數(shù)學(xué)建模論文

1、數(shù)學(xué)建模論文題目：新止痛劑生效時間預(yù)測模型 班級：計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)1401班 學(xué)號：201409824 姓名：馬元凱 學(xué)號：201409822 姓名：李炳毅 日期：2016年12月15日目錄摘要1一、 問題描述1二、 問題分析2三、 模型假設(shè)3四、 模型建立3五、 模型求解6六、 模型分析6七、 模型改進(jìn)9八、 模型評注與推廣11九、 參考文獻(xiàn)12十、 附錄12摘要某醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛劑的療效，進(jìn)行了相應(yīng)的研究，根據(jù)醫(yī)藥公司給出的相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理工作，根據(jù)擬合曲線和散點(diǎn)圖建立基本模型（模型（1）.用MATLAB軟件解出該基本模型，再利用殘差圖

2、兩次剔除數(shù)據(jù)并且回歸，得到最佳模型（模型（2）,該模型的擬合度為85.14%.擬合度不是很高，針對不同的性別，引入獨(dú)立變量的交互作用，對模型進(jìn)行改進(jìn)，得到兩個擬合度較高的模型（4）和（5），針對男性建立的模型，擬合度為90.87%，針對女性建立的模型，擬合度為97.72%.本文給出的模型較為科學(xué)，若實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)真實(shí)可信，則可以進(jìn)行藥物的推廣.關(guān)鍵字:MATLAB軟件，殘差圖，擬合度,統(tǒng)計回歸模型1、 問題描述 一個醫(yī)藥公司的新藥研究部門為了掌握一種新止痛劑的療效，設(shè)計了一個藥物試驗(yàn)，給患有同種疾病的病人使用這種新止痛劑的以下4個劑量中的某一個：2 g，5 g，7 g和10 g，并記錄每個病人病痛明

3、顯減輕的時間（以分鐘計）. 為了解新藥的療效與病人性別和血壓有什么關(guān)系，試驗(yàn)過程中研究人員把病人按性別及血壓的低、中、高三檔平均分配來進(jìn)行測試. 通過比較每個病人血壓的歷史數(shù)據(jù)，從低到高分成3組，分別記作0.25，0.50和0.75. 實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，公司的記錄結(jié)果見下表1（性別以0表示女，1表示男）.請你為該公司建立一個數(shù)學(xué)模型，根據(jù)病人用藥的劑量、性別和血壓組別，預(yù)測出服藥后病痛明顯減輕的時間.病人序號病痛減輕時間min用藥劑量g性別血壓組別135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50657210.75726500.25827500.5092850

4、0.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75表12、 問題分析 一般來說，藥物的療效可以直觀的用服藥后病痛明顯減輕的時間來衡量.在新藥推廣中，醫(yī)藥公司的新藥研究部門設(shè)計了一種藥物給患有同種疾病的病人使用后，根據(jù)病人的用藥劑量、性別和血壓組別，預(yù)測病痛減輕時間的多少來預(yù)測止痛藥的療效，這是一個統(tǒng)計回歸問題，針對這個問題，我們需要給

5、出合理的假設(shè)，尤其是變量的選取，進(jìn)而預(yù)測出藥物的療效.先將因變量分別與變量進(jìn)行單獨(dú)分析，得出兩者間的大致函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步整合這些關(guān)系，得出一個因變量與各個變量間的關(guān)系函數(shù)模型并進(jìn)行求解，得出最終結(jié)論。 3、 模型假設(shè)1、 假設(shè)病人只服用了新型止痛藥，未服用其它藥物.2、 假設(shè)題中給出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)真實(shí)可信，誤差很小.3、 假設(shè)24名病人都是在服用新型止痛藥的人群中隨機(jī)選取的.4、 假設(shè)病人在實(shí)驗(yàn)階段吃的食物對新型止痛藥無影響.5、 假設(shè)模型中出現(xiàn)的符號含義如下表2所示.符號含義單位用藥劑量性別女-0，男-1血壓組別低-0.25，中-0.5，高-0.75病痛減輕時間minp概率值隨機(jī)誤差回歸系數(shù)置信

6、水平表24、 模型建立為了大致地分析y與，之間的關(guān)系，首先利用表1-1的數(shù)據(jù)分別作出y對，和的散點(diǎn)圖（見圖4-1，圖4-2和圖4-3的圓點(diǎn)）.如圖1為y對的散點(diǎn)圖，圖2為y對的散點(diǎn)圖，圖3為y對的散點(diǎn)圖.圖1圖2圖3由上圖可知：y對可用二次函數(shù)擬合，擬合后如圖4所示. 圖4根據(jù)對散點(diǎn)圖圖1和圖4的分析可得出y對的二次函數(shù)模型 ；根據(jù)圖2可得出y對的線型模型；根據(jù)圖3可得出y對的線型模型 ；結(jié)合上述的3個模型可建立如下（1）的多元線性回歸模型： （1）上式右端的，稱為回歸變量（自變量），給定，時，病痛減輕時間y的平均值為；由表1的數(shù)據(jù)估計，影響y的其他因素作用都包含在隨機(jī)誤差中，如果模型選的合適

7、，應(yīng)大致服從均值為0的正態(tài)分布.5、 模型求解直接利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的regress求解，進(jìn)一步求出回歸系數(shù)估計值及其置信區(qū)間（置信水平=0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計量R2，F(xiàn)，p，s2，詳細(xì)數(shù)據(jù)見表3所示.參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間63.129148.7173，77.5409-10.2706-14.9243，-5.61695.6667-0.0213，11.3546-1.5000-15.4325，12.43250.51110.1319，0.8903R2=0.8275 F=22.7903 p=0.0000 s2=44.3109表3由表3得出的模型為:6、 模型分析表3顯示，R2=0.8275 指因

8、變量y（病痛減輕時間）的82.75%可由模型確定，F(xiàn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值，p遠(yuǎn)小于，因而模型（1）從整體來看是可用的.表3的回歸系數(shù)給出了模型（1）中參數(shù)的估計值，的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，因而對這兩個系數(shù)的解釋是不可靠的，所以需要?dú)埐罘治?首次回歸所得殘差圖如下圖5所示，可以看出，第3個和第24個數(shù)據(jù)存在異常，剔除，進(jìn)行第二次回歸.圖5第二次回歸所得殘差圖如下圖6所示，可以看出，第5個數(shù)據(jù)存在異常，剔除，進(jìn)行第三次回歸.圖6第三次回歸所得殘差圖如下圖7所示.圖7第三次回歸的結(jié)果如表4所示.參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間55.812144.3918 67.2324-8.0962-12.0605 -4

9、.13207.13112.5539 11.7083-6.3868-18.5348 5.76120.40250.0869 0.7181R2= 0.8514 F= 22.9153 p= 0.0000 s2= 24.1056表4由圖7可知數(shù)據(jù)沒有異常項(xiàng)，因此模型基本可用，此時得出的最佳模型應(yīng)為： （2）易知因變量y（病痛減輕時間）的85.14%可由模型確定.7、 模型改進(jìn)從以上的分析可以看出，模型的擬合度最大為85.14%，擬合度不是很高，需要進(jìn)行模型的改進(jìn)；因?yàn)榉幤陂g要考慮生理反應(yīng)，而性別對生理反應(yīng)有直觀的影響，故改進(jìn)的模型需要對男女分開進(jìn)行討論；模型（2）中回歸變量和對因變量y的影響是相互獨(dú)立

10、的.根據(jù)直覺和經(jīng)驗(yàn)可以猜想和之間的相互作用會對y有影響，不妨簡單地用和的乘積代表它們的交互作用，于是在模型（1）中增加一項(xiàng)，得到 （3）1、 針對男性，利用表1的數(shù)據(jù)估計模型（3）的系數(shù)，利用MATLAB得到如下表5的結(jié)果.參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間49.808824.4805 75.1372-7.8431-14.4259 -1.260439.0294-1.0850 79.1438-7.5882-13.6016 -1.57480.66670.1895 1.1438R2= 0.9087 F= 17.4206 p= 0.0010 s2= 27.4856 表5根據(jù)表5，可得出此時的最佳模型為： （4

11、）對表5的數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析，得到如下圖8的結(jié)果.圖8從圖8可以看出數(shù)據(jù)無異常項(xiàng)，則由此得出的模型（4）基本可信，病痛減輕時間的90.87%可由模型確定.2、 針對女性，利用表1的數(shù)據(jù)估計模型（3）的系數(shù)，利用MATLAB得到如下表6的結(jié)果.參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間36.939522.9221,50.9570-5.1686-8.8117,-1.525548.323526.1230,70.5240-7.4706-10.7986,-4.14260.35560.0915,0.6196R2=0.9772 F=74.8974 p=0.0000 s2= 8.4184 表6對表6的數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析，得到如圖

12、9所示的結(jié)果,圖9從圖9可以看出，第8項(xiàng)數(shù)據(jù)存在異常，但影響不大，所以不用剔除數(shù)據(jù)，模型基本可信.根據(jù)表5得出此時的最佳模型為： （5）病痛減輕時間的97.72%可由模型確定.通過以上分析可以確定，經(jīng)過對模型的改進(jìn)，針對不同的性別，得出的兩種模型（4）和（5）的擬合程度都達(dá)到了百分之九十以上，達(dá)到了模型改進(jìn)的目的.8、 模型評注與推廣評注 從這個實(shí)例我們可以看出，建立回歸模型要根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，從常識和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析，輔以作圖，決定最終的函數(shù)模型.用MATLAB軟件求解后，作統(tǒng)計分析R2的值是對模型的直觀評價，決定模型的擬合程度.本次建立的模型，優(yōu)點(diǎn)在于，由簡到繁，先單獨(dú)考慮變量對結(jié)果的影響，再綜

13、合考慮，最后引入交互項(xiàng)對模型進(jìn)行改進(jìn)，為病痛減輕時間的預(yù)測提供了簡潔方便的工具，用簡單的形式表示出了事物之間復(fù)雜的關(guān)系；缺點(diǎn)在于，該模型不能實(shí)際的去觀測數(shù)據(jù)，而是使用實(shí)驗(yàn)給出的數(shù)據(jù)，存在一定的誤差，還有改進(jìn)模型中針對不同性別得出的模型擬合程度差別較大，不是很理想；其實(shí)在模型建立時，還可以引進(jìn)其他的數(shù)據(jù)，如心率等因素，使模型更加真實(shí)可信.推廣 我們建立的這個預(yù)測模型還可以用于軟件開發(fā)人員的薪金預(yù)測或其它的薪資預(yù)測模型.9、 參考文獻(xiàn)1 姜啟源, 謝金星, 葉俊. 數(shù)學(xué)模型.第4版M. 高等教育出版社, 2011.2 宋來忠，王志明,數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn),北京：科學(xué)出版社,20053 姜啟源, 謝金星,

14、 葉俊. 數(shù)學(xué)模型 (第四版) 習(xí)題參考解答M. 高等教育出版社, 2011.（第十章習(xí)題參考答案）10、 附錄1、圖1，圖2，圖3，圖4的MATLAB程序：y對的散點(diǎn)圖>> x1=2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10 10;>> y=35 43 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 27 26 5;>> scatter(x1,y,'r');y對的散點(diǎn)圖>> x2=0 0 0 1 1 1 0 0

15、0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1;>> y=35 43 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 27 26 5;>> scatter(x2,y,'r');y對的散點(diǎn)圖>> x3=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75;>> y=35 4

16、3 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 27 26 5;>> scatter(x3,y,'r');y對的擬合曲線>> x1=2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10 10;>> y=35 43 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 27 26 5;>> p=polyfit(x1,y,2);>> x1x1=linspa

17、ce(min(x1),max(x1);>> yy=polyval(p,x1x1);>> plot(x1,y,'o',x1x1,yy);2、表3的MATLAB程序：>> x1=2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10 10;>> x2=0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1;>> x3=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0

18、.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75;>> y=35 43 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 27 26 5;>> x=ones(24,1),x1',x2',x3',(x1.2)'>> b,bint,r,rint,stats=regress(y',x)3、 圖5，圖6，圖7的MATLAB程序：首次回歸分析>> x1=2 2 2 2 2 2 5 5 5 5

19、 5 5 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10 10;>> x2=0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1;>> x3=0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75;>> y=35 43 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 2

20、7 26 5;>> x=ones(24,1),x1',x2',x3',(x1.2)'>> b,bint,r,rint,stats=regress(y',x,0.05)>> rcoplot(r,rint)第二次回歸分析>> x1=2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10;>> x2=0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1;>> x3=0.25 0.50 0.25 0.50 0.75

21、0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50;>> y=35 43 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 27 26;>> x=ones(22,1),x1',x2',x3',(x1.2)'>> b,bint,r,rint,stats=regress(y',x,0.05)>> rcoplot(r,rint) 第三次回歸&g

22、t;> x1=2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10;>> x2=0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1;>> x3=0.25 0.50 0.25 0.50 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50;>> y=35 43 47 43 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 3 27 26;>> x=ones(21,1),x1&#