電動(dòng)力學(xué)復(fù)習(xí)提綱及復(fù)習(xí)習(xí)題參考答案

1、 2011級(jí)電動(dòng)力學(xué)復(fù)習(xí)提綱數(shù)學(xué)準(zhǔn)備理解散度、旋度、梯度的意義，熟悉矢量的梯度、散度、旋度在直角、球、圓柱坐標(biāo)系中的運(yùn)算，以及散度定理（高斯定理）、旋度定理（斯托克斯定理）。章后練習(xí)1、2。第1章理解全章內(nèi)容，會(huì)推導(dǎo)本章全部公式。重點(diǎn)推導(dǎo)麥克斯韋方程組，以及用積分形式的麥克斯韋方程組推出邊值關(guān)系。章后練習(xí)1、2、5、9、10、12第2章能推導(dǎo)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律，并且能說(shuō)明各物理量及定律的物理意義。能認(rèn)識(shí)電磁場(chǎng)動(dòng)量及動(dòng)量轉(zhuǎn)化和守恒定律，并且能說(shuō)明各物理量及定律的物理意義。了解電磁場(chǎng)的角動(dòng)量，理解電磁場(chǎng)有角動(dòng)量且角動(dòng)量轉(zhuǎn)化和守恒的意義。P35例題，書(shū)后練習(xí)2、3第3章理解靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，為

2、什么可以提出，在求解靜電磁場(chǎng)時(shí)有什么意義。勢(shì)的方程和邊值關(guān)系及推導(dǎo)。深入理解唯一性定理，能應(yīng)用其解釋電磁現(xiàn)象，比如靜電屏蔽現(xiàn)象。熟悉電磁能量勢(shì)函數(shù)表達(dá)式及意義。會(huì)獨(dú)立完成P48例題1,，P55例1、例2，P57例5,。練習(xí)1、3、6、7第4章掌握靜像法、簡(jiǎn)單情形下的分離變量法；理解多極矩法，掌握電偶極矩的勢(shì)、場(chǎng)，以及能量、受力等；知道電四極矩的表示，計(jì)算。了解磁偶極矩的表示、能量。熟悉超導(dǎo)的基本電磁性質(zhì)及經(jīng)典電磁理論的解釋。會(huì)獨(dú)立熟練計(jì)算P62例題1、P64例2及相關(guān)討論；P69例1、P72例3；P74例1、例2。練習(xí)3、4、5、7、10、12第5章1、理解如何由麥克斯韋方程推導(dǎo)自由空間的波動(dòng)

3、方程，理解其意義。2、能推出電場(chǎng)和磁場(chǎng)的定態(tài)方程（亥姆霍茲方程），熟練掌握自由空間平面電磁波表達(dá)式，并且能應(yīng)用其證明平面電磁波性質(zhì)；3、能推導(dǎo)反射、折射定律、費(fèi)涅爾公式，并且能應(yīng)用其討論布儒斯特定律、半波損失等常見(jiàn)現(xiàn)象；4、理解全反射現(xiàn)象，知道什么情形下發(fā)生全反射，折射波表示，透射深度；5、熟悉電磁波在導(dǎo)體空間表達(dá)式，理解其物理意義、理解良導(dǎo)體條件及物理意義；能推導(dǎo)導(dǎo)體中電荷密度；知道導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系；理解趨膚效應(yīng)，計(jì)算趨膚深度；理想導(dǎo)體的邊值關(guān)系；6、理解波導(dǎo)管中電磁波的求解過(guò)程和結(jié)果，知道結(jié)構(gòu)。能計(jì)算截止頻率。了解諧振腔中的電磁場(chǎng)解，理解且求解共振頻率。7、獨(dú)立計(jì)算P103，P111

4、，P120例1、P121的例2、例3。練習(xí)5、7、8、9，10第6章1、熟悉并且理解時(shí)變電磁場(chǎng)的電磁勢(shì)及與電磁場(chǎng)的關(guān)系；2、什么是規(guī)范變換和規(guī)范不變性，熟悉庫(kù)侖規(guī)范和洛侖茲規(guī)范；3、熟悉達(dá)朗貝爾方程，理解什么是近區(qū)、感應(yīng)區(qū)、輻射區(qū)及特點(diǎn)；了解多極展開(kāi)方法的應(yīng)用；理解什么是推遲勢(shì)，物理意義和表達(dá)式；4、熟悉電偶極輻射的電磁場(chǎng)及性質(zhì)特點(diǎn)、偶極輻射的功率特點(diǎn)。5、獨(dú)立完成練習(xí)2第7章1、了解狹義相對(duì)論的產(chǎn)生過(guò)程，對(duì)電磁學(xué)發(fā)展的意義；2、熟練掌握狹義相對(duì)論的原理；洛侖茲變換式、間隔的概念及表示；3、熟悉物理量按變換性質(zhì)分類(lèi)；理解如何得到協(xié)變物理量、判斷物理規(guī)律的協(xié)變性、熟悉教材給出的四維物理量、洛倫茲

5、變換矩陣；4、熟練掌握相對(duì)論的多普勒效應(yīng)及特點(diǎn)；5、了解協(xié)變的電動(dòng)力學(xué)規(guī)律；6、熟悉如何求解以勻速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子的勢(shì)函數(shù)、電磁場(chǎng)及特點(diǎn)；7、獨(dú)立完成P159例4、P162例1、P164例2，P165例3、例4，練習(xí)2、8，9， 11,12第8章1、理解相對(duì)論的時(shí)空效應(yīng)，能用洛侖茲變換式推出同時(shí)的相對(duì)性，長(zhǎng)度收縮，動(dòng)鐘變慢，因果律及光速極限，并且能夠應(yīng)用計(jì)算；2、理解相對(duì)論的時(shí)空結(jié)構(gòu)；熟悉速度變換式并且能應(yīng)用計(jì)算；3、熟悉質(zhì)能關(guān)系式并且理解怎么提出的，深入理解靜能、動(dòng)能的概念。4、獨(dú)立完成P171例1，P173例2，P177例3，P180例1，P181例2，P182例3. 練習(xí)1、2、5、7、8

6、、10、11第9章了解運(yùn)動(dòng)帶電粒子的電磁場(chǎng)，什么時(shí)候能產(chǎn)生輻射；了解經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的適用范圍。注：1、課堂上的補(bǔ)充例題及課堂練習(xí)要求掌握；2、考題形式有填空22分，選擇填空18分，證明10分，計(jì)算50分；3、總成績(jī)100分，平時(shí)作業(yè)20（包括作業(yè)和課堂練習(xí)），考勤10，期末70。部分習(xí)題答案習(xí)題一（1、2、12自己證明）1用靜電場(chǎng)的高斯定理說(shuō)明電力線總是從正電荷發(fā)出，止于負(fù)電荷，且靜電場(chǎng)線不可能是閉合的。2用磁場(chǎng)的高斯定理說(shuō)明磁力線總是閉合的。5試證明：在均勻介質(zhì)內(nèi)部，極化電荷密度與自由電荷密度的關(guān)系為，其中是介質(zhì)的電容率 證明：因?yàn)?，電容率與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，由，和，得一般介質(zhì)，因此與符號(hào)相反。9平行

7、板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和今在兩極板間接上電動(dòng)勢(shì)為的電池，求電容器兩板上的自由電荷面密度；介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度若分界面是漏電的，電導(dǎo)率分別為和，當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩問(wèn)題的結(jié)果如何？解 （1）求兩板上自由電荷面密度和，在介質(zhì)絕緣情況下，電容器內(nèi)不出現(xiàn)電流. (1)邊值關(guān)系為 , (2)在兩種絕緣介質(zhì)的分界面上，沒(méi)有自由電荷分布， (3)因?yàn)閮蓸O板中（導(dǎo)體中）電場(chǎng)為0，;在導(dǎo)體和介質(zhì)的分界面2處有得 在另一導(dǎo)體與介質(zhì)的分界面1處有 （4） 聯(lián)立解得 可見(jiàn)，整個(gè)電容器保持（電中性）（2）當(dāng)介質(zhì)略為漏電，并達(dá)到穩(wěn)恒時(shí)，要保持電流連續(xù)性條件成立 即 在兩介質(zhì)界面上有

8、自由電荷積累，此時(shí)，應(yīng)有 極板的電導(dǎo)率遠(yuǎn)大于和，故極板中電場(chǎng)近似為0 根據(jù)邊值關(guān)系最后得出,各交界面上自由電荷面密度為 , ,10試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面證明：因?yàn)?，導(dǎo)體內(nèi)（1）電場(chǎng)為0，所以導(dǎo)體外（2）電場(chǎng)的切向分量為0，電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面。在恒定電流情況下，則有，又由歐姆定律 故導(dǎo)體中，所以電場(chǎng)僅有切向分量，電場(chǎng)線平行于導(dǎo)體表面。12.用靜電場(chǎng)的環(huán)路定理說(shuō)明，電力線不可能是閉合曲線。習(xí)題二內(nèi)外半徑分別為和的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形電容器，單位長(zhǎng)度荷電為，板間填充電導(dǎo)率為的非鐵磁

9、物質(zhì)證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消因此內(nèi)部無(wú)磁場(chǎng)求隨時(shí)間的衰減規(guī)律求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度求長(zhǎng)度為的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率解：由高斯定理可得，則 由歐姆定律微分形式 而位移電流密度，對(duì)其兩邊求散度 又由 ，得 ，所以 。因?yàn)榻橘|(zhì)是非鐵磁性的，即，故任意一點(diǎn)，任意時(shí)刻有由，解這個(gè)微分方程得功率密度長(zhǎng)度為的一段介質(zhì)耗散的功率為 能量密度長(zhǎng)度為的一段介質(zhì)內(nèi)能量減少率為 一很長(zhǎng)的直圓筒，半徑為，表面上帶有一層均勻電荷，電荷量的面密度為在外力矩的作用下，從時(shí)刻開(kāi)始，以勻角加速度繞它的幾何軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示z試求筒內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；試求筒內(nèi)接近內(nèi)表

10、面處的電場(chǎng)強(qiáng)度和玻印廷矢量；試證明：進(jìn)入這圓筒長(zhǎng)為一段的的通量為 解：?jiǎn)挝幻骐娏?在圓筒的橫截面內(nèi)，以軸線為心，為半徑作一圓，通過(guò)這圓面積的磁通量為 由法拉第定律，得 因?yàn)?所以 考慮到方向，則有 在筒內(nèi)接近表面處， 該處的能流密度為 負(fù)號(hào)表明，S垂直于筒表面指向筒內(nèi)。進(jìn)入這圓筒長(zhǎng)為一段的S的通量為 而 所以 討論：此結(jié)果表明，筒內(nèi)磁場(chǎng)增加的能量等于S流入的能量。由于筒未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，筒內(nèi)磁場(chǎng)為零，磁場(chǎng)能量為零，磁場(chǎng)能都是經(jīng)過(guò)玻印廷矢量由表面輸入的。習(xí)題三 試證明，在兩種導(dǎo)電介質(zhì)的分界面上，證明：因?yàn)?所以，又， 即 3. 試論證：在沒(méi)有電荷的地方，電勢(shì)既不能達(dá)到極大值，也不能達(dá)到極小值（提示：分真

11、空和均勻介質(zhì)空間，用泊松方程證明）證明：由 （1）沒(méi)有電荷的地方 （2）如果為極大，則，這不滿足（2）式，可見(jiàn)沒(méi)有電荷處，不能為極大。同理可以證明不能為極小。在均勻介質(zhì)中，有，若沒(méi)有自由電荷，也就沒(méi)有極化電荷。方程（2）仍然成立，證明和前面一樣。 6三個(gè)同心薄金屬球殼形成一個(gè)靜電系統(tǒng)，內(nèi)球半徑為，中間球半徑為,外球半徑為 ，球殼之間為真空，內(nèi)外球殼接地，電荷Q置于中間球殼上，試求：（1）內(nèi)球殼上的感應(yīng)電荷值;(2) 外球面上的感應(yīng)電荷的值. 解 在所研究場(chǎng)域內(nèi)無(wú)電荷分布，故場(chǎng)域滿足 .因?yàn)殡妶?chǎng)具有球?qū)ΨQ的特點(diǎn)，故選用球坐標(biāo)，且，于是 或在球坐標(biāo)系中 (1)積分得 (2)同理得 (3)根據(jù)邊界條

12、件確定常數(shù)A 、B.由 , 得 (4)由 得（5）聯(lián)立（4）、（5）式，得 ; 因此，球殼之間電場(chǎng)分布為;內(nèi)球殼上感應(yīng)電荷分布總電荷外球殼內(nèi)表面感應(yīng)電荷分布為 總電荷 .7.（1）根據(jù)電荷守恒定律證明穩(wěn)恒電流情況下的邊界條件：電流密度的法向分量連續(xù).（2）證明導(dǎo)體表面電位移的法向分量(為面電流密度），但 D不在導(dǎo)體表面的法線方向. 解（1）在兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上，作一扁圓柱體（高），把連續(xù)性方程 用于這個(gè)圓柱面上，則或，法向單位基矢n 由媒質(zhì)1指向媒質(zhì)2，因此電流密度在界面法線n上的分量連續(xù).（2）由于介質(zhì)中各點(diǎn) ，故導(dǎo)電媒質(zhì)與非導(dǎo)電媒質(zhì)交界面上邊界條件為 t ,因?yàn)殡妶?chǎng)有切向分量，所以D不

13、在導(dǎo)體表面法線方向。分析 （1）在穩(wěn)流場(chǎng)中，兩種導(dǎo)電媒質(zhì)界面上 連續(xù)，而不連續(xù)是由于界面上存在面電荷.面電荷密度為界面上積累電荷密度激發(fā)的電場(chǎng)將影響整個(gè)空間的電場(chǎng)分布.（2）兩種導(dǎo)電媒質(zhì)的交界面不是等勢(shì)面，當(dāng)交界面上各點(diǎn)切向分量 ，界面才是等勢(shì)面.（3）對(duì)理想導(dǎo)體 ，其內(nèi)部電流密度有限，故 ，整個(gè)理想導(dǎo)體為等勢(shì)體.在穩(wěn)流場(chǎng)中，一般把供電電極作為理想導(dǎo)體使用，而不論其電導(dǎo)率的值為多大.習(xí)題四接地的空心導(dǎo)體球內(nèi)外半徑為和，在球內(nèi)離球心為處置一點(diǎn)電荷，求空間的電勢(shì)分布導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？答案：，分布在內(nèi)表面感應(yīng)電荷不等于像電荷提示：該題的解法與例題2完全類(lèi)似，只是像電荷

14、在球外空間。上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶電荷，或使其有確定的電勢(shì)，試求這兩種情況的電勢(shì)又問(wèn)和是何種關(guān)系時(shí)，兩情況的解相等？解：由疊加原理，本題可以看作3題再疊加一個(gè)半徑為的均勻帶電球面，球面帶電為。若題給條件是導(dǎo)體球殼電勢(shì)為，則在3題基礎(chǔ)上疊加一電勢(shì)為球面。所以或者，當(dāng)時(shí)，兩種情況的結(jié)果相等在處和處有兩個(gè)互相垂直的無(wú)限大導(dǎo)體面，設(shè)有一點(diǎn)電荷從無(wú)限遠(yuǎn)處準(zhǔn)靜態(tài)地移至，z=0處，試求電荷在這位置上所受的電場(chǎng)力及移動(dòng)中外力所做的功解：用電像法求點(diǎn)電荷所受電場(chǎng)力，即像電荷給點(diǎn)電荷的力，再求力的功。qq1q2q3abxy設(shè)點(diǎn)電荷電量為q，有三個(gè)像點(diǎn)電荷，如圖示，q受到的力為3個(gè)像電荷的力外力的功為 為q所

15、在點(diǎn)感應(yīng)電荷電勢(shì)，也即3個(gè)像電荷的電勢(shì)疊加所以在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為的半球凸起，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平面相距為，如題圖求空間的電勢(shì)題圖解：有三個(gè)像電荷，如圖示位置分別為空間的電勢(shì)是及三個(gè)像電荷電勢(shì)的疊加10均勻外電場(chǎng)中置入半徑為的導(dǎo)體球。試用分離變量法求下列兩種情況下空間的電勢(shì)分布： 導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢(shì); 導(dǎo)體球上帶電荷解: 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)處原來(lái)電勢(shì)為，問(wèn)題具有軸對(duì)稱性.所以滿足拉普拉斯方程 （） 滿足的邊界條件有 由軸對(duì)稱情形拉普拉斯方程通解 再由邊界條件 則有 再由得即，所以有 解拉普拉斯方程 邊界條件：1、 2、 3、，

16、12. 在均勻外電場(chǎng)中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球（介電常數(shù)），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：設(shè)球外電勢(shì)為，球內(nèi)電勢(shì)為，則有由迭加原理，是拉普拉斯方程解，是均勻帶電球解，故，由邊界條件得R0，有限所以習(xí)題五5試用菲涅爾公式說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，反射波電矢量與入射波電矢量反相，即半波損失現(xiàn)象。提示：直接用菲涅爾公式即可得到。7有一個(gè)可見(jiàn)平面光波由水入射到空氣，入射角為證明這時(shí)將會(huì)發(fā)生全反射，并求折射波的透入深度設(shè)該波在空氣中的波長(zhǎng)為，水的折射率為解：全反射臨界角為，故會(huì)發(fā)生全反射透入深度為cm8.已知海水的，試計(jì)算頻率為的三種電磁波在海水中的透入深度解：則透入深度分別為9頻率為的電磁波，在的矩形波導(dǎo)中可能傳播

17、哪些波型？ 解：對(duì)一組 截止頻率為 只有當(dāng)截止頻率小于，相應(yīng)的波模才能在波導(dǎo)管內(nèi)傳播，計(jì)算得 因?yàn)門(mén)M波的最低波型（波模）為T(mén)M11，而現(xiàn)在，所以TM波都不可能傳播。所以可以傳播TE01和TE10波型。10試證明矩形波導(dǎo)中不存在波或波但可以有波和波。證：因?yàn)殡妶?chǎng)解為磁場(chǎng)解為有所以可以有波和波。而TM波有所以不存在波或波因?yàn)檫@樣會(huì)僅有或，線為直線，從波導(dǎo)管的一個(gè)側(cè)面到另一側(cè)面，這與矛盾習(xí)題六2. （1）兩圓形極板構(gòu)成的平板電容器板間距為d。其中的介質(zhì)是有損耗的，電導(dǎo)率為，介電常數(shù)為。假設(shè)平板間電場(chǎng)均勻并不計(jì)邊緣效應(yīng)，板間加電壓U=Umsint，求電容器中任一點(diǎn)的磁場(chǎng)。（2） 試求與空間磁場(chǎng)H=A

18、1相應(yīng)的位移電流。解 （1）平板間電場(chǎng)均勻，且為E=因此，傳導(dǎo)電流密度為位移電流密度根據(jù)電流分布可知距圓形極板的中心軸等遠(yuǎn)處磁場(chǎng)H數(shù)值相等，磁力線分布是一系列圓心在中心軸上的同心圓，設(shè)某點(diǎn)離軸r遠(yuǎn)，由安培環(huán)路定律H·dl= H=, B=（1） 根據(jù) （因?yàn)榇丝臻g沒(méi)有傳導(dǎo)電流） 相應(yīng)的位移電流為jD=A2習(xí)題七2用洛侖茲變換式和四維坐標(biāo)矢量，導(dǎo)出洛侖茲變換矩陣。 解：洛侖茲變換式為 （1）令，按矢量的變換性質(zhì)，則 （2）為洛侖茲變換矩陣，設(shè)為 （3）由（2）式矩陣計(jì)算為 （4）（4）式計(jì)算結(jié)果為 (5)將（5）式和（1）式比較，不難得出 其中 ，L中其余各量為0. 所以 .8某星球發(fā)出

19、的Ha線在其靜止參考系中波長(zhǎng)為.若地球上的觀察者測(cè)得該星球的運(yùn)動(dòng)速度為,試計(jì)算下列情況下地球上的觀察者看到從該星球發(fā)出的Ha線的波長(zhǎng).該星球的運(yùn)動(dòng)方向與輻射方向所夾角為.解 由多普勒效應(yīng) 設(shè)波源對(duì)系靜止，故多普勒效應(yīng)的波長(zhǎng)表示為 其中 c=3.0×108 v=3.0×105 表示星球逆著觀察者視方向，迎觀察者而來(lái)，此時(shí)故 （紫移） 表示星球順著觀察者的視方向，離觀察者而去 （紅移）表示星球的運(yùn)動(dòng)方向與觀察者的視方向垂直；由(1)式 （橫向紅移）9設(shè)有一發(fā)光原子，當(dāng)其靜止時(shí)，輻射的光波波長(zhǎng)為，現(xiàn)此原子以速度v相對(duì)于慣性系S運(yùn)動(dòng)，試求在該慣性系中順v的方向和垂直v的方向傳播的光

20、波頻率 。解 按Lorentz變換關(guān)系，設(shè)v沿S系中x軸正方向，則S中觀察光的頻率與原子靜止坐標(biāo)系中光頻率有如下關(guān)系設(shè)光波傳播方向在S系中與x軸夾角為，則 其中 沿著v方向光頻率為 垂直v方向光頻率為 。11（1）計(jì)算，其中為四維速度矢量。（2）證明為四維矢量.解（1） =是不變量。（2），故是四維協(xié)變矢量算符。12證明：如果在一個(gè)慣性系中，則在其他慣性系中必然有。解 根據(jù)電磁場(chǎng)變換關(guān)系，若系中有E、B, （相對(duì)以v沿x軸運(yùn)動(dòng)）中有、，則有變換關(guān)系如是所以 顯然，若在中,在中亦有。習(xí)題八1設(shè)兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長(zhǎng)度均為，它們以相同的速率相對(duì)于某一參考系運(yùn)動(dòng)，但是運(yùn)動(dòng)方向相反，且平行于尺子。求站在一根尺子上測(cè)量另一根尺子的長(zhǎng)度。解：設(shè)1尺系沿系軸正向以速度運(yùn)動(dòng)，則2尺系相對(duì)于系的速度為，因此在1尺上測(cè)得2尺的速度及其長(zhǎng)度分別為 兩尺看對(duì)方長(zhǎng)度一樣。 5火箭A和B分別以和的速度相對(duì)于地球向右和向左飛行。由火箭B的觀察者測(cè)得火箭A的速度是多少？解 方法一：取如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：地球; 火箭B ; 火箭A運(yùn)動(dòng)