高中圓錐曲線定點定直線問題

1、定點、定直線、定值專題1、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，(最好是用向量點乘來)，解得，且滿足.當(dāng)時，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為2、已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點分別為，。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點，直線與交于點S。試問：當(dāng)m變化時，點S是否恒在一

2、條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。解法一：（）設(shè)橢圓的方程為。1分，。4分橢圓的方程為。5分（）取得，直線的方程是直線的方程是交點為7分,若，由對稱性可知交點為若點在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則。9分設(shè)與交于點由得設(shè)與交于點由得10，12分，即與重合，這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。13分解法二：（）取得，直線的方程是直線的方程是交點為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點為若交點在同一條直線上，則直線只能為。8分以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。事實上，由得即，記，則

3、。9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。解法三：（）由得即。記，則。6分的方程是的方程是7分由得9分即12分這說明，當(dāng)變化時，點恒在定直線上。13分3、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率為 （）求橢圓的方程； （）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得：。2分橢圓E的方程為。3分（）法一：假設(shè)存在符合條件的點，又設(shè)，則：。5分當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程

4、為：，則由得7分所以9分對于任意的值，為定值，所以，得，所以；11分當(dāng)直線的斜率不存在時，直線由得綜上述知，符合條件的點存在，起坐標(biāo)為13分法二：假設(shè)存在點，又設(shè)則：=.5分當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，由得7分9分設(shè)則11分當(dāng)直線的斜率為0時，直線，由得：綜上述知，符合條件的點存在，其坐標(biāo)為。13分4、已知橢圓的焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率，過橢圓的右焦點作與坐標(biāo)軸不垂直的直線，交橢圓于、兩點。 （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)點是線段上的一個動點，且，求的取值范圍； （）設(shè)點是點關(guān)于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、三點共線？若存在，求出定點的坐標(biāo)，若

5、不存在，請說明理由。解法一： （I）設(shè)橢圓方程為，由題意知故橢圓方程為 （）由（I）得，所以，設(shè)的方程為（）代入，得 設(shè)則,由，當(dāng)時，有成立。（）在軸上存在定點，使得、三點共線。依題意知，直線BC的方程為， 令，則的方程為、在直線上，在軸上存在定點，使得三點共線。解法二：（）由（I）得，所以。設(shè)的方程為 代入，得設(shè)則 當(dāng)時，有成立。 （）在軸上存在定點，使得、三點共線。 設(shè)存在使得、三點共線，則， ， 即 ，存在，使得三點共線。1點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方， （1）求橢圓C的的方程；（2）求點P的坐

6、標(biāo)；（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值。2已知在平面直角坐標(biāo)系中，向量，且 .（I）設(shè)的取值范圍；（II）設(shè)以原點O為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點的橢圓經(jīng)過點M，且取最小值時，求橢圓的方程.3設(shè)A、B是橢圓3x2y2=上的兩點, 點N(1,3)是線段AB的中點.(1)確定的取值范圍, 使直線AB存在, 并求直線AB的方程.(2)線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C,D兩點, 求線段CD的中點M的坐標(biāo)(3)試判斷是否存在這樣的, 使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.xyOPQREFT4設(shè)是拋物線上相異兩點，且，直

7、線與軸相交于（）若到軸的距離的積為，求的值；（）若為已知常數(shù)，在軸上，是否存在異于的一點，使得直線與拋物線的另一交點為，而直線與軸相交于，且有，若存在，求出點的坐標(biāo)（用表示），若不存在，說明理由5已知點A、B的坐標(biāo)分別是，.直線相交于點M，且它們的斜率之積為2.()求動點M的軌跡方程;()若過點的直線交動點M的軌跡于C、D兩點, 且N為線段CD的中點，求直線的方程.6已知，點在軸上，點在軸的正半軸，點在直線上，且滿足，.（）當(dāng)點在軸上移動時，求動點的軌跡方程；（）過的直線與軌跡交于、兩點，又過、作軌跡的切線、，當(dāng)，求直線的方程.7已知點C為圓的圓心，點A（1，0），P是圓上的動點，點Q在圓的半

8、徑CP上，且 （）當(dāng)點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程； （）若直線與（）中所求點Q的軌跡交于不同兩點F，H，O是坐標(biāo)原點，且，求FOH的面積 8如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率e，左右兩個焦分別為過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1() 求橢圓的方程；() 設(shè)橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，（）試求點P的軌跡方程，使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓上. 9已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點（）求橢圓的方程；（）若直線：（）與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上10如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>

9、0)作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點。 ()設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明()設(shè)直線AB的方程是x2y+12=0,過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程。11已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求的范圍。12如圖,過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點 設(shè)點P滿足（為實數(shù)），證明：；設(shè)直線AB的方程是，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程

10、13一束光線從點出發(fā)，經(jīng)直線上一點反射后，恰好穿過點（）求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)；（）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓的兩條準(zhǔn)線分別交于、兩點，點為線段上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標(biāo)14已知平面上一定點和一定直線為該平面上一動點，作垂足為，.(1) 問點在什么曲線上？并求出該曲線方程；(2) 點是坐標(biāo)原點，兩點在點的軌跡上，若求的取值范圍15如圖，已知E、F為平面上的兩個定點 ，且，·，（G為動點，P是HP和GF的交點）（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點的軌跡方程；（2）若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與GFPHE（或的延長線）相交于一點，則（為的中點）16已知動圓過定點，且與直線相切.(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點（0，1），并與軌跡交于兩點，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.17已知若動點P滿足 （1）求動點P的軌跡方C的方程； （2）設(shè)Q是曲線C上任意一點，求Q到直線的距離的最小值.18已知拋物線x=2py(p>0)，過動點M(0,a)，且斜率為1的直線L與該拋物線交于不同