2)

13、由題意得 |a|= 2, |b|= m2+ 4, a b= 2+ 3m,整理得 2+ . 3m+ m2+ 4= 0,化簡(jiǎn)得 m2+ 2 3m= 0,解得 m= 2 , 3 或 m= 0(舍去).所以 m= 2 ,3.A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)解析：選 D.2a b= (4, 2) ( 1, k) = (5, 2 k)，由 a (2a b)= 0，得(2, 1) (5, 2 k)=0,所以 10+ 2 k= 0,解得 k= 12.2 .已知向量 a= (1, n), b= ( 1, n),若 2a b 與 b 垂直，則|a 等于()A . 0B . 1C. 2D . 2解析：選 D.2a b= (3, n),由

14、 2a b 與 b 垂直可得(3, n) (- 1, n)= 3+ n2= 0,所以n= 3,所以 |a|= 2.3 .已知平面向量a = (2 , 4), b=( 1, 2),若 c= a (a b)b,則 |c|等于()A. 4 2B .2 5C. 8D . 8.2解析：選 D.易得 ab= 2X(- 1) + 4X2 = 6,所以 c= (2, 4) - 6( 1, 2)= (8, - 8)，所以 |c|=-82+(-8)2= 8 ,2.4. (2019 河北衡水中學(xué)檢測(cè))設(shè)向量 a = ( .3, 1), b= (x,- 3), c= (1, - .3)，若 b/ c, 則 a-b所以

15、 cos120=a b = 2+3m麗=2 0+ 41.已知向量 a= (2, 1), b= ( 1,A. 12C. 6k), a (2a b)= 0，貝 U k=()B. 6D. 12與 b 的夾角為()A . 30B. 60C. 120D . 150解析：選 D.因?yàn)?b / c,所以一 3x= ( 3)X1,所以 x= 3，所以 b= ( 3,- 3), a- bb - (a- b)- 12 百=(0, 4).所以 a- b 與 b 的夾角的余弦值為=-為，所以 a - b 與 b 的夾a - b|b|4X2心2角為 150.5 .已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量 OA = (2, 2), O

16、B = (4, 1), 在 x 軸上有一點(diǎn)P使得 AP - BP 有 最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A . (- 3, 0)B . (2, 0)C. (3, 0)D . (4, 0)解析：選 C.設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(x, 0)，則AP= (x- 2, - 2), BP= (x- 4,- 1).APE3P=(x-2)(x-4)+(-2)X(-1)2 2=x2-6x+ 10 = (x- 3)2+ 1 ,所以當(dāng) x= 3 時(shí)，AP BP 有最小值 1.此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3, 0).6 .設(shè) a = (m+ 1, - 3), b= (1, m- 1)，若(a+ b)丄(a- b)，貝 U m=_解析：

17、a + b= (m+ 1, - 3)+ (1, m- 1) = (m + 2, m- 4),a b= (m+1， 3) (1, m- 1) = (m,- 2 m), 因?yàn)?a+ b)丄(a b)，所以(a + b) ( b)= 0, 即(m+ 2, m 4) (m, m 2) = 0,22所以 m + 2m- m + 2m+ 8 = 0,解得 m=- 2.答案：27 .(2019 陜西咸陽(yáng)檢測(cè))已知向量 a= ( 2,1), b=(入 g),且內(nèi)+ b|=Up,則入=_答案：i 或一 38.已知向量 a= (cos0, sin0)，向量 b=(寸 3, 0)，則|2a b|的最大值為 _解析：

18、2a b= (2cos0-, 2sin0),|2ab|= (2cos03)2+(2sin0)2=4cos20 4 3cos0+3+4sin20= 74.3cos0,當(dāng)且僅當(dāng) cos0=1 時(shí)，|2a b|取最大值 2 + 3.答案：2+ 39.已知 a= (1 , 2), b= ( 3, 2).(1)求 a b 及 |a b|;若 ka + b 與 a b 垂直，求實(shí)數(shù) k 的值.解：a b= (4, 0), |a b|= 42+ 02= 4.(2)ka+ b= (k 3, 2k+ 2), a b= (4, 0),因?yàn)?ka+ b 與 a b 垂直，所以(ka+ b) ( b)= 4(k 3)

19、 + (2k+ 2) 0= 0,解得 k= 3.10. (2019 重慶第一中學(xué)第一次月考)已知向量 a, b, c 是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1, 1).(1) 若|c|= 3.2，且 c/ a,求向量 c 的坐標(biāo)；(2) 若 b 是單位向量，且 a 丄(a 2b),求 a 與 b 的夾角0解：(1)設(shè) c= (x, y)，由 |c|= 3 2, c / a 可得y+ x= 0,x= 3,x = 3,所以或x2+ y2= 18,y= 3,y = 3,故 c= ( 3, 3)或 c= (3 , 3).因?yàn)?|a|= . 2,且 a 丄(a 2b),所以 a (a 2b) = 0，即 a

20、2 2a b= 0,所以 a b= 1,故 cos解析：由已知易得/a+ b= f入入+ 2 ,3冶 1 或冶一2 -則(?)2+解得5“ a b 羽才、n0=麗廠2，所以0=4.B 能力提升11.已知向量 a= (1, 2), b= (-2, - 4),5，若(a+ b) c= 2，貝卩 a 與 c 的夾角大小為()A . 30B. 60C. 120D . 150解析：選 C.設(shè) a 與 c 的夾角為 0,依題意，得a + b= ( 1, - 2), |a|=5.5設(shè) c= (x, y),因?yàn)?a+ b) c= 2，5所以 x+ 2y=5又 a c= x+ 2y,5_cx+ 2y-21所以

21、cos0=邳廠 5X,5=E=2，所以 a 與 c 的夾角為 12012.在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 中， M 為 BC 的中點(diǎn)， 點(diǎn) E 在線段 AB 上運(yùn)動(dòng)， 則 EM - EC的取值范圍是()1 cA. 2，2解析：選 C.以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè) E(x,0), 0Wx 1因?yàn)镸,), C(1, 1)，所以 EM = (1 x , 2 ), EC = (1- x , i,Z1 i2 111)，所以 EM EC = 1 x, 2 (1 x, 1) = (1 x) + 2.因?yàn)?0Wx 1,所以- C.13122JD.0, 1513._ 已知點(diǎn) A, B,

22、C 滿足 |AB|= 3, |BC|= 4, |CA|= 5,則 AB - BC + BC - CA + CA - AB的 值為_(kāi) .C解析：法一：(定義法)如圖，根據(jù)題意可得 ABC 為直角三角形，且 B =n,所以 a b= (1 , .3) ( 2, 0) = (3, 3),cos A=3, cos C = 5,55所以 AB BC+ BC CA + CAAB=BCCA+CAAB=4X5cos(n C)+5X3cos(n A)=20cos C15cos A43=20X 15X55=25.法二：(坐標(biāo)法)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則 A(3, 0), B(0, 0), C(0, 4).所以 AB = ( 3, 0), BC = (0, 4), CA = (3, 4).所以 ABBC=3X0+ 0X4 = 0,BC CA=0X3+4X(4)= 16,CA AB=3X(3)+(4)X0= 9.所以 AB BC+ BC CA + CA AB= 0 16 9 = 25.法三：(轉(zhuǎn)化法)因?yàn)?|AB|= 3, |BC|= 4, |AC|= 5,所以 AB 丄 BC,所以ABBC= 0,所以 AB BC+ BC CA + CA AB= CA (AB + BC)=CA AC = |AC|