LQR在單級倒立擺系統(tǒng)中的應用

1、LQR在單級倒立擺系統(tǒng)中的應用【摘要】單級倒立擺控制是一個即復雜而又對準確性、快速性要求很高的非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)控制問題。單級倒立擺數(shù)學模型的建立對研究其穩(wěn)定性具有指導作用。針對多變量、非線性、強耦合性的倒立擺系統(tǒng)，運用牛頓動力學方法建立其動力學方程，并進行線性化處理，得到狀態(tài)空間模型。然后對該模型分別進行LQR控制，在MATLAB環(huán)境下進行仿真。實驗結(jié)果說明，二次型最優(yōu)控制具有良好的響應性能和算法簡單等特點，在實際應用中具有重要意義。【關(guān)鍵詞】單級倒立擺;線性二次型;最優(yōu)控制;MATLABpplicationofLQRinSingleInvertedPendulumSystemGaoXiaoq

2、in，ShenXiaolinSchoolofComputerandControlEngineering，NorthUniversityofChina，Taiyuan030051，ChinaAbstract：Single-stageinvertedpendulumcontrolisanonlinearandunstablesystemcontrolproblemthatiscomplicatedandofhigh accuracyandrapidityremands.Themathematicalmodelofsinglestageinvertedpendulumhaveguidanc

3、etostudyitsstability.Formulti-variable，nonlinear，strongcoupling invertedpendulumsystem，usingNewtoniandynamicsmethodtoestablishthedynamicequation，andlinearizationprocessingtogetthestatespacemodel.ThenusingLQRcontrolthemodelofrespectively，undertheenvironmentofMATLABsimulation.Theexperimentalresul

4、tsshowthatquadraticoptimalcontrolhasthecharacteristicsofgoodresponseperformanceandthealgorithmissimple，itisofgreatsignificanceinpracticalapplication.Keywords：ingleInvertedPendulum;LQR;optimumcontrol;MATLAB1.引言單級倒立擺是一種典型的多變量、非線性、強耦合的不穩(wěn)定系統(tǒng)，對它的研究可歸結(jié)為對多變量非線性系統(tǒng)的研究，具有一定的理論價值【1】。從工程應用上講，衛(wèi)星的姿態(tài)控制、機器人的關(guān)節(jié)運動控制和

5、起重機械的穩(wěn)鉤裝置等都和倒立擺模型有相似之處【2】。所以，對倒立擺系統(tǒng)的控制研究具有重要的工程背景和實際意義。2.單級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1一級倒立擺的數(shù)學模型利用牛頓-歐拉分析方法來對直線型倒立擺系統(tǒng)進行數(shù)學建?！?】。為簡化系統(tǒng)，我們在建模時忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認為擺桿為剛體。在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將單級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車與擺桿構(gòu)成系統(tǒng)，如圖2-1所示。圖2-1直線倒立擺系統(tǒng)的抽象圖我們不妨做以下假設：小車的質(zhì)量M;均勻桿的質(zhì)量m;小車的摩擦系數(shù)b;均勻桿的質(zhì)心到桿軸心長度l;均勻桿的慣量I;均勻桿與垂直向上方向夾角;均勻桿與垂直向下方向夾角考慮擺桿初始位置為豎直

6、向下。分別對小車和均勻桿進行受力分析，建立單級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學模型。小車水平方向受力：2-1擺桿水平方向受力：2-2擺桿豎直方向受力：2-3可以進行如下處理，設當擺桿與垂直向上方向之間的夾角相比很小時，。為了得到控制理論的習慣表達，即u為一般控制量。2.2實際應用在這里，我們參考了一些數(shù)據(jù)。代入數(shù)據(jù)得狀態(tài)方程各矩陣為：3.倒立擺的二次型最優(yōu)控制線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。找一狀態(tài)反響控制律：使得二次型性能指標最小化：其中，xt為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;t0、tf為起始時間與終止時間;S為終態(tài)約束矩陣;Qt為運動約束矩陣;Rt為約束控制矩陣。其中Q、R決定了

7、系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。為使J最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：式中，矩陣Pt為微分Riccatti方程：的解。如果令終止時間tf=1，Pt為一個常數(shù)矩陣，且Pt=0，因此以上的Riccatti方程簡化為：最優(yōu)反響系數(shù)矩陣：Matlab【4】中提供了專門的求解工具lqr來求取K。4.仿真結(jié)果及分析取不同的Q，R時，研究LQR控制倒立擺擺角和小車位移零狀態(tài)仿真結(jié)果。設定初始參數(shù)為：其中Q11代表小車位置的權(quán)重，而Q33是擺桿角度的權(quán)重，輸入的權(quán)重R是1?，F(xiàn)在改變Q的權(quán)值，本次將通過改變小車位置狀態(tài)變量的權(quán)值觀察變化。即：比照仿真結(jié)果如圖4-1、圖4-2所示。圖4-1零狀態(tài)響應曲線

8、一圖4-2零狀態(tài)響應曲線二圖4-3最優(yōu)零狀態(tài)響應曲線比較不同的Q取值時的響應曲線可以得出：當Q11，Q33比值相同時，對于值較大時系統(tǒng)，其響應速度加快，但是超調(diào)量加大;反之那么響應變慢，但是超調(diào)量減小。通過比較，我們選取較優(yōu)的Q值，如下：此時的響應曲線如圖4-3所示。從仿真效果可得到：系統(tǒng)經(jīng)最優(yōu)反響后，無論零狀態(tài)響應或者是單位階躍響應，小車位移和均勻桿角度都可以在較短的時間內(nèi)回到平衡狀態(tài)。5.結(jié)束語本文針對多變量、非線性、強耦合性的倒立擺系統(tǒng)，運用牛頓力學方法建立其動力學方程，并進行線性化處理，得到倒立擺的狀態(tài)空間模型。然后，重點基于LQR對一級倒立擺進行了最優(yōu)控制器的設計;并在MATLAB環(huán)境下，對倒立擺系統(tǒng)進行仿真實驗，仿真結(jié)果說明控制效果良好。參考文獻【1】BilingSA，TsangKM.Spectralanalysisfornonlinearsystems.Part：InterpretationofnonlinearfrequencyresponsefunctionJ.MechanicalSystemsandSignalProcessing，1989，34：341-359.【2】ZhangH，BillingsSA.Analyzingthetransferfunctionofnonlinearsystemsinthefrequencydoma