LQR在單級(jí)倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用

1、LQR在單級(jí)倒立擺系統(tǒng)中的應(yīng)用【摘要】單級(jí)倒立擺控制是一個(gè)即復(fù)雜而又對(duì)準(zhǔn)確性、快速性要求很高的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)控制問題。單級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立對(duì)研究其穩(wěn)定性具有指導(dǎo)作用。針對(duì)多變量、非線性、強(qiáng)耦合性的倒立擺系統(tǒng)，運(yùn)用牛頓動(dòng)力學(xué)方法建立其動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行線性化處理，得到狀態(tài)空間模型。然后對(duì)該模型分別進(jìn)行LQR控制，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，二次型最優(yōu)控制具有良好的響應(yīng)性能和算法簡單等特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義?！娟P(guān)鍵詞】單級(jí)倒立擺;線性二次型;最優(yōu)控制;MATLABpplicationofLQRinSingleInvertedPendulumSystemGaoXiaoq

2、in，ShenXiaolinSchoolofComputerandControlEngineering，NorthUniversityofChina，Taiyuan030051，ChinaAbstract：Single-stageinvertedpendulumcontrolisanonlinearandunstablesystemcontrolproblemthatiscomplicatedandofhigh accuracyandrapidityremands.Themathematicalmodelofsinglestageinvertedpendulumhaveguidanc

3、etostudyitsstability.Formulti-variable，nonlinear，strongcoupling invertedpendulumsystem，usingNewtoniandynamicsmethodtoestablishthedynamicequation，andlinearizationprocessingtogetthestatespacemodel.ThenusingLQRcontrolthemodelofrespectively，undertheenvironmentofMATLABsimulation.Theexperimentalresul

4、tsshowthatquadraticoptimalcontrolhasthecharacteristicsofgoodresponseperformanceandthealgorithmissimple，itisofgreatsignificanceinpracticalapplication.Keywords：ingleInvertedPendulum;LQR;optimumcontrol;MATLAB1.引言單級(jí)倒立擺是一種典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合的不穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)它的研究可歸結(jié)為對(duì)多變量非線性系統(tǒng)的研究，具有一定的理論價(jià)值【1】。從工程應(yīng)用上講，衛(wèi)星的姿態(tài)控制、機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)控制和

5、起重機(jī)械的穩(wěn)鉤裝置等都和倒立擺模型有相似之處【2】。所以，對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制研究具有重要的工程背景和實(shí)際意義。2.單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型利用牛頓-歐拉分析方法來對(duì)直線型倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模【3】。為簡化系統(tǒng)，我們?cè)诮r(shí)忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將單級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車與擺桿構(gòu)成系統(tǒng)，如圖2-1所示。圖2-1直線倒立擺系統(tǒng)的抽象圖我們不妨做以下假設(shè)：小車的質(zhì)量M;均勻桿的質(zhì)量m;小車的摩擦系數(shù)b;均勻桿的質(zhì)心到桿軸心長度l;均勻桿的慣量I;均勻桿與垂直向上方向夾角;均勻桿與垂直向下方向夾角考慮擺桿初始位置為豎直

6、向下。分別對(duì)小車和均勻桿進(jìn)行受力分析，建立單級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。小車水平方向受力：2-1擺桿水平方向受力：2-2擺桿豎直方向受力：2-3可以進(jìn)行如下處理，設(shè)當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角相比很小時(shí)，。為了得到控制理論的習(xí)慣表達(dá)，即u為一般控制量。2.2實(shí)際應(yīng)用在這里，我們參考了一些數(shù)據(jù)。代入數(shù)據(jù)得狀態(tài)方程各矩陣為：3.倒立擺的二次型最優(yōu)控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。找一狀態(tài)反響控制律：使得二次型性能指標(biāo)最小化：其中，xt為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;t0、tf為起始時(shí)間與終止時(shí)間;S為終態(tài)約束矩陣;Qt為運(yùn)動(dòng)約束矩陣;Rt為約束控制矩陣。其中Q、R決定了

7、系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性。為使J最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：式中，矩陣Pt為微分Riccatti方程：的解。如果令終止時(shí)間tf=1，Pt為一個(gè)常數(shù)矩陣，且Pt=0，因此以上的Riccatti方程簡化為：最優(yōu)反響系數(shù)矩陣：Matlab【4】中提供了專門的求解工具lqr來求取K。4.仿真結(jié)果及分析取不同的Q，R時(shí)，研究LQR控制倒立擺擺角和小車位移零狀態(tài)仿真結(jié)果。設(shè)定初始參數(shù)為：其中Q11代表小車位置的權(quán)重，而Q33是擺桿角度的權(quán)重，輸入的權(quán)重R是1?，F(xiàn)在改變Q的權(quán)值，本次將通過改變小車位置狀態(tài)變量的權(quán)值觀察變化。即：比照仿真結(jié)果如圖4-1、圖4-2所示。圖4-1零狀態(tài)響應(yīng)曲線

8、一圖4-2零狀態(tài)響應(yīng)曲線二圖4-3最優(yōu)零狀態(tài)響應(yīng)曲線比較不同的Q取值時(shí)的響應(yīng)曲線可以得出：當(dāng)Q11，Q33比值相同時(shí)，對(duì)于值較大時(shí)系統(tǒng)，其響應(yīng)速度加快，但是超調(diào)量加大;反之那么響應(yīng)變慢，但是超調(diào)量減小。通過比較，我們選取較優(yōu)的Q值，如下：此時(shí)的響應(yīng)曲線如圖4-3所示。從仿真效果可得到：系統(tǒng)經(jīng)最優(yōu)反響后，無論零狀態(tài)響應(yīng)或者是單位階躍響應(yīng)，小車位移和均勻桿角度都可以在較短的時(shí)間內(nèi)回到平衡狀態(tài)。5.結(jié)束語本文針對(duì)多變量、非線性、強(qiáng)耦合性的倒立擺系統(tǒng)，運(yùn)用牛頓力學(xué)方法建立其動(dòng)力學(xué)方程，并進(jìn)行線性化處理，得到倒立擺的狀態(tài)空間模型。然后，重點(diǎn)基于LQR對(duì)一級(jí)倒立擺進(jìn)行了最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì);并在MATLAB環(huán)境下，對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果說明控制效果良好。參考文獻(xiàn)【1】BilingSA，TsangKM.Spectralanalysisfornonlinearsystems.Part：InterpretationofnonlinearfrequencyresponsefunctionJ.MechanicalSystemsandSignalProcessing，1989，34：341-359.【2】ZhangH，BillingsSA.Analyzingthetransferfunctionofnonlinearsystemsinthefrequencydoma