二次根式的概念及乘除法運(yùn)算

1、教學(xué)課題二次根式的概念及乘除法運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1. 理解二次根式的概念.2. 理解 ja(a>0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，(JS )2=a(a>0), Ja2=a( a>0) .理解 jS -/b =y/Ob (a>0, b>0), JOB = ja Jb ( a>0, b>0),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化 簡v/a aJ a J a3. 理解命 =Qb(a> 0, b>0)和 占(a>0, b>0)及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.4. 理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.教學(xué)重點(diǎn)與 難點(diǎn)重點(diǎn)：1. 二次根式 ja (a&g

2、t; 0)的內(nèi)涵.4a (a> 0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(岳)=a (a> 0)； 需亍=a (a>0)及其運(yùn)用.2. 掐 Jb = jab (a>0, b>0), jab= ja Jb (a>0, b>0)及它們的運(yùn)用.Jalaa Ja3. 理解= Q* (a>0, b>0),= ( a>0, b>0)及利用匕們進(jìn)行計(jì)算和化簡.4. 最簡二次根式的運(yùn)用.難點(diǎn)：1. 對(duì) 需(a> 0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式( Va ) = a( a> 0)及/了 =a (a> 0)的理解及應(yīng)用.2. 發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出需 Jb =

3、/ab (a> 0, b > 0).3 .發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.4.會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡二次根式.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入今天我們要學(xué)習(xí)的是二次根式的概念及它的一些性質(zhì)，其實(shí)前面我們已經(jīng)學(xué)過平方根，而二次根式其實(shí)就是平方根的其中正的那一個(gè)，也就是算術(shù)平方根。今天我們主要需要掌握二次根式的幾個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：1形如.a (a> 0)的式子叫做二次根式；2估 (a> 0) 是- 一個(gè)非負(fù)數(shù)；3. (:a ) = a (a0).4. , a2 =a (a> 0).(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：3問題1：已知反比例函數(shù) y=，那么它的圖象在第一象限

4、橫、 縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .x問題2:在直角三角形 ABC中，AC=3 , BC=1，/ C=90 °，那么 AB邊的長是 .問題3:甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8,那么甲這次射擊的方差是 S2,那么 S=.老師點(diǎn)評(píng)：問題1:橫、縱坐標(biāo)相等，即 x=y，所以x2=3.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x=、?，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)(3，二 3 ).問題2:由勾股定理得 AB= 10問題3:由方差的概念得很明顯3、 10、. 4，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式. 6因此，一般地，我們把 形如、a (a>0)的式子叫做二

5、次根式，“ ”稱為二次根號(hào).(學(xué)生活動(dòng))議一議:1. -1有算術(shù)平方根嗎？2. 0的算術(shù)平方根是多少？3.當(dāng)a<0,a有意義嗎?4請(qǐng)你憑著自己已有的知識(shí)，說說對(duì)二次根式.a的認(rèn)識(shí)!老師點(diǎn)評(píng)：1.表示a的算術(shù)平方根2.a可以是數(shù)，也可以是式.3.形式上含有二次根號(hào)4. a > 0,V a > 0(雙重非負(fù)性)5.既可表示開方運(yùn)算，也可表示運(yùn)算的結(jié)果_A_例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:72、炎、-、品(x>0)、To、傳、Xx y (x> 0, y> 0).分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“廣”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或 0.解:二

6、次根式有： 運(yùn)、仮(x>0 )、VO、-J2、Jx + y (x > 0, y > 0)；不是二次根式的有：$3、1x y例2.當(dāng)x是多少時(shí)，'3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-1 >0, ?.3x1才能有意義.1解：由3x-1 > 0,得：小3當(dāng)x > 1時(shí)， 3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.3例3.當(dāng)x是多少時(shí)，(1 2x 3 + x11在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?分析：要使2x ,3+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足x+1J2x +3中的0和一中的x+1x 1解：依題意，得fx+3"由

7、得：X > -由得：XM-1十023 1當(dāng)x> -且xm -1時(shí)，.2x 3 +在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.2x+1求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開方數(shù)不小于零；分母中字母時(shí)，要保證分母不為零。例4（1）已知y=、2-x+、x-2+5，求x的值.（答案：2）y若 Ja +1 + $ -1 =0,求 a2004+b2004 的值.（答案:）5議一議：（學(xué)生分組討論，提問解答）a （a> 0） 是- -個(gè)什么數(shù)呢？老師點(diǎn)評(píng)：二次根式其實(shí)就是平方根的其中正的那一個(gè)，也就是算術(shù)平方根。所以我們得到：梟（a0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：（靈）2=；（ V2） 2

8、=；（ V9）2=；（ V3） 2=；） 2=；（電）2=；（心）2=老師點(diǎn)評(píng)： M是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，'' 4是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有（4 ） 2=4.同理可得：（血）2=2，（ J9）2=9，（73 ）2=3，（ J' ）2=-，（ JZ ）2=-，（氏）2=0，所以V 33 V 22（需）2=a （a0）例1計(jì)算1.(g) 22. (-3/5) 23.(狷)24.(耳)分析：我們可以直接利用( a ) 2=a (a>0)的結(jié)論解題. 解：略例2計(jì)算1. ( ；1 ) 2 (x> 0)2.(.,，a2 ) 2 3.( . a2

9、 2a 1)4. ( 4x2 -12x 9 ) 2(a+1)> 0;分析：(1)因?yàn)?x> 0,所以 x+1>0 ; (2) a2> 0; (3) a2+2a+1 =(4) 4x2-12x+9= (2x) 2-2 2x 3+32= (2x-3) 2>0.所以上面的4題都可以運(yùn)用(.a ) 2=a (a> 0)的重要結(jié)論解題.解略例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式 ：242(1) x -3(2) x -4(3) 2x -3(學(xué)生活動(dòng))填空：辰=:J0.012 =; 丄)2 =10 -禺=;心;:&=(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到:1 1苛=

10、0.01 ；(10=10因此，一般地：ja 根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1 )、(2)可知二a2 =a | ,而|a |要大于a,只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0.解：(1)因?yàn)閍2 =a，所以a> 0； 因?yàn)?' a2 =-a，所以 a< 0; 因?yàn)楫?dāng)a> 0時(shí) a2 =a,要使-a2 >a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí),a2 =-a,要使<'a2 >a, =a (a> 0)例1化簡(1) 9(2) ;(一4)2(3)25(4)、(一3)2分析：因?yàn)?1) 9=32, (2)

11、 (-4) 2=42 , ( 3) 25=52 ,(4) (-3) 2=32，所以都可運(yùn)用-a? =a (a> 0) ?去化簡.應(yīng)用拓展例2 填空：當(dāng)a> 0時(shí)，a2=_ 當(dāng)a<0時(shí)，.a2 =,并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.(1) 若 =a，則a可以是什么數(shù)？(2) 若 =-a，則a可以是什么數(shù)？(3) . a2 >a，貝U a可以是什么數(shù)？分析： a2=a( a>0), a要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)a< 0 時(shí)，了= (a)2 ，那么-a> 0.即使-a>a, a<0綜上，a

12、<0例 3 當(dāng) x>2，化簡,(x2)2 -、(12x)2 .1.本節(jié)課應(yīng)掌握：、.孑=a (a> 0)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)， a2 =- a的應(yīng)用拓展.2. (a )2與、.孑的區(qū)別：從運(yùn)算順序來看，G, a )2先開方，后平方；：云先平方，后開方.(2)從取值范圍來看，('、a )2 a> 0; , a2 a取任何實(shí)數(shù).(3)從運(yùn)算結(jié)果來看：a (a > 0)(p：a ) =a, a = /a/= -a(av 0)二次根式的乘法一、復(fù)習(xí)引入(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.1. 填空(1) 74 x V9 =, J4疋9 =；(2) H6

13、x 血5=,山675=.(3) 'AOo x 36=,(10076=.參考上面的結(jié)果，用“>、<或=”填空.44 x 掐74<9，用 x 725Ji6匯 25, 500x 736J100匯 362. 利用計(jì)算器計(jì)算填空(1)V2 x V346, ( 2)V2 x V5尿,亦x后>/30 , ( 4)石 x 屆20 ,(5)/7 x 怖V70.老師點(diǎn)評(píng)（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤）總結(jié)規(guī)律：兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次 根式中的被開方數(shù).般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為a . b = ab .( a>0, b&

14、gt;0)反過來：= 4a 伍(a> 0, b > 0)例1 .計(jì)算分析：直接利用、a ,b = '. ab （ a> 0, b> 0）計(jì)算即可.解：(1)5 x 7 = 35(2) £ X 拓=存9"(3) 、9 x、27=、9 27 = . 92 3=9 3(4).1 x .6 =16 =32! 2例2化簡(1)9 16(2)、16 81(3) 81 100(4)9x2y2(5i)54分析：利用 ，'ab = a ' b (a>0,b> 0）直接化簡即可解：(1)、9 16=、9 X .16=3X 4=12(2

15、) 、一16 81 = J6 X 81=4 X 9=36(3) , 81 100 =j81 X-：；100 =9 X 10=90(4) 9x2y2 = 32 Xx2y2 =、.、：32 xx2x . y2=3xy(5) 、54 = j9 6 = 3? x 6 =3、. 6例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正:(1) . (-4) (-9) = -4: -9(2)解：(1)不正確.=4 X=4 12 =8、3改正：_4) (-9) = 4 9 = . 4 X . 9 =2X 3=6(2)不正確.改正:層=曆二后=応7 =4巧二次根式的除法(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：1寫出二次根式

16、的乘法規(guī)定及逆向等式.2. 填空(1)9、16(2),16.36(3).4(4)J36.81規(guī)律:.16.邏'、3644 ；16,36813利用計(jì)算器計(jì)算填空(1).3,(3):1=,(4)-=V8規(guī)律:總結(jié)：般地,對(duì)二次根式的除法規(guī)定:a：( a> o, b>。)，反過來,a = a (a> 0, b>0) b bF面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目.例1.計(jì)算：(1)書2 (2)328(3)4、7.81V64(4)扁分析：(a>0, b>0)便可直接得出答案.上面4小題利用密二上血Yb(2)x =2(3)V 1111 “F1 J=.，16 =

17、4 =241.16416 _；4r(4)=，/8 =2 * 264 _ 8 =例2.(1)化簡:64b29a2(3)9x64y2(4)5x169y2分析:直接利用a (a> 0, b>0) b , b就可以達(dá)到化簡之目的.9 xP9 x例3.已知仁6 一后，且 X為偶數(shù)，求(一x2 二 5x_4；x2 -1的值.解：由題意得9-x_0 x_9x 一60，即 x 6/ x為偶數(shù)/ x=8原式=(1+x)(x-4)(x-1)(x 1)(x -1)=(1+x)分析：式子j a=,，只有a> 0, b>o時(shí)才能成立.因此得到9-x > 0且x-6> 0,即6<

18、xW 9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8 .=(1+x)老師點(diǎn)評(píng):、(X 1)當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=_ 4 9 =6.最簡二次根式1 .計(jì)算(1)'3 , (2) 3'2 , (3)二8V5V27V2a2 現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km, h2km, ?那么它們的傳播半徑的比是.J2R0它們的比是-.j2Rh2總結(jié):觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn):1 被開方數(shù)不含分母；2 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它

19、們化成最簡二次根式.答：不是.j2Rh, = f2Rh 河 ThhT 2Rh>2只® 一也 一 h2例1 .化簡下列二次根式 312；x2y4 x4y2 ；、8x2y3例 2.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90°, AC=2.5cm, BC=6cm 求 AB的長.解：因?yàn)?AB 2=AC 2+BC2因此AB的長為6.5cm .例3 .觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:1_=r</2-i)2 1 ( 2 1)0 2 -1)-12 -1同理可得：14、3 = " 3，從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算1+1+1+

20、 1 ) ( 2002+1)的值.2 1,32、432002、2001分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡的 目的.解：原式=(.2 -1+ .3- 2 + ,4 - .3+ + 2002-. 2001 )x(2002+1)=(,2002-1 ) ( . 2002+1)=2002-仁2001課后作業(yè)、選擇題1.下列式子中，是二次根式的是()A. - 7B .3 7C.XD . x2.下列式子中，不是二次根式的是()A.4B.16C.8D .1X3. 已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長是()A. 5 B. 5 C. 1D .以上皆不對(duì)54. a

21、>0 時(shí), a2、.(-a)2、-匕a2，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是().A. 了= (a)2 >-了 B. J>(a)2>/C.a2 <、(a)2 <- a2 D. -、a2 > ' a2 =、,(_a)2二、填空題1形如的式子叫做二次根式.2.面積為a的正方形的邊長為 .3負(fù)數(shù)平方根.4. (- J3) 2=.2.已知JX+1有意義，那么x+1是一個(gè)數(shù).5. - JO.OOO4=.6 .若J Om是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是 .三、綜合提高題1. 某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為 O.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面

22、應(yīng)做成正方形, 試問底面邊長應(yīng)是多少？2. 當(dāng)x是多少時(shí)，2_ +x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？x3. 若：丿3-"X + ' x 3有意義，則 王_.4. 使式子y-(x-5)2有意義的未知數(shù)x有()個(gè).A . O B.1C . 2 D .無數(shù)5. 已知a、b為實(shí)數(shù)，且 a -5+2 1O - 2a =b+4，求a、b的值.6 .計(jì)算(1)(掐)2(2) -(73 ) 2( 3 )(丄后)2( 4) (-/- ) 22V 37.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：1(1) 5(2) 3.4( 3)( 4) x (x > O)68 已知；x - y 1 + x - 3 =0,求 x