材料力學題庫

1、材料力學重點難點、習題解析與實戰(zhàn)訓練目 錄第二章 軸向拉伸與壓縮2第三章 扭轉11第四章 彎曲應力14第五章 梁彎曲時的位移33第六章 簡單的超靜定問題38第七章 應力狀態(tài)和強度理論43第八章 組合變形及連接部分的計算53第九章 壓桿穩(wěn)定63附錄 截面的幾何性質68第三章 能量法74總復習題79模擬試題86第二章 軸向拉伸與壓縮【重點難點】(1) 用截面法求內力時總是假設內力是正的。畫軸力圖時正值畫在x軸上方，負值畫在x軸下方。(2) 直桿斜截面應力中，a=0 時有最大正應力，其值為 smax=sN /A；=45°時有最大切應力，其值為max=s/2。(3) 對于變截面桿或軸力為變數

2、桿，利用虎克定律計算桿件軸向變形時，應分段計算變形，然后代數相加得全桿變形。(4) 求解拉壓超靜定問題的關鍵是根據結構的變形協(xié)調條件列出變形幾何方程。在列變形幾何方程時，注意所假設的桿件變形應是桿件可能發(fā)生的變形，假設的內力方向應與變形一致。(5) 拉伸試驗中出現的四個階段，三個強度特征值sp、ss及sb是靜載、常溫下低碳鋼的重要性質。“冷作硬化”是低碳鋼類塑性材料的一個重要現象。(6) 低碳鋼類塑性材料的抗拉壓性質相同，鑄鐵類脆性材料的抗壓強度遠大于抗拉強度?！玖曨}解析】例2-1 試畫出圖直桿的軸力圖。（圖2-1）解：此直桿在A、B、C、D點承受軸向外力。先求AB段軸力。在段內任一截面1-1

3、處將桿件截開，考察左段（圖2-1b）。在截面上設出正軸力N1。由此段的平衡方程SX0得N160， N16kNN1得正號說明原先假設拉力是正確的，同時也就表明軸力是正的。AB段內任一截面的軸力都等于+6kN。 再求BC段軸力，在BC段任一截面2-2處將桿件截開，仍考察左段（圖2-1c），在截面上仍設正的軸力N 2，由SX0得618N20 N212kN N2得負號說明原先假設拉力是不對的（應為壓力），同時又表明軸力N2是負的。BC段內任一截面的軸力都等于12kN。同理得CD段內任一截面的軸力都是4kN。畫內力圖，以水平軸x表示桿的截面位置，以垂直x的坐標軸表示截面的軸力，按選定的比例尺畫出軸力圖，

4、如圖2-1（d）所示。由此圖可知數值最大的軸力發(fā)生在BC段內。解題指導：利用截面法求軸力時,在切開的截面上總是設出正軸力N ，然后由SX0求出軸力N ，如N 得正說明是正軸力（拉力），如得負則說明是負軸力（壓力）。例2-2 試求自由懸掛的直桿（圖2-2a）由縱向均勻分布荷載q（力長度）引起的應力和縱向變形。設桿長l、截面積A及彈性模量E均已知。解：在桿上距下端為x處取一任意橫截面m-m，則該截面軸力為N(x)qx，根據此式可作出軸力圖如圖2-2b所示。m-m截面的應力為s（x）N(x)/Aqx/A。顯然，懸掛端有最大軸力Nmaxql及最大正應力 。（圖2-2）求桿縱向變形，由于各橫截面上軸力不

5、等，不能直接應用變形公式，而應從長為dx的微段出發(fā)。在x處取微段dx，其縱向伸長可寫為桿件的總伸長研究上端固定桿件由于自重引起的伸長時，桿件自身重量就是一種均勻縱向分布力，此時單位桿長的分布力qA×1×g，此處g是材料單位體積的重量即容重。將q代入上式得到此處GAlg是整個桿的重量。上式表明等直桿自重引起的總伸長等于全部重量集中于下端時伸長的一半。解題指導：對于軸力為變數的桿，利用虎克定律計算桿件軸向變形時，應分段計算變形，然后代數相加得全桿變形，當軸力是連續(xù)函數時則需利用積分求桿變形。例2-3 圖2-3所示兩根圓截面桿材料相同，試計算兩桿的應變能，并比較其大小。（圖2-3

6、）解：a桿： b桿：兩桿應變能之比： 解題指導：從本例可看出，在受力相同的情況下，剛度小的桿件應變能大?！緦崙?zhàn)訓練】21 試求圖示各桿11、22及33截面上的軸力，并作軸力圖。答案：（a）FN130kN ，FN20kN ，FN360kN ； （b）FN120kN ，FN20kN ，FN320kN ； （c）FN120kN ，FN220kN ，FN340kN ； （d）FN125kN ，FN20kN ，FN310kN 。22 試作圖示各桿的軸力圖，并確定最大軸力| FN |max 。答案：（a）êFNïmax3kN ；（b）êFNïmax10kN ；（c）

7、êFNïmaxFP； （d）êFNïmax5kN ；（e）êFNïmaxFP ；（a）êFNïmax2FP ； （a）êFNïmaxFPAlrg 。23 桁架結構受力如圖所示，其上所有桿的橫截面均為20×50mm的矩形。試求桿CE和桿DE橫截面上的正應力。答案： sCE15MPa ，sDE50MPa24 圖示正方形結構，各桿材料均為鑄鐵，拉伸許用應力為s t 50 MPa ，壓縮許用應力為s c 60 MPa ，各桿橫截面面積均為25 cm2 。試求此結構的許用荷載Fp值。答案： FP

8、150kN25 圖示氣缸內徑D560mm ，內壓p2.5MPa ，活塞桿直徑d100mm ，所用材料的屈服應力s s 300MPa 。試：（1）求活塞桿橫截面上的正應力和工作安全系數；（2）若連接缸體與缸蓋的螺栓直徑d1300mm ，螺栓所用材料的許用應力為s160 MPa ，求所需的螺栓數。答案：（1）s75.9MPa ，n3.95；（2）n14.1®16個26 圖示的桿系結構中桿1、2為木制，桿3、4為鋼制。已知各桿的橫截面面積和許用應力如下：桿1、2為A1A24000 mm2 ，sw 20 MPa ，桿3、4為A1A24000 mm2，ss 120 MPa 。試求許可荷載Fp值

9、。答案：FP57.6kN27 圖示為一高10 m的石砌橋墩，其橫截面的兩端為半圓形，尺寸如圖示。已知軸心壓力FP 1000 kN ，石料的密度r 2347kg/m3，試求在橋墩底面上的壓應力大小。答案：s0.339MPa。28 變截面直桿如圖所示。已知A18cm2，A24cm2，E200GPa 。求桿的總伸長量。答案：Dl0.075mm。29 設CF為剛體，BC為銅桿，DF為鋼桿，兩桿的橫截面面積分別為A1和A2，彈性模量分別為E1和E2。如果要求CF始終保持水平位置，試求x 。答案：x（l l1E2A2）/(l1E2A2l2E1A1)。210 圖示結構中，AB為水平放置的剛性桿，1、2、3桿

10、材料相同，其彈性模量E210GPa ，已知l1m，A1A2100mm2，A3150mm2 ，FP20kN 。試求C點的水平位移和鉛垂位移。答案：DCx0.476mm ，DCy0.476mm。211 圖示圓錐形桿受軸向拉力作用，求此桿的伸長。答案：Dl（4FPl）/（pEd1d2）。212 在圖示結構中，AB為剛性桿，CD為由三號鋼制造的斜拉桿。已知FP15kN ，FP210kN ，l1m ，桿CD的截面積A100mm2 ，鋼的彈性模量E200GPa 。試求桿CD的軸向變形和剛桿AB在端點B的鉛垂位移。答案：DlCD2mm ，dBy5.65mm。 第三章 扭轉【重點難點】（1）對于變扭矩、變截面

11、的受扭圓軸應分段計算扭轉角，再求和得總扭轉角；此類軸的最大切應力不一定是在扭矩最大的橫截面上。 （2）圓軸扭轉時橫截面上的切應力沿半徑線性分布，在圓心處為零，外緣處最大，應力方向垂直于半徑，實心圓截面和空心圓截面的切應力值的連線均過圓心。（3） 空心圓軸扭轉的抗扭截面橫量 ，注意式中a的指數是4次方。 （4）低碳鋼圓軸扭轉破壞是沿橫截面剪切破壞，鑄鐵圓軸扭轉破壞是-沿與軸線成45º的斜面被拉斷。 【習題解析】例3.1 已知傳動軸為鋼制實心軸，最大扭矩MT7.64kNm，材料的許可切應力t30MPa，切變模量G80GPa，許可扭角q0.3°/m，試按強度條件和剛度條件設計軸徑

12、d。解：根據強度條件式(4-6)得出：再根據剛度條件式(4-9b )得出：兩個直徑中應選其中較大者，即實心軸直徑不應小于117mm，說明在此設計中剛度是主要的。例3.2 已知圓軸受外力偶矩m2kNm，材料的許可切應力t60MPa。（1）試設計實心圓軸的直徑D1;（2）若該軸改為a=d/D=0.8的空心圓軸，式設計空心圓軸的內、外徑d2 、D2。解：（1）扭矩MT=m=2kNm，實心圓截面直徑（2）若改為a0.8的空心圓軸，設計外徑內徑d2=0.8×D2=0.8×66.052.8mm。（3）比較二者面積空心軸的截面積：實心軸的截面積：解題指導：由此例可見使用空心圓軸比實心圓周

13、可以節(jié)約很多材料，其主要原因是空心圓軸的材料布置離軸心較遠，充分發(fā)揮了材料的承載能力。例3.3 計算圖中受扭圓軸的應變能。設d1=2d2，材料的切變模量為G。解：此軸扭矩是常數，MT=m，但AB和BC截面尺寸不同，因此應分段計算應變能，然后再相加。有  【實戰(zhàn)訓練】31 試作圖示各桿的扭矩圖，并確定最大扭矩| T |max 。 答案： （a）êTïmax2Me ；（b）êTïmax2Me ；（c）êTïmax30kN.m 。32 圖示一傳動軸，轉速n200 r/min ，輪C為主動輪，輸入功率P60 kW ，輪A、

14、B、C均為從動輪，輸出功率為20 kW，15 kW，25 kW。（1）試繪該軸的扭矩圖。（2）若將輪C與輪D對調，試分析對軸的受力是否有利。答案：T1954.9N.m。33 傳動軸的轉速n500 r/min ，主動輪1輸入功率P1=368kW ，從動輪2、3分別輸出功率P2147.2kW、P3221kW。已知t 70 MPa ，q1 0/m ，G80GPa 。（1）試確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2 ；（2）若AB和BC兩段選用同一直徑，試確定直徑d ；（3）主動輪和從動輪應如何安排才比較合理？ 答案：（1）d1 ³ 84.6mm， d2 ³ 74.5mm

15、；（2）d > 84.6mm ；（3）主動輪1放在從動輪2和3之間比較合理。34 階梯形圓桿，AE段為空心，外徑D140mm ，內徑d100mm ；BC段為實心，直徑d100mm 。外力偶矩MeA18kN.m ，MeB32kN.m ，MeC14kN.m 。已知： t 80 MPa ，j1.2 0/m ，G80GPa 。試校核該軸的強度和剛度。答案：AE段：tmax45MPa ，j0.440/m ； BC段：tmax71.3MPa ，j1.020/m 第四章 彎曲應力【重點難點】彎曲內力是材料力學中的一個重要的基本內容，原理簡單但容易出錯。應特別加以注意。（1）正確地計算支座反力是繪制內力

16、圖的關鍵，應確保無誤。因此利用平衡方程求出支反力后，應進行校核。（2）計算梁橫截面的內力時，應特別注意外力的方向與其引起的內力符號的關系，以保證內力的正負號正確。（3）梁上荷載不連續(xù)時，剪力和彎矩方程需分段列出。各段方程的x坐標原點和方向可以相同，為了計算方便也可以不同。（4）作出梁的內力圖后應利用q、Q、M之間的微分關系進行校核，以確保正確。（5）利用剪力Q、彎矩M與荷載集度q之間的微分關系,可得到下述結論:a）在q0的區(qū)段，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線；當Q >0，彎矩圖（上升），Q < 0，彎矩圖 （下降）。b）在qc（常數）的區(qū)段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為拋物線。當q

17、() > 0，剪力圖，彎矩圖 ；當q () < 0，剪力圖 ，彎矩圖 。c)在Q = 0的點處，彎矩圖有極值；在Q 突變處，彎矩圖有一個折角。（6）剪力圖、彎矩圖的一般規(guī)律：a）在集中力作用處，剪力Q圖有突變，突變量等于集中力的值，突變方向與集中力作用方向一致。彎矩M圖斜率有突變，出現折角。b）在集中力偶作用處，剪力Q圖無變化。彎矩M圖有突變，突變量等于該集中力偶矩值。c）在分布力的起點和終點，剪力圖有拐點;彎矩圖為直線與拋物線的光滑連接。d)當梁的簡支端或自由端無集中力偶時,彎矩為零。e）梁的最大彎矩通常發(fā)生在剪力Q=0處或集中力、集中力偶作用點處。f）對稱結構承受對稱荷載作用時

18、，剪力圖是反對稱的（剪力指向仍是對稱的），彎矩圖是對稱的。對稱結構承受反對稱荷載時，剪力圖是對稱的，彎矩圖是反對稱的。g）平面剛架的彎矩不分正負號，但應將彎矩圖在桿件受拉的一側，此規(guī)定與水平直梁正彎矩畫在軸線下方的規(guī)定完全一致。(1) 若已知桿件彎曲成的曲率半徑r的緣弧時，由公式(7-2) 可以求出所施加彎矩。(2) 發(fā)生平面彎曲的條件為：1. 外力偶作用平面與梁的形心主慣性平面平行；2. 橫向外力作用平面與梁的形心主慣性平面平行并通過截面的彎曲中心。(3) 通常在進行彎曲強度計算時，應先畫出梁的剪力圖和彎矩圖，在彎矩(絕對值)最大的截面校核彎曲正應力強度，在剪力(絕對值)最大截面校核彎曲切應

19、力強度。(4) 對于鑄鐵一類脆性材料梁進行彎曲強度計算時，應找出全梁的最大拉壓正應力，然后再分別進行拉、壓強度校核。當梁上同時存在正、負彎矩，且橫截面上下不對稱時，最大拉（或壓）應力可能不足在彎矩絕對值最大截面上。(5) 在進行梁的截面設計時，應同時滿足正應力和切應力的強度條件，一般先按正應力強度條件選擇截面，然后再進行切應力強度校核。(6)最大切應力通?？偸前l(fā)生在中性軸上。矩形截面最大切應力：; 圓形截面最大切應力：;圓環(huán)形截面最大切應力：。【習題解析】例4.1 寫出圖示各梁的剪力方程和彎矩方程，并做剪力圖和彎矩圖。 解：（1）分兩段列Q、M方程： AC段CB段（2）作圖：AC段剪力：剪力方

20、程是x的一次函數，剪力圖是斜直線，由兩點即可確定該直線。當x=0，QA=0；當x=a，得QC=qa。BC段剪力：剪力圖是水平線，由于C點無集中力作用，C點剪力連續(xù)，QQC=qa。AC段彎矩：彎矩方程是x的二次函數，由qc<0，q與彎矩的關系知，彎矩圖是下凸拋物線。當x=0，MA=0；當x=a，得。BC段彎矩：彎矩方程是剪力圖是x的一次函數，彎矩圖是斜直線。因梁上沒有集中力偶，彎矩圖在C點應連續(xù)，x=2a時，。作出剪力圖和彎矩圖如圖示。例4.2 試繪出圖6-4所示梁的剪力圖和彎矩圖。解：(1) 利用平衡條件求出A、B支座的支反力YA和YB。SmA0，20×140YB×4

21、10×4×20 YB25kNSmB0，20×5YA×410×4×2400 YA35kN(2) 列CA段Q、M方程：建立坐標系，以C端為x軸坐標原點， CA段距左端為x的任意截面，取左側為對象，則Q120，（0x1m）(a)M120x，（0x1m）(b)(3) 列AB段Q、M方程： AB段距C端為x的任意截面，如取右側為對象，則Fs2YBq(5x)2510(5x) （1x5） (c)M2YB (5x)q(5x) (5x)/225 (5x)5(5x)2，（1x5） (d)利用(a)、(b)和(c)、(d)式可繪出CA和AB段的Q、M圖（圖

22、b，c）。(4) 檢查Q、M圖的正確性a、利用集中力、集中力偶作用處的突變關系。梁上C、A、B三處分別有集中的力20kN()、35kN()、25kN()，因而由左向右經過上述各處時，剪力圖分別突變20kN()、35kN()、25kN()，因C、B在梁的兩端，上述突變表現為C右截面剪力為20kN，B左截面剪力為25kN。梁上A處有順時針集中力偶40kN×m，因而A處左截面至右截面的彎矩突變+40kN×m。b、利用微分關系對于CA段，分布荷載集度q0，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。對于AB段，q10kN/m，剪力圖為斜直線，并在A右1.5m處（D截面）剪力為零。彎矩圖為下凸

23、的二次拋物線，并在D截面有極大值。解題指導：截面的內力既可以用截面的左半部分計算也可以用截面的右半部分計算，所得結果相同。畫出內力圖后利用微分關系和Q、M圖的規(guī)律檢查內力圖的正確性，可以確保結果正確。例4.3 作出圖示具有中間鉸鏈（圖a）梁的彎矩圖。解：(1)求支反力：在中間鉸鏈處將梁拆開成兩部分，其間的相互作用力以QB代替，如圖 (b)所示。顯然，拆開后連續(xù)梁可以看成一個受集中力偶的簡支梁和一個梁上受均布力、自由端受集中力QB的懸臂梁。由簡支梁AB很容易求出QB:(2)分別作簡支梁AB和懸臂梁BC的彎矩圖，如圖（c）。因單個梁的彎矩圖很容易得到，作圖過程在此不再贅述。注意兩個梁的彎矩圖應合并

24、畫在同一條水平軸線上。解題指導：(1)求解有中間鉸鏈的連續(xù)梁問題，一般都從鉸接處拆開。拆開后能獨立存在的部分稱為主梁，如圖中的BC梁；不能獨立存在的部分稱為輔梁，如圖中的AB梁。先從輔梁上解出鉸鏈處的約束力，再把此約束力當作外荷載加到主梁上，這樣就變成了兩個簡單梁，作這兩個簡單梁的內力圖并連接到一起，即為有中間鉸鏈梁的內力圖。(2) 注意中間鉸鏈B允許所連接的兩部分有相對轉動，固中間鉸鏈只能傳遞力不能傳遞力偶。因此只要鉸鏈左右兩側沒有集中力偶，其彎矩應為零。例4.4 利用剪力、彎矩與荷載集度的關系作圖所示梁的剪力圖和彎矩圖。解：計算支座反力YAYBqa/4AC段剪力：q=c<0，剪力為下

25、降的斜直線，A點剪力：QA = qa/4，C點偏左剪力：QC左 =3qa/4。AC段彎矩：q=c<0，彎矩為下凸拋物線，A點彎矩：MA =0，C點偏左彎矩： 在距離A端支座為a/4的D處，剪力等于零，彎矩在此截面應有極值：BC段剪力：q=c>0，剪力為上升的斜直線，C點剪力：因C點無集中力，剪力在C點連續(xù)， C點偏右剪力：QC右 = QC左 =3qa/4；B點剪力：QB = qa/4。BC段彎矩：q = c>0，彎矩為上凸拋物線，C點偏右彎矩：MC右 =qa2/4，B點彎矩：MB =0。在距離B端支座為a/4的E處，剪力等于零，彎矩有極值:根據以上分析和計算，畫出剪力、彎矩圖

26、如圖 (b)、(c)所示。解題指導：熟練掌握剪力、彎矩圖的規(guī)律，可以不寫剪力、彎矩方程，直接繪圖。對稱結構承受反對稱荷載時，剪力圖是對稱的，彎矩圖是反對稱的。例4.5 將一根直徑d1mm的直鋼絲繞于直徑D1m的卷筒上，已知鋼絲的彈性模量E200GPa，試求鋼絲由于彈性彎曲而產生的最大彎曲正應力。又材料的屈服極限ss350MPa，求不使鋼絲產生塑性變形的卷筒軸徑D1應為多大。解：（1）最大彎曲正應力由式(7-2) ，有曲率與彎矩間的關系 即 又 （2）求軸徑D1，則得軸徑D10.571m解題指導：鋼絲的直徑d遠小于卷筒的直徑徑D，因此鋼絲的曲率半徑可以近似為 。例4.6 T字形截面鑄鐵梁的荷載及

27、截面尺寸如圖 (a)示，C為T形截面的形心，慣矩Iz6013×104mm4，材料的許可拉應力st40MPa，許可壓應力sc160MPa，試校核梁的強度。解：梁彎矩圖如圖 (b)所示。絕對值最大的彎矩為負彎矩，發(fā)生于B截面上，應力分布如圖(c)所示。此截面最大拉、壓應力分別發(fā)生于截面上、下邊緣各點處36.2MPa<st78.6MPa<sc雖然A截面彎矩的絕對值|MA|<|MB|，但MA為正彎矩，應力分布如圖7-8 (d)所示。最大拉應力發(fā)生于截面下邊緣各點，由于y1>y2因此，全梁最大拉應力究竟發(fā)生在哪個截面上，必須經計算才能確定。A截面最大拉應力為39.3MP

28、a<st 最大壓應力在B截面下邊緣處，最大拉應力在A截面下邊緣處，都滿足強度條件。解題指導：由此例可知，對于鑄鐵等脆性材料，由于拉、壓許可應力不等，通常制成上、下不對稱截面，以充分發(fā)揮材料的承載潛力。應特別注意此種梁的彎矩有正、有負時，可能出現兩個危險截面，而且兩個危險點可能不在同一個截面上。例4.7 矩形截面懸臂梁如圖示，試計算梁的最大切應力和最大正應力并比較大小。解：梁的最大彎矩在固定端處，Mmax=Pl,剪力在梁的各截面均為常數，危險截面在固定端處。應力比：解題指導：對于細長梁，如l5h，則有tmax0.05smax，亦即最大切應力遠小于最大正應力。這一結論適用于通常的非薄壁截面梁

29、（指厚壁截面梁及實心截面梁）。一般說來，非薄壁截面細長梁橫力彎曲的強度計算可以只考查正應力強度，不必考慮切應力。但對于順紋方向抗剪強度差的材料如木制梁及切應力較大的薄壁截面梁或短梁（跨度與梁的高度比小于5）則需同時進行正應力和切應力的計算。例4.8 圖示懸臂梁由三塊膠合在一起，截面尺寸為：b=100mm，a=50mm。已知木材的s10MPa，t1MPa，膠合面的tj0.34Mpa試求許可荷載P。解：（1）由梁的抗拉強度確定的許可荷載P1 （a）（2）由梁的剪切強度確定的許可荷載P2， （3）由膠合面的剪切強度確定的許可荷載P3， 在三個荷載中選擇最小的，得膠合梁的許可荷載P=3.75kN。解題

30、指導：在上面膠合梁中假如膠合層發(fā)生破壞，則桿的彎曲特性隨之而改變，抗彎強度將會顯著降低。設三個梁接觸面間摩擦力甚小，每個梁可以自由彎曲，且彎曲曲率完全一樣。這時，可近似認為每個梁上承擔的外力等于P/3，則每一梁的最大正應力等于與式（a）比較，最大正應力增加了三倍。例4.9 開口薄壁圓環(huán)壁厚t<<R，剪力Q的方向鉛垂向下。式求截面的彎曲中心位置。解：在環(huán)中心線上角q 處的切應力可用書上相應公式計算。截面對中性軸z的慣矩為IzptR3，而DB扇形面積對z軸的靜矩為切應力微面積dARtdq 上的微剪力tdA對截面形心C的合力矩為設截面上切應力的合力通過彎曲中心A。根據合力矩定理，合力Q對

31、C點之矩應等于MC，即Q×eMCQ×2R，于是e2R，故彎曲中心A離截面形心C的距離為2R。解題指導：由結果可知，彎曲中心的位置與外力無關，因此彎曲中心是截面的幾何性質?！緦崙?zhàn)訓練】41 試求圖示各梁中截面11、22、33上的剪力和彎矩，這些截面無限接近截面C或截面D。設Fp、q、a為已知。答案：（a）FS10，FS2FP ，FS30 ，M1M2FPa ，M30 （b）FS1FS2qa ，FS30 ，M1M2qa2/2 ，M30 （c）FS1q0a/2，FS2q0a/12 ， M1M2qa2/6 （d）FS1qa，FS23qa /2 ， M1qa2/2 ，M22qa2 （e

32、）FS11333N，FS2667N，M1267N.m，M2333N.m（f）FS1FS2100 N，FS3200 N，M120N.m M2M340N.m  42 試列出圖示各梁的剪力方程和彎矩方程。作剪力圖和彎矩圖，并確定| Fs |max及| M |max值。 答案：（a）êFSïmax2ql ，êMïmax3ql2/2 ； （b）êFSïmaxql ，êMïmax3ql2/2 ；（c）êFSïmax5FP/3 ，êMïmax5 FP a/3

33、；（d）êFSïmax2qa ，êMïmax5ql2/2 ；（e）êFSïmax2FP ，êMïmaxFP a ；（f）êFSïmaxFP，êMïmaxFPa ；（g）êFSïmax2qa ，êMïmaxqa2 ；（h）êFSïmax3qa/8 ，êMïmax9qa2/128 ；（i）êFSïmax3Me/2a ，êMïmax3Me/2；（j）êF

34、Sïmaxqa ，êMïmaxqa2/2 ；（k）êFSïmax5qa/8 ，êMïmaxqa2/8 ；（l）êFSïmax3.5FP ，êMïmax2.5FPa ；（m）êFSïmaxqa ，êMïmaxqa2 ；（n）êFSïmaxqa/2 ，êMïmaxqa2/8 ；（o）êFSïmax30kN ，êMïmax15kN.m 43 試用簡易法作圖示各梁的剪力圖和彎

35、矩圖，并確定| Fs |max及| M |max值，并用微分關系對圖形進行校核。答案： （a）êFSïmax3qa/4 ，êMïmaxqa2/4 ；（b）êFSïmaxqa ，êMïmaxqa2 ；（c）êFSïmaxqa/2 ，êMïmaxqa2/8 ；（d）êFSïmax3Me/2l ，êMïmaxMe ；（e）êFSïmax5qa/3 ，êMïmax8qa2/9 ；（f）êFS&#

36、239;maxqa ，êMïmaxqa2 ；（g）êFSïmaxFP ，êMïmax3FPa ；（h）êFSïmax5ql/8 ，êMïmax3ql2/16 ；（i）êFSïmax3Me/2a ，êMïmax3Me/2 ；（j）êFSïmaxqa ，êMïmaxqa2 ；（k）êFSïmax3qa/2 ，êMïmaxqa2 ；（l）êFSïmaxqa ，&#

37、234;Mïmaxqa2/2；（m）êFSïmax5qa/3 ，êMïmax25qa2/18 ；（n）êFSïmaxqa ，êMïmax3qa2/4 ；（0）êFSïmaxq0a/2 ，êMïmaxq0a2/3 。44 設梁的剪力圖如圖所示。試作彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒有作用集中力偶。45 試用疊加法繪出圖示各梁的彎矩圖答案： （a）MBAMBCqa2/2（上拉），（b）MDA0；MBDMBCFpa（上拉），（c）MRCBFpa，MLCB0，MAC2Fpa（上拉）

38、，（d）MCB2qa2，MAC3qa2（上拉），（e）MCAMCB3qa2/4（下拉），（f）MBAMBCqa2（上拉）。46 起吊一根自重為q N/m的等截面鋼筋混凝土桿，問吊裝時吊點的位置x應為多少才合理(最不容易使桿折斷)？提示：使梁內的最大正彎矩與最大負彎矩的絕對值相等。  答案：x（Ö21）l / 2。47 小車可以在梁上移動，它的每個輪子對梁的作用力均為Fp ，試分析小車處于什么位置時梁內的彎矩最大（以x表示梁上小車的位置）。答案： xl / 2c / 448 圖示傳動軸，軸上之斜齒輪A上受有三個相互垂直的嚙合力FPa 650 N ，FPt 650 N

39、 ，FPr 173 N ，方向如圖所示。圖中D 50 mm ，l 100 mm 。試繪出傳動軸BC的內力圖，并求其最大彎矩值。答案： êMïmax36.6N.m。49 受均布荷載的簡支梁如圖所示，試計算：（1）11截面AA線上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力。答案： s（1）s（2）61.7MPa（壓），smax92.6MPa410 厚度為d 1.5mm的鋼帶，卷成直徑為D3m的圓環(huán)，求此時鋼帶橫截面上的最大正應力。已知鋼的彈性模量E210GPa 。答案： smax105MPa。411 簡支梁承受均布荷載q2kN/m ，梁跨度l2m ，如圖示。若分別采用截面面

40、積相等的實心和空心圓截面，如實心圓的直徑D140mm ，空心圓內、外徑比ad2/D23/5，試分別計算他們的最大正應力，并問空心截面比實心截面的最大正應力減少了百分之幾？答案：實心的smax159MPa；空心的smax93.6MPa，空心比實心圓截面的最大正應力減少了41。412 我國營造法式中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是h：b3：2 。試用彎曲正應力強度證明：從圓木鋸出的矩形截面，上述尺寸比例接近最佳比值。答案： h / bÖ21.41與3 / 2接近。413 鑄鐵梁的荷載及截面尺寸如圖所示。已知許用拉應力s t 40 Mpa ，許用壓應力s c 160 Mpa ，試按正應力強度

41、條件校核梁的強度。若荷載不變，但將截面倒置，是否合理，為什么？答案：stmax26.4MPa<st ，scmax52.8MPa<sc，安全。414 由三根木條膠合而成的懸臂梁，截面尺寸如圖所示，跨度l1m ，若膠合面上的t g 0.34 MPa ，木材的 s w 10MPa ， t w 1 Mpa ，試求許可荷載Fp值。答案：FP3.7kN。415 圖示一由No.16工字鋼制成的簡支梁，跨中作用著集中荷載FP 。在截面CC處梁的下邊緣上，用標距s20mm的應變儀量得縱向伸長Ds0.008mm 。已知梁的跨度l1.5m ，a1m ，彈性模量E210GPa 。試求Fp力的大小。

42、0; 答案：FP47.4kN。 第五章 梁彎曲時的位移【重點難點】1）積分法是求解梁變形的基本方法。注意梁的撓曲線微分方程是建立在以梁左端為坐標軸原點，x軸向右為正，y軸向上為正的坐標系上。如使用不同坐標系，必須注意正負號。2）積分法求梁變形時，需注意正確利用撓曲線光滑連續(xù)特性尋找確定積分常數的條件。3）對于一些荷載未知，但曲率已知的情況，可利用公式(8-3) 求解。4）為提高梁的彎曲剛度，可以選擇彈性模量高的材料。但需注意，各種鋼材極限應力差別較大，但它們的彈性模量卻相當接近，選用優(yōu)質鋼材只能提高梁的強度并不能提高剛度。5）卡氏第二定理適用于求解線彈性桿（或結構）在小變形下的任意截

43、面和方向的位移。不但能夠處理直桿，還可以計算曲桿的位移。【習題解析】例5.1 用積分法求圖所示梁撓曲線方程時，要分幾段積分？將出現幾個積分常數？列出確定其積分常數條件。（彈簧剛度為k）解：（a）分兩段積分，1. AC段，2.CB段。4個積分常數。邊界條件：vA=0，vB= RB/ k (RB 為B點支反力)連續(xù)條件：vC1vC2 q C1qC2（b）分三段積分，1. AD段，2.DC段，3.CB段。6個積分常數。邊界條件：vA=0，q A=0，vB=0，連續(xù)條件：vD1yD2， q D1q D2，vC2yC3。  解題指導：（1）在荷載突變處、中間約束處、截面變化處（慣性矩I突變處）

44、及材料變化處（彈性模量E值突變處）均應作為分段積分的分段點。（2）中間鉸鏈連接了兩根梁，也應作為分段點。（3）各分段點處都應列出連續(xù)條件，中間鉸鏈只限制了兩梁在該點的相對位移，不能限制轉動，故只有一個撓度連續(xù)條件。例5.2 變截面簡支梁受到集中力P的作用，如圖 (a)所示，試用疊加法計算梁自由端B處的撓度vB和轉角q B。解：由于梁在C截面處截面尺寸發(fā)生變化，須分兩段計算變形，再進行疊加。首先將梁沿截面變化處C截開，把CB段梁暫時看作是在C處固支的懸臂梁（圖 (b)），利用材料力學教材上的典型梁變形表可得B點位移：（ ）， （）再求AC段C截面位移。將外力P向C點平移，C點受兩個外力：集中力P

45、和集中力偶Pl/2。查表可得注意梁CB段的C截面是固定在梁AC段的C截面上，AC段C截面的位移必然會牽動CB段，因此將梁CB段下移vC，再使整個CB段轉動qC角，則CB段即與圖 (c)的AC段銜接而得到整個梁的變形，如圖 (d)。在此拼合過程中B點又獲得額外的轉角qB2和撓度vB2，由圖c可知于是B端的撓度和轉角為解題指導：此例題設所給出的結構無法由手冊或表格中查到，因此對結構進行了分解，將其等效化處理為可查表結構，然后再對結構疊加。疊加原理，即可以用于荷載的疊加，也可以用于結構的疊加?！緦崙?zhàn)訓練】51 具有中間鉸的梁受力如圖所示。試畫出撓度曲線的大致形狀，并說明積分常數如何確定。52 變截面

46、懸臂梁受力如圖所示。試寫出其撓曲線的近似微分方程，并說明積分常數如何確定。53 試用疊加法求圖示各梁截面A的撓度和截面B的轉角。EI為已知常數。答案： （a）wA5ql4 / 768EI（¯） ，（b）wAqa4 / 8EI（¯），qB0 ，（c）wAql4 / 16EI（­），qBql3/ 12EI（逆時針）（d）wA3FPl3 / 76EI（¯），qB3ql2/ 8EI（逆時針）（e）wA41qa4 / 24EI（¯），qB3qa3/ 4EI（逆時針）（f）wA0，qBql3/ 72EI（順時針）54 試用疊加法確定圖示梁在中間鉸B處的撓度

47、wB及FP力作用點的位移wD 。設AB和BC兩梁的EI相同。答案： wBqb4 / 8EI2FPb3/9 EI（¯）， wDqb4 / 12EI4FP（a3/9 b3）/27EI（¯）。55 圖示梁，右端C由拉桿吊起。已知梁的截面為200mm×200mm的正方形，材料的E110GPa ，拉桿的截面積為A2500mm2 ，其E2200GPa ，試用疊加法求梁跨中截面D的垂直位移。答案： wD6.37mm（¯）56 圖示一懸臂的工字鋼梁，長l4m ，在自由端作用集中力FP10kN ，已知鋼的s 170 MPa ，t 100 MPa ，E210GPa ，梁的許

48、用撓度wl / 400 ，試按強度和剛度條件選擇工字鋼型號。答案：選用No.32a工字鋼。 第六章 簡單的超靜定問題【習題解析】例61 平行桿系1、2、3懸吊著剛性橫梁AB如圖a所示。在橫梁上作用著荷載G。如桿1、2、3的截面積、長度、彈性模量均相同，分別為A、l、E。試求三根桿的軸力N1、N2、N3。解：設在荷載G作用下，橫梁移動到A¢B¢位置（圖b），則桿1的縮短量為Dl1，而桿2、3的伸長量為Dl2、Dl3。取橫梁AB為分離體，如圖c，其上除荷載G外，還有軸力N1、N2、N3以及X。由于假設1桿縮短，2、3桿伸長，故應將N1設為壓力，而N2、N3設為拉力。(1) 平衡

49、方程 （a）三個平衡方程中包含四個未知力，故為一次超靜定問題。(2) 變形幾何方程 由變形關系圖2-8b可看出B1B¢2C1C¢，即 ，或 (b)(3) 物理方程 (c)  將(c)式代入(b)式，然后與(a)式聯立求解，可得解題指導：在解超靜定問題中：假定各桿的軸力是拉力、還是壓力，要以變形關系圖中各桿是伸長還是縮短為依據，兩者之間必須一致。經計算三桿的軸力均為正，說明正如變形關系圖中所設，桿2、3伸長，而桿1縮短。例62：試解圖所示的超靜定梁。解：（1）選擇靜定基：以B點約束作為多余約束，將其除去，代之以約束反力RB，稱之為靜定基，如圖8-6(b)。(2) 變

50、形協(xié)調條件：多余約束B處梁的撓度應有: vB0。 (3)利用疊加法求vB 。對應圖 (b)應有：vBRvBP0 (a) 查表得（），（）將vBR、vBP代入式（a）解出 解題指導：用變形比較法求解超靜定梁，可以選擇不同的靜定基，以便于求解為準。例如此例也可以選擇A端的轉角約束作為多余約束，其靜定基如圖8-7所示?！緦崙?zhàn)訓練】61 圖示一階梯形桿，上端固定，下端與剛性底面留有空隙D0.08mm ，A14000mm2 ，E1100GPa ，A22000mm2 ，E2200GPa 。在兩段交界處，受向下的軸向荷載FP ，問：（1）FP力等于多少時，下端的空隙恰好消失？（2）當FP500kN

51、時，各段內的應力值為多少？答案：（1）FP32kN ；（2）s（1）86MPa，s（2）78MPa。62 兩根材料不同但截面尺寸相同的桿件，同時固定聯接于兩端的剛性板上，且E1>E2 。若要使兩桿都發(fā)生均勻拉伸，試求拉力FP的偏心距e 。 答案： eb（E1E2）/2（E1E2）。63 圖示一階梯形桿AB，其兩端部分的橫截面積為A1500mm2 ，中間部分的橫截面積為A21000mm2 ，試確定當軸向荷載FP250kN時，在桿的中間部分的應力。若已知該桿材料的線脹系數a 20×106 1/ 0C ，彈性模量E1000GPa 。問要使桿中間部分的應力恰好為零時，需要使桿

52、的溫度降低多少度？  答案： s中143MPa，降低Dt100C。64 銅桿1、2、3的面積A200mm2 ，長度l1m ，彈性模量E200GPa ，若在制造時桿3短了d0.8mm ，試計算安裝后桿1、2、3中的內力。答案： FN1FN35.33kN（拉） ，FN210.67kN（壓）。65 圖示結構1、2桿的抗拉剛度E1A1E2A2 ，3桿的抗拉剛度E3A3 ，3桿由于制造誤差短了d ，試求1、2、3桿的裝配內力。答案： FN1FN2E3A3d / l2cosa（E3A3 / E1A1cos2a）（壓） FN3E3A3d / l1（E3A3 / 2E1A1cos3a）（拉

53、） 第七章 應力狀態(tài)和強度理論【重點難點】（1）截取原始單元體時，應取兩個橫截面為其中一對平面，因為橫截面上的應力可用已知的公式計算。（2）平面應力狀態(tài)下，過一點的所有截面中，必有一對主平面和一對與主平面夾角為45º的主切應力截面。（3）平面應力狀態(tài)下得到的兩個主應力排序時要注意到還有一個零主應力。（4）在平面應力狀態(tài)中，任意兩個相互垂直截面上的正應力之和等于常數。（5）平面應力狀態(tài)下有兩個主方向，其最大主應力作用線所在的象限一定是兩相互垂直截面上切應力箭頭所對應的象限，其正應力的大小和指向僅影響主方向角的大小。（6）平面應力狀態(tài)下得到的最大切應力是垂直于零主應力面所有截面上切應力的

54、最大值，并不一定是該點的最大的切應力，只有按公式計算的切應力才是最大切應力。（7）用應力圓分析平面應力狀態(tài)時，應注意應力圓上的參考點是對應于x截面的A點。（8）應力圓和單元體相互對應，應力圓上的一個點對應于單體的一個面，應力圓一點的坐標為單元體相應截面上的應力值，應力圓上的兩點對應的圓心角是單元體上這兩點所對應的兩個截面的外法線夾角的兩倍，這兩個角的轉向相同。應力圓與單元體之間的對應關系可總結為“點面對應、轉向相同、夾角兩倍?！薄玖曨}解析】例7.1 試畫出圖所示簡支梁A點處的原始單元體。解：（1）原始單元體要求其六個截面上的應力應已知或可利用公式直接計算，因此應選取如下三對平面：A點左右側的橫

55、截面，此對截面上的應力可直接計算得到；與梁xy平面平行的一對平面，其中靠前的平面是自由表面，所以該對平面應力均為零。再取A點偏上和偏下的一對與xz平行的平面。截取出的單元體如圖 (d)所示。(2)分析單元體各面上的應力。A點偏右橫截面的正應力和切應力如圖 (b)、(c)所示，將A點的坐標x、y代入正應力和切應力公式得A點單元體左右側面的應力為：、；由切應力互等定律，知單元體的上下面有切應力t；前后邊面為自由表面，應力為零。在單元體各面上畫上應力，得到A點單元體如圖 (d)。解題指導：原始單元體各截面的應力應已知或可直接計算得到。一般用橫截面和平行坐標平面的截面截取原始單元體。例7.2 試求圖

56、(a)所示的單元體的（1）圖示斜截面上的應力;（2）主方向和主應力，畫出主單元體;（3）主切應力作用平面的位置及該平面上的正應力，并畫出該單元體。解：（1）求斜截面上的正應力和切應力：（2）求主方向及主應力： 由切應力方向知，最大主應力在第一象限中，對應的角度為。則主應力由可解出因有一個為零的主應力，因此畫出主單元體如圖 (b)。（3）主切應力作用面的法線方向 主切應力為此兩截面上的正應力為 主切應力單元體如圖9-9（c）所示。由，可以驗證上述結果的正確性。解題指導：（1）圖（a）、（b）、（c）所示的單元體表示的均是同一點處的應力狀況，是對一點處應力狀態(tài)的不同描述方式。（2）正確使用平面應力狀態(tài)分析公式的關鍵是正確地