第五單元《圓》教材解析-人教版數(shù)學(xué)六年級上冊

人教版數(shù)學(xué)六年級上冊《圓》教材解析一、教材介紹本單元的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形、正方形等平面圖形以及它們的周長、面積計(jì)算，直觀的認(rèn)識圓的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，是小學(xué)階段的最后一個認(rèn)識平面圖形的單元。圓這個平面圖形與以往學(xué)習(xí)的平面圖形有顯著的不同，長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等都是直線圖形，而圓是曲線圖形。由此，教學(xué)將從對直線圖形的研究過渡到對曲線圖形的研究，這對學(xué)生而言是一種跨越與挑戰(zhàn)。因?yàn)闊o論是研究曲線圖形的思想還是方法，與直線圖形相比，都有顯著的變化和提升。因此，通過對圓的研究教學(xué)，不僅要讓學(xué)生掌握圓的一些基礎(chǔ)知識，還要讓學(xué)生感受與體悟“化曲為直”“等積變換”“極限”等數(shù)學(xué)思想方法，以促進(jìn)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和問題解決的能力。本單元的內(nèi)容主要有：圓的認(rèn)識、圓的周長、圓的面積、扇形的認(rèn)識等。二、課標(biāo)解讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出“探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征；體驗(yàn)簡單圖形的運(yùn)動過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運(yùn)動后的圖形，了解確定物體位置的一些基本方法；掌握測量、識圖和畫圖的基本方法”“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果”“在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“課程內(nèi)容”的“第一學(xué)段”中提出“能辨認(rèn)長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形”“會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖”；又在“第二學(xué)段”中指出“通過觀察、操作，認(rèn)識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓”“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實(shí)際問題”“通過觀察、操作等活動，進(jìn)一步認(rèn)識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補(bǔ)全一個簡單的軸對稱圖形”“能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運(yùn)用它們在方格紙上設(shè)計(jì)簡單的圖案”。三、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)1．使學(xué)生認(rèn)識圓，學(xué)會用圓規(guī)畫圓，掌握圓的基本特征。2．使學(xué)生會利用直尺和圓規(guī)，在教師指導(dǎo)下設(shè)計(jì)一些與圓有關(guān)的圖案。3．使學(xué)生通過實(shí)踐操作，理解圓周率的意義，理解和掌握圓的周長計(jì)算公式，并解決一些相應(yīng)的實(shí)際問題。4．引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握圓的面積計(jì)算公式，并解決一些簡單的實(shí)際問題。5．使學(xué)生認(rèn)識扇形，掌握扇形的一些基本特征。6．使學(xué)生經(jīng)歷嘗試、探究、分析、反思等過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，在解決一些與圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的過程中，提高問題解決的能力。7．使學(xué)生在推導(dǎo)圓的周長與面積的計(jì)算公式過程中體會和掌握轉(zhuǎn)化、極限等數(shù)學(xué)思想。8．通過生活實(shí)例、數(shù)學(xué)史料，感受數(shù)學(xué)之美，了解數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)習(xí)興趣。四、具體內(nèi)容1.

圓的認(rèn)識（1）圓的各部分名稱、圓的性質(zhì)教材首先呈現(xiàn)了自然界和社會生活中形形色色的“圓”，其中包括許多同心圓。豐富的圓形圖案，使學(xué)生感受到圓很美，同時，感受到數(shù)學(xué)就在身邊，激發(fā)起良好的學(xué)習(xí)情緒。接下來，請學(xué)生想辦法在紙上畫一個圓，學(xué)生可以調(diào)動以前的經(jīng)驗(yàn)，用茶杯蓋、三角尺上的圓洞等圓形物體進(jìn)行描摹，也可以用圓規(guī)畫圓。用實(shí)物畫圓也是很有意義的動手實(shí)踐機(jī)會，但畫出的圓的大小是固定的，不能隨意變化。而用圓規(guī)畫圓卻可以在兩腳叉開的范圍內(nèi)畫出任意大小的圓來。在畫圓環(huán)節(jié)出現(xiàn)用圓規(guī)畫圓，也是尊重學(xué)情的一種體現(xiàn)。學(xué)生在課外應(yīng)該都嘗試過用圓規(guī)畫圓，但是如何畫得標(biāo)準(zhǔn)，畫得輕松，還需教師進(jìn)一步指導(dǎo)。利用圓規(guī)畫圓，引出圓的各部分名稱。一方面，與前面的活動自然銜接；另一方面，畫圓的過程非常切合“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合”這一幾何學(xué)的定義。通過這一過程引出圓心、半徑、直徑等概念，將動手操作、觀察思考、概念引出融為一體，自然流暢。對圓特征的認(rèn)識，分四個層次編排：首先，讓學(xué)生將畫好的圓折一折、畫一畫、量一量，發(fā)現(xiàn)沿著任意一條直徑對折，兩邊可以重合，說明了圓是軸對稱圖形。第二，通過對折痕的觀察和想象，讓學(xué)生理解半徑和直徑都有無數(shù)條。第三，通過測量與比較，讓學(xué)生認(rèn)識到同一圓內(nèi)所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等，并且直徑的長度是半徑的2倍。第四，結(jié)合畫圓的經(jīng)驗(yàn)，理解圓心可決定圓的位置，半徑可決定圓的大小。（2）利用圓設(shè)計(jì)圖案尺規(guī)作圖是一項(xiàng)有著悠久歷史、充滿魅力的數(shù)學(xué)技能。教材在認(rèn)識圓之后，安排了這樣一個實(shí)踐性內(nèi)容，既可以讓學(xué)生進(jìn)一步熟練用圓規(guī)畫圓的技能，促進(jìn)學(xué)生對圓的特征的進(jìn)一步認(rèn)識，又能讓學(xué)生在用尺規(guī)畫出漂亮圖案的過程中提高動手操作的能力，學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)的美，培養(yǎng)熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感。教材先以分解的步驟，展示了如何利用圓的特征，一步一步畫出四個花瓣式的漂亮圖案。這中間，涉及到充分利用圓的對稱性，需要學(xué)生學(xué)會確定某個圓或半圓的圓心和半徑，這也是圓心和半徑分別確定圓的位置與大小的最直接應(yīng)用。此外，還需要學(xué)生添加一些輔助線。因此，這樣的活動體現(xiàn)了很強(qiáng)的綜合性。之后，教材呈現(xiàn)了兩個更復(fù)雜的圖案，讓學(xué)生嘗試畫一畫，這需要學(xué)生綜合運(yùn)用觀察、思考、動手等多方面的技能。教材給出了一些輔助線加以提示，需要學(xué)生對已經(jīng)成形的圖案進(jìn)行“分解”，知道每一部分是怎么來的。用直尺畫出基本的圖形后，再進(jìn)行涂色，涂不同的顏色，也會形成不同的作品。2.

圓的周長（1）圓的周長計(jì)算公式的推導(dǎo)圓的周長計(jì)算在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因此，教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，求鐵皮的長度”這一學(xué)生熟悉的實(shí)際情境引入，幫助學(xué)生理解圓的周長的概念。學(xué)生已經(jīng)具備了測量一般圖形（物體）周長的技能，因此，面對“分別需要多長的鐵皮”的問題，他們完全能想到解決的辦法：拿卷尺直接繞一圈量，或者把圓形物體在直尺上滾一圈再量出長度，或者拿線在圓形物體上繞一圈，量出線的長度。學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中感受了方法多樣性和“化曲為直”的轉(zhuǎn)化思想。更重要的是，圓周長概念的內(nèi)涵，就在這樣的過程中得以清晰化、直觀化。方法需要優(yōu)化，思維需要提升。教材在此基礎(chǔ)上提出“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長呢？”要求學(xué)生跳出繞、滾、圍等策略的測量方法，找到一種更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關(guān)系，圓的大小取決于……”，啟發(fā)學(xué)生將問題解決的方向放在從圓本身的特征去想辦法突破。第63頁上方的表格，是引導(dǎo)學(xué)生通過測量幾組圓的直徑和周長，自主發(fā)現(xiàn)周長和直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結(jié)出圓的周長計(jì)算公式。在這個內(nèi)容中，教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生利用實(shí)驗(yàn)的手段，通過測量、計(jì)算、猜測圓的周長和直徑的關(guān)系、驗(yàn)證猜測等過程，理解并掌握圓的周長計(jì)算方法。教材通過直接介紹的方式說明周長與直徑的比值是一個固定的數(shù)，叫做圓周率，用字母“π”來表示。為了方便學(xué)生計(jì)算，教材規(guī)定“π”這個無限不循環(huán)小數(shù)常常只取它的近似數(shù)，即兩位小數(shù)3.14。根據(jù)圓的周長和直徑的倍數(shù)關(guān)系，可以得出求圓的周長的計(jì)算公式：C＝πd或C＝2πr。（2）例1本例是一個與圓的周長計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。通過學(xué)生經(jīng)?？吹交蚴褂玫淖孕熊囈鰡栴}，能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用。自行車的后輪半徑是33cm，它滾一圈能走多遠(yuǎn)，那就是求它的周長。這樣的問題，是“化曲為直”思想的應(yīng)用——用曲的車輪周長計(jì)量自行車前進(jìn)的距離。第二個問題帶有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)性，“小明從家到學(xué)校1km，輪子大約轉(zhuǎn)了多少圈？”學(xué)生必須通過計(jì)算，才能解決這個問題。得出的相關(guān)結(jié)果，也能加強(qiáng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。3．圓的面積（1）圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)教材首先通過計(jì)算圓形草坪占地面積的實(shí)際情境提出圓面積的概念，一方面使學(xué)生在以前所學(xué)知識的基礎(chǔ)上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一方面使學(xué)生體會在實(shí)際生活中計(jì)算圓面積的必要性。學(xué)生以前所學(xué)的圖形都是多邊形（如三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形等），像圓這樣的曲線圖形的面積計(jì)算，學(xué)生還是第一次接觸到。把圓分割成若干等份后拼成近似的長方形的方法，學(xué)生很難自主發(fā)現(xiàn)，因此，教材直接給出明確的提示，讓學(xué)生把圓分成若干等份，拼一拼。接下來的過程，則主要交給學(xué)生自主探索。教材讓學(xué)生通過觀察，看到拼出的是近似的長方形（或平行四邊形），隨著分的份數(shù)越來越多，拼出的圖形越來越接近于長方形，體會“無限逼近”的極限思想。這個近似的長方形的的長和寬與圓的周長、半徑有著緊密的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比，利用圓與長方形之間的關(guān)系，自行推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。（2）例1本例是在學(xué)生推導(dǎo)出了圓面積計(jì)算公式以后，用此公式解決本節(jié)開頭的實(shí)際問題。求的是鋪滿草皮需要多少錢，這一問題比“求草皮面積是多少”更有現(xiàn)實(shí)意義、更自然。要求鋪滿草皮需要多少錢，首先要求圓形草皮的面積。（3）例2本例是求圓環(huán)的面積，教材通過插圖幫助學(xué)生了解什么叫圓環(huán)，理解求圓環(huán)的面積是用外圓面積減去內(nèi)圓面積。教材給出了兩種算法：3.14×62－3.14×22和3.14×（62－22）。教材也有意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法分配律，采用相對簡便的算法，這樣，可以大大減少計(jì)算的繁雜程度，減少計(jì)算出錯的可能性。（4）例3本例通過讓學(xué)生解決圓的內(nèi)接正方形、外切正方形與圓之間部分的面積這一實(shí)際問題，經(jīng)歷問題解決的全過程，并在解決具體問題的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)更為一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。例題以中國古建筑中“外方內(nèi)圓”和“外圓內(nèi)方”兩種經(jīng)典設(shè)計(jì)為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數(shù)學(xué)問題——求正方形與圓之間的那部分面積。兩個圖中的圓大小相同，但正方形位置與大小都不同。很自然地引出一個問題：中間部分的面積與圓的面積有沒有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系？例3是給出一個特殊的圓半徑，先解決特殊問題，在“反思”部分再討論一般性的規(guī)律。“分析與解答”引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖示尋找正方形與圓之間的關(guān)系。第一個圖，很容易看出正方形的邊長就是圓的直徑；第二個圖，正方形的邊長不知道，不能用邊長的平方直接計(jì)算面積。此時，就需要轉(zhuǎn)換思路，將正方形看成兩個底是圓的直徑、高是圓的半徑的三角形（或四個小三角形）。在前面的解題環(huán)節(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形與圓之間的面積與圓的半徑是有關(guān)的，那到底有什么樣的關(guān)系呢？因此，在“回顧與反思”這一環(huán)節(jié)，需要繼續(xù)延伸討論，進(jìn)一步探討一般化的結(jié)論。圓的半徑是r與半徑是1m的解題思路完全相同，因?yàn)榘霃?m只是其中的一種特例。讓學(xué)生利用剛才的方法，得到一個代數(shù)式的結(jié)果。把r=1m代入，與前面的結(jié)果相符，以此檢驗(yàn)這個代數(shù)式的正確性。4.

扇形的認(rèn)識教材呈現(xiàn)了三個名稱中含有“扇”的物體，引出問題：什么是扇形？這樣的引入方式，把扇形這個數(shù)學(xué)名詞與學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，有助于激發(fā)學(xué)生的研究興趣。教材結(jié)合圖示，以直接介紹的方式，揭示了“弧”“扇形”“圓心角”等術(shù)語的含義。事實(shí)上，扇形就是弧和圓心角所組成的圖形?！稁缀卧尽分羞@樣定義扇形：由頂點(diǎn)在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形叫做扇形。扇形的大小與圓心角的大小緊密相關(guān)，也與所在圓的半徑大小有關(guān)。到第七單元學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計(jì)圖時，還用到了各部分扇形的大小占整個圓的百分?jǐn)?shù)。這些，需要學(xué)生直觀感知并理解，但總體要求并不高，例如，扇形統(tǒng)計(jì)圖中沒有提出計(jì)算各扇形圓心角的明確要求。因此，教材上只列出了兩類特殊的扇形：半圓為弧的扇形對應(yīng)的圓心角是180°，圓為弧的扇形對應(yīng)的圓心角是90°。五、教學(xué)建議

（一）以實(shí)踐活動引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生動手操作、自主探索的能力

本單元教材在各知識板塊的編排中，都體現(xiàn)了上述的理念與內(nèi)容，即以實(shí)踐性的活動讓學(xué)生“做”起來，在“做”的過程中，引發(fā)學(xué)生的“思考”，進(jìn)而主動探索，最終理解概念（或得出結(jié)論）。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注意多讓學(xué)生動手操作，通過畫一畫、剪一剪、圍一圍、拼一拼等多種形式，幫助學(xué)生認(rèn)識圓的基本特征，探索圓的周長、面積計(jì)算公式。

比如在教學(xué)“圓的認(rèn)識”時，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握用圓規(guī)畫圓的方法，讓學(xué)生在畫圓的過程中，去觀察和圓相關(guān)的一些元素，如針尖所在的點(diǎn)、兩腳之間的距離，從而導(dǎo)出圓心、半徑和直徑等概念，在通過折、畫、量等活動發(fā)現(xiàn)半徑、直徑的特點(diǎn)及關(guān)系。探究圓的周長時，則可讓學(xué)生采用圍一圍、滾一滾的方法先測量出周長，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生探究周長與直徑之間的關(guān)系。探索圓的面積時，可指導(dǎo)學(xué)生將把圓分成若干等份的小紙片拼一拼，從而“化圓為方”，再通過觀察、對比、推理，得出圓的面積計(jì)算公式。

當(dāng)然，在實(shí)際教學(xué)時，我們不能把學(xué)生的動手操作活動作為活動的目的，而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生以動手操作為基礎(chǔ)，探索和發(fā)現(xiàn)圓的有關(guān)特性。如此，學(xué)生不僅掌握了知識和技能，體驗(yàn)到了操作活動的價值，還有效地積累了數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)。

（二）在探求知識的同時，引導(dǎo)學(xué)生體會和掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法本單元涉及“化曲為直”“轉(zhuǎn)化”“推理”“極限”等多種數(shù)學(xué)思想方法。因此，教學(xué)時應(yīng)將此作為一個重要的教學(xué)目標(biāo)予以落實(shí)。圓的周長和面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，用到了轉(zhuǎn)化的思想，需要引導(dǎo)學(xué)生深入體會這種思想方法。如在研究圓的面積計(jì)算公式時，教師可讓學(xué)生回顧：以前研究多邊形面積時，主要采用了割補(bǔ)法、拼組等方法，將多邊形轉(zhuǎn)化為學(xué)生更熟悉的圖形來解決，那么是否也可以按這樣的思路，利用割補(bǔ)等方式把圓轉(zhuǎn)化為熟