信號(hào)分析基礎(chǔ)

1、2021/8/141第二章第二章 信號(hào)分析基礎(chǔ)信號(hào)分析基礎(chǔ) 2.1 信號(hào)信號(hào)一、概述一、概述 信號(hào)可以分為確定性信號(hào)和非確定性信號(hào)兩大類(lèi)。信號(hào)可以分為確定性信號(hào)和非確定性信號(hào)兩大類(lèi)。是指可以用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表來(lái)明確描述是指可以用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖表來(lái)明確描述其關(guān)系的信號(hào)。其關(guān)系的信號(hào)。具有隨機(jī)特點(diǎn)，每次觀察的結(jié)果都不相具有隨機(jī)特點(diǎn)，每次觀察的結(jié)果都不相同，無(wú)法用數(shù)學(xué)式或圖表描述其關(guān)系，更不能確切預(yù)同，無(wú)法用數(shù)學(xué)式或圖表描述其關(guān)系，更不能確切預(yù)測(cè)，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法由過(guò)去估計(jì)未來(lái)，因此也叫測(cè)，只能用概率統(tǒng)計(jì)方法由過(guò)去估計(jì)未來(lái)，因此也叫隨機(jī)信號(hào)。隨機(jī)信號(hào)。2021/8/142 確定性信號(hào)確定性信號(hào)又可

2、分為又可分為周期信號(hào)周期信號(hào)和和非周期信號(hào)非周期信號(hào)隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)又可分又可分平穩(wěn)平穩(wěn)和和非平穩(wěn)非平穩(wěn)的信號(hào)兩種的信號(hào)兩種周期信號(hào)周期信號(hào)是經(jīng)過(guò)一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)，是經(jīng)過(guò)一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)，滿(mǎn)足條件：滿(mǎn)足條件： x ( t ) = x ( t + N t )式中：式中：T周期，周期，T20； 0基頻基頻 N0，十十12021/8/143確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào) 當(dāng)信號(hào)是一確定的時(shí)間函數(shù)時(shí)，給定某一時(shí)間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值。這樣的信號(hào)稱(chēng)為確定信號(hào)。 隨機(jī)信號(hào)不是確定的時(shí)間函數(shù)，只知道該信號(hào)取某一數(shù)值的概率。 帶有信息的信號(hào)往往具有不可預(yù)知的不確定性，是一種隨

3、機(jī)信號(hào)。 除實(shí)驗(yàn)室發(fā)生的有規(guī)律的信號(hào)外，通常的信號(hào)都是隨機(jī)的，因?yàn)榇_定信號(hào)對(duì)受信者不可能載有信息。2021/8/144 連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào) 如果在某一時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)于一切時(shí)間如果在某一時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)于一切時(shí)間值，除若干不連續(xù)點(diǎn)外，該函數(shù)都能給值，除若干不連續(xù)點(diǎn)外，該函數(shù)都能給出確定的函數(shù)值，此信號(hào)稱(chēng)為連續(xù)信號(hào)。出確定的函數(shù)值，此信號(hào)稱(chēng)為連續(xù)信號(hào)。 和連續(xù)信號(hào)相對(duì)應(yīng)的是離散信號(hào)。代表和連續(xù)信號(hào)相對(duì)應(yīng)的是離散信號(hào)。代表離散信號(hào)的時(shí)間函數(shù)只在某些不連續(xù)的離散信號(hào)的時(shí)間函數(shù)只在某些不連續(xù)的時(shí)間值上給定函數(shù)值。時(shí)間值上給定函數(shù)值。 一般而言，模擬信號(hào)是連續(xù)的（時(shí)間和一般而言，模擬信號(hào)是

4、連續(xù)的（時(shí)間和幅值都是連續(xù)的），數(shù)字信號(hào)是離散的幅值都是連續(xù)的），數(shù)字信號(hào)是離散的2021/8/145連續(xù)信號(hào)f(t)0t0tf(t)f0f1f22021/8/146離散信號(hào)01234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1)2021/8/147 周期信號(hào)與非周期信號(hào)周期信號(hào)與非周期信號(hào) 用確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，可以分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。 當(dāng)且僅當(dāng) 則信號(hào)f(t)是周期信號(hào)，式中常數(shù)T 是信號(hào)的周期。換言之，周期信號(hào)是每隔固定的時(shí)間又重現(xiàn)本身的信號(hào)，該固定的時(shí)間間隔稱(chēng)為周期。 非周期信號(hào)無(wú)此固定時(shí)間長(zhǎng)度的循環(huán)周期。)(tfTtft2021/8/148嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的

5、周期信號(hào)，是無(wú)始嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上的周期信號(hào)，是無(wú)始無(wú)終地重復(fù)著某一變化規(guī)律的信號(hào)。無(wú)終地重復(fù)著某一變化規(guī)律的信號(hào)。實(shí)際應(yīng)用中，周期信號(hào)只是指在較長(zhǎng)實(shí)際應(yīng)用中，周期信號(hào)只是指在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)按照某一規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。時(shí)間內(nèi)按照某一規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。實(shí)際上周期信號(hào)與非周期信號(hào)之間沒(méi)實(shí)際上周期信號(hào)與非周期信號(hào)之間沒(méi)有絕對(duì)的差別，當(dāng)周期信號(hào)有絕對(duì)的差別，當(dāng)周期信號(hào)f fT T( (t t) )的周的周期期T T 無(wú)限增大時(shí)，則此信號(hào)就轉(zhuǎn)化為無(wú)限增大時(shí)，則此信號(hào)就轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)非周期信號(hào)f f( (t t) )。即即lim( )( )TTftf t2021/8/149 周期方波的描述周期方波的描述202

6、1/8/1410二、能量信號(hào)與功率信號(hào)二、能量信號(hào)與功率信號(hào)1、能量信號(hào)、能量信號(hào) 在所分析的區(qū)間在所分析的區(qū)間(-，)內(nèi)，能量為內(nèi)，能量為有限值的信號(hào)稱(chēng)為能量信號(hào)，滿(mǎn)足條件有限值的信號(hào)稱(chēng)為能量信號(hào)，滿(mǎn)足條件2021/8/1411信號(hào)能量的解釋信號(hào)能量的解釋?zhuān)簩?duì)于電信號(hào)，通常是電壓或電流，電壓：對(duì)于電信號(hào)，通常是電壓或電流，電壓和電流在己知區(qū)間和電流在己知區(qū)間 (t1, t2) 內(nèi)消耗在電阻內(nèi)消耗在電阻R上的能量為上的能量為2021/8/1412R R1 1時(shí)。上述兩式具有相同形式。時(shí)。上述兩式具有相同形式。 定義定義：當(dāng)區(qū)間：當(dāng)區(qū)間( (t1, t2)t1, t2)為為(-(-，)時(shí)，時(shí)，能

7、量為有限值的信號(hào)稱(chēng)為能量信號(hào)，或能量為有限值的信號(hào)稱(chēng)為能量信號(hào)，或稱(chēng)為能量有限信號(hào)，稱(chēng)為能量有限信號(hào)，2021/8/1413 2、功率信號(hào)、功率信號(hào) 有許多信號(hào)，如周期信號(hào)、隨機(jī)信有許多信號(hào)，如周期信號(hào)、隨機(jī)信號(hào)等，它們?cè)趨^(qū)間號(hào)等，它們?cè)趨^(qū)間(-(-，)內(nèi)能量不是內(nèi)能量不是有限值在這種情況下，研究信號(hào)的平均有限值在這種情況下，研究信號(hào)的平均功率更為合適。功率更為合適。2021/8/1414顯而易見(jiàn)，一個(gè)能量信號(hào)具有顯而易見(jiàn)，一個(gè)能量信號(hào)具有0平均功率，平均功率，而一個(gè)功率信號(hào)具有無(wú)限大能量。而一個(gè)功率信號(hào)具有無(wú)限大能量。2021/8/14152.2 信號(hào)的時(shí)域統(tǒng)計(jì)分折信號(hào)的時(shí)域統(tǒng)計(jì)分折一、均值

8、一、均值、方差方差2 和均方值和均方值2各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)的均值各態(tài)歷經(jīng)信號(hào)的均值為為2021/8/1416方差方差方差的正平方根叫方差的正平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 ，是隨機(jī)數(shù)據(jù)是隨機(jī)數(shù)據(jù)分析的重要參數(shù)。分析的重要參數(shù)。2021/8/1417 均方值均方值2描述隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度描述隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度 均方值的正平方根稱(chēng)為均方值的正平方根稱(chēng)為均方根值均方根值，可表，可表示為示為xrms。 均值、方差和均方值的相互關(guān)系是均值、方差和均方值的相互關(guān)系是2021/8/1418二、概率密度函數(shù)二、概率密度函數(shù) 隨機(jī)信號(hào)的概率密度函數(shù)表示信號(hào)隨機(jī)信號(hào)的概率密度函數(shù)表示信號(hào)幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率。幅值落在指定區(qū)間內(nèi)的概率

9、。2021/8/1419定義幅值概率密度函數(shù)定義幅值概率密度函數(shù)2021/8/1420概率密度函數(shù)分析儀原理方框圖概率密度函數(shù)分析儀原理方框圖2021/8/1421典型信號(hào)的概率密度函數(shù)典型信號(hào)的概率密度函數(shù)2021/8/1422 含正弦波隨機(jī)信號(hào)的概率密度函效含正弦波隨機(jī)信號(hào)的概率密度函效2021/8/142323 信號(hào)的相關(guān)分析信號(hào)的相關(guān)分析2021/8/1424變量變量x和和y之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示之間的相關(guān)程度常用相關(guān)系數(shù)表示式中：式中：E數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 xEx隨機(jī)變量隨機(jī)變量x的均值的均值 yEy隨機(jī)變量隨機(jī)變量y的均值的均值 x,y隨機(jī)變量隨機(jī)變量x，y的標(biāo)準(zhǔn)差：的標(biāo)準(zhǔn)差

10、：2021/8/1425可以證明，可以證明，xy1。當(dāng)當(dāng)xy 1時(shí)，則所有的點(diǎn)都落在時(shí)，則所有的點(diǎn)都落在y-y = m (x-x) 的直線上，說(shuō)明的直線上，說(shuō)明x,y兩變量?jī)勺兞渴抢硐氲木€性相關(guān)。是理想的線性相關(guān)。xy -1也是理想的線性相關(guān)，只是直線也是理想的線性相關(guān)，只是直線的斜率為負(fù)。的斜率為負(fù)。xy 0 表示表示x,y兩變量之間完全無(wú)關(guān)。兩變量之間完全無(wú)關(guān)。2021/8/1426用用Rx()表示自相關(guān)函數(shù)：表示自相關(guān)函數(shù)： 則則2021/8/1427例例1 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù) 的自相關(guān)的自相關(guān)函數(shù)函數(shù)2021/8/14282021/8/14292021/8/1430作業(yè)：作業(yè)：1、證

11、明均值、方差和均方值的相互關(guān)、證明均值、方差和均方值的相互關(guān)系系2*、根據(jù)圖、根據(jù)圖2-4方框圖設(shè)計(jì)一個(gè)概率密方框圖設(shè)計(jì)一個(gè)概率密度函數(shù)分析儀電路，畫(huà)出電路原理圖。度函數(shù)分析儀電路，畫(huà)出電路原理圖。2021/8/1431 二、互相關(guān)函數(shù)二、互相關(guān)函數(shù)對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)對(duì)于各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)x(t)和和y(t)的互相關(guān)函的互相關(guān)函數(shù)及數(shù)及Rxy()定義為定義為互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)：2021/8/1432四、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)四、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)定義，相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)：根據(jù)定義，相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)：1、自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù) )()(RR互

12、相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，而滿(mǎn)足下互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，而滿(mǎn)足下式式 )()(yxxyRR2021/8/1433TTTTTTTTTTTTRdttxtxTt dtxtxTt dtxtxTdttxtxTRtt)()()(21lim)()(21lim)()(21lim)()(21lim)(,則令2021/8/14342、自相關(guān)函數(shù)在、自相關(guān)函數(shù)在=0處取得最大值處取得最大值 abba222)()(2)()()()(txtxtxtxtxtxTTTTdttxtxTdttxtxT00)()(1lim)()(1limdtxxtxTTT)()(21lim0這個(gè)性質(zhì)極為重要，它是相關(guān)技術(shù)這

13、個(gè)性質(zhì)極為重要，它是相關(guān)技術(shù)確定同名點(diǎn)的依據(jù)確定同名點(diǎn)的依據(jù) 兩邊取時(shí)間兩邊取時(shí)間T的平均值并取極限的平均值并取極限 )()0(RR2021/8/1435 3、 周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同 頻率的周期信號(hào)，但不具有原信號(hào)頻率的周期信號(hào)，但不具有原信號(hào)的相位信息。的相位信息。4、隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)將隨、隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)將隨值值增大而很快趨于零。增大而很快趨于零。2021/8/1436互相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)： 兩周期信號(hào)具有相同的頻率，才有互相關(guān)函數(shù)，即兩個(gè)非同頻的周期信號(hào)是不相關(guān)的。 兩個(gè)相同周期的信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)仍是周期函數(shù)，其周期與原信號(hào)的周期相同，并不丟

14、失相位信息。 兩信號(hào)錯(cuò)開(kāi)一個(gè)時(shí)間間隔0處相關(guān)程度有可能最高，它反映兩信號(hào)x(t)、y（t)之間主傳輸通道的滯后時(shí)間。2021/8/1437 五、相關(guān)分析應(yīng)用五、相關(guān)分析應(yīng)用1、影像相關(guān)影像相關(guān)原理原理 影像相關(guān)是利用互相關(guān)函數(shù)，評(píng)價(jià)兩塊影像的相似性以確定同名點(diǎn) 。2021/8/1438示意圖示意圖 互相互相關(guān)函關(guān)函數(shù)數(shù)相似程相似程度度同名點(diǎn)同名點(diǎn)目標(biāo)區(qū)目標(biāo)區(qū)搜索區(qū)搜索區(qū)2021/8/1439影像匹配影像匹配-同名點(diǎn)尋找同名點(diǎn)尋找2021/8/14402、電子相關(guān)、電子相關(guān)n 電子相關(guān)就是采用電子線路構(gòu)成的相關(guān)器電子相關(guān)就是采用電子線路構(gòu)成的相關(guān)器來(lái)實(shí)現(xiàn)相關(guān)的功能來(lái)實(shí)現(xiàn)相關(guān)的功能 圖5-1-1電

15、子相關(guān)dttytx)(Rxy)()(2021/8/1441NoImage2021/8/14423、光學(xué)相關(guān)、光學(xué)相關(guān)n光的干涉和衍射光的干涉和衍射-傅立葉變換特性傅立葉變換特性 dxdyyvxufjyxgvuG)(2exp),(),( 相干光學(xué)計(jì)算機(jī)相干光學(xué)計(jì)算機(jī) 2021/8/1443n相干光學(xué)相關(guān)系統(tǒng)相干光學(xué)相關(guān)系統(tǒng) 三個(gè)傅立葉透鏡三個(gè)傅立葉透鏡L1，L2，L3及激光及激光源與光電倍增管等器件組成源與光電倍增管等器件組成 2021/8/14443、數(shù)字相關(guān)、數(shù)字相關(guān)n二維相關(guān)二維相關(guān) 數(shù)字相關(guān)是利用計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字影像進(jìn)數(shù)字相關(guān)是利用計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)字影像進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的方式完成影像的相關(guān)行數(shù)值計(jì)算的

16、方式完成影像的相關(guān) 目標(biāo)區(qū)目標(biāo)區(qū) 搜索區(qū)搜索區(qū)2021/8/1445 22,2222,22max0000,mkimkjjnlinliiijrc相似性相似性測(cè)度測(cè)度2021/8/14464工程應(yīng)用工程應(yīng)用2021/8/14472021/8/14482.4 信號(hào)的頻域分析信號(hào)的頻域分析2021/8/1449確定信號(hào)的時(shí)間特性確定信號(hào)的時(shí)間特性 表示信號(hào)的時(shí)間函數(shù)，包含了信號(hào)的全表示信號(hào)的時(shí)間函數(shù)，包含了信號(hào)的全部信息量，信號(hào)的特性首先表現(xiàn)為它的部信息量，信號(hào)的特性首先表現(xiàn)為它的時(shí)間特性。時(shí)間特性。 時(shí)間特性主要指信號(hào)隨時(shí)間變化快慢、時(shí)間特性主要指信號(hào)隨時(shí)間變化快慢、幅度變化的特性。幅度變化的特性。

17、 同一形狀的波形重復(fù)出現(xiàn)的周期長(zhǎng)短同一形狀的波形重復(fù)出現(xiàn)的周期長(zhǎng)短 信號(hào)波形本身變化的速率（如脈沖信號(hào)的脈信號(hào)波形本身變化的速率（如脈沖信號(hào)的脈沖持續(xù)時(shí)間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程沖持續(xù)時(shí)間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程度）度） 以時(shí)間函數(shù)描述信號(hào)的圖象稱(chēng)為時(shí)域圖，以時(shí)間函數(shù)描述信號(hào)的圖象稱(chēng)為時(shí)域圖，在時(shí)域上分析信號(hào)稱(chēng)為時(shí)域分析。在時(shí)域上分析信號(hào)稱(chēng)為時(shí)域分析。2021/8/1450確定信號(hào)的頻率特性確定信號(hào)的頻率特性 信號(hào)還具有頻率特性，可用信號(hào)的頻譜函數(shù)來(lái)表示。在頻譜信號(hào)還具有頻率特性，可用信號(hào)的頻譜函數(shù)來(lái)表示。在頻譜函數(shù)中，也包含了信號(hào)的全部信息量。函數(shù)中，也包含了信號(hào)的全部信息量。 頻譜

18、函數(shù)表征信號(hào)的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和頻譜函數(shù)表征信號(hào)的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和相位。相位。 頻譜：對(duì)于一個(gè)復(fù)雜信號(hào)，可用傅立葉分析將它分解為許頻譜：對(duì)于一個(gè)復(fù)雜信號(hào)，可用傅立葉分析將它分解為許多不同頻率的正弦分量，而每一正弦分量則以它的振幅和多不同頻率的正弦分量，而每一正弦分量則以它的振幅和相位來(lái)表征。將各正弦分量的振幅與相位分別按頻率高低相位來(lái)表征。將各正弦分量的振幅與相位分別按頻率高低次序排列成頻譜。次序排列成頻譜。 頻帶：復(fù)雜信號(hào)頻譜中各分量的頻率理論上可擴(kuò)展至無(wú)限，頻帶：復(fù)雜信號(hào)頻譜中各分量的頻率理論上可擴(kuò)展至無(wú)限，但因原始信號(hào)的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工

19、程但因原始信號(hào)的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工程應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率范圍稱(chēng)為該信號(hào)的頻帶。范圍稱(chēng)為該信號(hào)的頻帶。 以頻譜描述信號(hào)的圖象稱(chēng)為頻域圖，在頻域上分析信號(hào)稱(chēng)為以頻譜描述信號(hào)的圖象稱(chēng)為頻域圖，在頻域上分析信號(hào)稱(chēng)為頻域分析。頻域分析。2021/8/1451時(shí)域和頻域2021/8/1452 信號(hào)的頻譜函數(shù)和信號(hào)的時(shí)間函數(shù)既然都包含了信號(hào)的全部信息量，都能表示出信號(hào)的特點(diǎn),那么，信號(hào)的時(shí)間特性與頻率特性必然具有密切聯(lián)系。 例：周期性脈沖信號(hào)的重復(fù)周期的倒數(shù)就是該信號(hào)的基波頻率，周期的大或小分別對(duì)應(yīng)著低的或高的基

20、波和諧波頻率； 信號(hào)分析中將進(jìn)一步揭示兩者的關(guān)系。2021/8/1453不同頻率信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖不同頻率信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖2021/8/1454 時(shí)域分析信號(hào)時(shí)域分析（線性系統(tǒng)疊加原理）卷積積分的應(yīng)用及其數(shù)學(xué)描述 頻域分析周期信號(hào)的頻域分析(三角與指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)）非周期信號(hào)的頻域分析（傅立葉積分）信號(hào)在頻域與時(shí)域之間的變換（正反傅立葉變換式）頻譜與時(shí)間函數(shù)的關(guān)系2021/8/14550000tttS(t)r(kt)r(t)ktktkts(kt)r(kt)ttkstkthttks激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù)(輸入輸入信號(hào)信號(hào))的分解的分解第第k個(gè)脈沖的個(gè)脈沖的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)(輸輸出信號(hào)出信號(hào))波形波

21、形沖激響應(yīng)疊加沖激響應(yīng)疊加后的總響應(yīng)后的總響應(yīng)(輸輸出信號(hào)出信號(hào))波形波形第第k個(gè)脈沖函數(shù)之面積個(gè)脈沖函數(shù)之面積（當(dāng)（當(dāng)t 0，脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)可近似表示為沖激函數(shù)）可近似表示為沖激函數(shù)）系統(tǒng)對(duì)第系統(tǒng)對(duì)第k個(gè)沖激函數(shù)個(gè)沖激函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù)2021/8/1456 式中h(t)是單位沖激函數(shù)(t)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)，稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)函數(shù)。 單位沖激函數(shù)(t) 也稱(chēng)狄拉克函數(shù)或函數(shù)，其定義是：在t0時(shí)，函數(shù)值均為0；在t=0處，函數(shù)值為無(wú)窮大，而脈沖面積為1，即 當(dāng)t無(wú)限趨小而成為d時(shí)，上式中不連續(xù)變量kt成了連續(xù)變量，對(duì)各項(xiàng)求和就成了求積分。于是有 這種疊加積分稱(chēng)為卷積積分卷積積分。 0t

22、0,t0t1,dtt dthstrt02021/8/14572021/8/1458 考察信號(hào)考察信號(hào) 式中式中1 1=2=2f f1 1。1 1稱(chēng)為稱(chēng)為基波頻率基波頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)基頻，簡(jiǎn)稱(chēng)基頻，1 1的倍數(shù)稱(chēng)為的倍數(shù)稱(chēng)為諧波諧波。 該信號(hào)的波形圖和其頻譜圖見(jiàn)下圖。該信號(hào)的波形圖和其頻譜圖見(jiàn)下圖。 對(duì)于周期信號(hào)而言，其頻譜由離散的頻率成分，對(duì)于周期信號(hào)而言，其頻譜由離散的頻率成分，即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個(gè)即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分量的角頻正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分量的角頻率，譜線的高度代表該正弦分量的振幅。信號(hào)率，譜線的高度

23、代表該正弦分量的振幅。信號(hào)f f( (t t) )的成分正好是角頻率為的成分正好是角頻率為1 1、331 1 、551 1和和7 71 1的正弦波。的正弦波。 tttttf11117sin715sin513sin31sin2021/8/14592021/8/14602021/8/1461 狄利希萊條件 要將一周期信號(hào)分解為諧波分量，代表這一周期信號(hào)的函數(shù)f(t)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足下列條件： 在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的，即在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的，即 應(yīng)為有限值；應(yīng)為有限值； 在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限；在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限； 在一周期內(nèi)，函數(shù)在一周期內(nèi)，函數(shù)f(t)或者為連續(xù)的，

24、或者具有有限或者為連續(xù)的，或者具有有限個(gè)這樣的間斷點(diǎn)，即當(dāng)個(gè)這樣的間斷點(diǎn)，即當(dāng)t從較大的時(shí)間值和較小的時(shí)從較大的時(shí)間值和較小的時(shí)間值分別趨向間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)具有兩個(gè)不同的有限的間值分別趨向間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)具有兩個(gè)不同的有限的函數(shù)值。函數(shù)值。 測(cè)試技術(shù)中的周期信號(hào)，大都滿(mǎn)足該條件。測(cè)試技術(shù)中的周期信號(hào)，大都滿(mǎn)足該條件。 dttfTtt|11lim()lim()f tf t2021/8/1462 根據(jù)傅立葉變換原理，通常任何信號(hào)都可表示成各種頻率成分的正弦波之和。 對(duì)于任何一個(gè)周期為T(mén)、且定義在區(qū)間（- T/2, T/2）內(nèi)的周期信號(hào)f(t)，都可以用上述區(qū)間內(nèi)的三角傅立葉級(jí)數(shù)表示： a0是頻率為零的

25、直流分量（如圖），式中系數(shù)值為 傅立葉級(jí)數(shù)的這種形式稱(chēng)為三角函數(shù)展開(kāi)式三角函數(shù)展開(kāi)式或稱(chēng)正弦-余弦表示，是用正交函數(shù)集來(lái)表示周期信號(hào)的一種常用方法。 1110)sincos(nnntnbtnaatf tdtntfTbtdtntfTadttfTaTTnTTnTT12/2/12/2/2/2/0sin2cos212021/8 )cos()tannnnnnnnnnf tAAntAaAabba 式中：An-，n-分別稱(chēng)為幅值譜和相位譜，統(tǒng)稱(chēng)為頻譜。2021/8/1464帶有直流分量的信號(hào)帶有直流分量的信號(hào)2021/8/1465 指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) 用正交函數(shù)集來(lái)表示周

26、期信號(hào)另一種更常用的方法是傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)表示法，稱(chēng)為指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。 三角傅立葉級(jí)數(shù)與指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)并不是兩種不同類(lèi)型的級(jí)數(shù)，而只是同一級(jí)數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)級(jí)數(shù)形式比三角級(jí)數(shù)形式更簡(jiǎn)化更便于計(jì)算。 根據(jù)歐拉公式0002211() ,()221122nnnnnnnnnnnCaACaj bCaj bCCAab2021/8/1466 1/ 2/ 21,0 ,1 ,2 , . . . .Tj n tnTC ft e d t nT 1jn tnnf tCe1j ntnnftCe 1/2/21Tjn tnTCf t edtT2021/8/1467 對(duì)于定義于區(qū)間（-，+）上的非周期函數(shù)，也能分

27、解成許多正弦波的疊加。（也要滿(mǎn)足狄利希萊條件） 如果在表示周期信號(hào)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)中令周期T，則在整個(gè)時(shí)間內(nèi)表示f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)也能在整個(gè)時(shí)間內(nèi)表示非周期信號(hào)。f (t)的指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)可寫(xiě)為 式中Fn是復(fù)數(shù)振幅，將其代入f(t),得到tjnnTTtjnedtetfTtf112/2/) (1) ( 221TtjnnTTtjnedtetftf112/2/)(21)(2021/8/1468 當(dāng)T 增加時(shí)，基頻1變小，頻譜線變密，且各分量的振幅也減小，但頻譜的形狀不變。在T的極限情況下，每個(gè)頻率分量的幅度變?yōu)闊o(wú)窮小，而頻率分量有無(wú)窮多個(gè)，離散頻譜變成了連續(xù)頻譜。這時(shí)，f(t)已不是n1的離散

28、函數(shù)，而是的連續(xù)函數(shù)。 以上過(guò)程可以用計(jì)算式說(shuō)明。由于相鄰頻率分量間隔為=(=(n n+1)+1)1 1- -nn1 1=1 1 周期T 可寫(xiě)為 于是，有dedte t ft ft jt j ) (21) (deFtftj21)(2021/8/1469 當(dāng)T 時(shí)，求和變成了取積分，變成d d ，n1用表示。因此有 式中方括號(hào)是原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱，記作F() 。即 將原函數(shù)寫(xiě)成 這就是非周期信號(hào)f(t)的傅立葉積分表示式，它與周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)相當(dāng)。 和傅立葉級(jí)數(shù)中的復(fù)數(shù)振幅相當(dāng)，是無(wú)窮小量，頻譜密度函數(shù)反映了各分量振幅間的相對(duì)比例關(guān)系。dte

29、tfFtj)()()FjdFt fFt f0002211() ,()221122nnnnnnnnnnnCaACaj bCaj bCCAab ( )()jtjtjtjtRr t edtsh tdt edsh tedtdseHjdSH2021/8/1470 通過(guò)非周期信號(hào)的頻譜分析得知，時(shí)域上的原函數(shù)中含有包含全部信息量的頻譜函數(shù)，而頻譜函數(shù)中也含有原函數(shù)。因此我們可以在時(shí)域與頻域之間對(duì)信號(hào)進(jìn)行相互變換。 這種變換通過(guò)稱(chēng)之為傅立葉變換式的公式來(lái)實(shí)現(xiàn)。即我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出的一對(duì)傅立葉積分表示式： 前者稱(chēng)為傅立葉正變換式，它將時(shí)域內(nèi)t t 的函數(shù)變換為頻域內(nèi)的函數(shù)；后者稱(chēng)為傅立葉逆變換式或反變換式，可

30、把的函數(shù)變換為t t 的函數(shù)。 傅立葉變換式簡(jiǎn)記為 ()Fjd st htshtd 0002211() ,()221122nnnnnnnnnnnCaACaj bCaj bCCAab2021/8/1471 傅立葉變換可將時(shí)域上較復(fù)雜的運(yùn)算簡(jiǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的頻域運(yùn)算。 作為時(shí)域上卷積積分例子的函數(shù)r(t)對(duì)應(yīng)的頻域函數(shù)為 上式即卷積定理卷積定理，激勵(lì)s(t)通過(guò)頻率特性為H()的系統(tǒng)時(shí)，響應(yīng)r(t)的頻譜函數(shù)R()等于s(t)的頻譜函數(shù)S() 和H()的乘積運(yùn)算。2021/8/1472 通過(guò)時(shí)域與頻譜分析的討論，可總結(jié)為兩個(gè)關(guān)系式 R() = S() H()r(t) = s(t)*h(t) 其中 兩

31、個(gè)關(guān)系式的意義是：兩個(gè)頻譜相乘，其乘積的時(shí)間函兩個(gè)頻譜相乘，其乘積的時(shí)間函數(shù)就是相應(yīng)的兩個(gè)時(shí)間函數(shù)相卷積。數(shù)就是相應(yīng)的兩個(gè)時(shí)間函數(shù)相卷積。反之，兩個(gè)時(shí)間函兩個(gè)時(shí)間函數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個(gè)頻譜相乘數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個(gè)頻譜相乘。 從濾波角度看，該兩關(guān)系式的意義是：濾波可以?xún)煞N方式實(shí)現(xiàn)。一是在頻域上實(shí)現(xiàn)，將頻譜H()與 S() 相乘得到R()，再由R()作傅立葉反變換得到r(t)。 二是在時(shí)域上直接實(shí)現(xiàn)，將時(shí)間函數(shù)h(t) 與s(t) 相卷積得到r(t)。其它02/2/tAtg2021/8/1473幾種典型信號(hào)的傅立葉變換幾種典型信號(hào)的傅立葉變換 數(shù)字信號(hào)中典型的波形是矩形窗函數(shù)（

32、矩形脈沖函數(shù)）。矩形脈沖g(t)及其對(duì)應(yīng)的頻域函數(shù)為G()分別如圖和下面兩式：22/ 2/ 222s i n/ 2/ 22s i ns i ns i n,jtjtjjAGgted tAed tAeeAAS i n cxcxx （）稱(chēng)為抽樣函數(shù)00() ()() (0)(0)() ()( )txtdttx dt xt t xtdt xt 2021/8/1474() ()ttd tu t 2021/8/1475 (t)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)：1.抽樣性抽樣性()t2. 單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)() ()() ()() ()()() ()()()()f ttftdf ttd t f tf tt Tft Tdf t T 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積函數(shù)與其他函數(shù)的卷積 2021/8/14762021/8/