定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用ppt課件

1、6-7 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用總本錢總本錢 = 固定本錢固定本錢 + 可變本錢可變本錢)(qC0C)(1qC平均本錢平均本錢(單位本錢單位本錢)=qqCC)(10 收益收益=價(jià)錢銷量，即價(jià)錢銷量，即R(Q) = PQ . R(Q) = PQ . 利潤(rùn)利潤(rùn)=總收益總收益- -總本錢，即總本錢，即L(Q) = R(Q)-C(Q) . L(Q) = R(Q)-C(Q) . f(x) 在在 x=x0處的邊沿值為處的邊沿值為f(x0). 0 xx 邊沿的經(jīng)濟(jì)意義邊沿的經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), x 改動(dòng)一個(gè)單位改動(dòng)一個(gè)單位, y 改動(dòng)改動(dòng))(0 xf 個(gè)單位個(gè)單位 . 邊沿本錢；邊沿收

2、益；邊沿利潤(rùn)邊沿本錢；邊沿收益；邊沿利潤(rùn)一、知邊沿函數(shù)求總函數(shù)一、知邊沿函數(shù)求總函數(shù)二、資金流的現(xiàn)值和未來值二、資金流的現(xiàn)值和未來值 第六章 一、知邊沿函數(shù)求總函數(shù)一、知邊沿函數(shù)求總函數(shù) 問題：知某邊沿經(jīng)濟(jì)函數(shù)，求該總經(jīng)濟(jì)量問題：知某邊沿經(jīng)濟(jì)函數(shù)，求該總經(jīng)濟(jì)量. . 設(shè)某個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)設(shè)某個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù) u(x)的邊沿函數(shù)為的邊沿函數(shù)為 , 那么有那么有 )(xu )0()()(0uxudxxux 于是于是 .)()0()(0 xdxxuuxu2. 知銷售某產(chǎn)品的邊沿收益為知銷售某產(chǎn)品的邊沿收益為 ，x為銷售量，為銷售量，R(0)=0, 那么總收益函數(shù)為那么總收益函數(shù)為)x(R x0dx)x(R)x(

3、R1. 知消費(fèi)某產(chǎn)品的邊沿本錢為知消費(fèi)某產(chǎn)品的邊沿本錢為 ，x為產(chǎn)量，為產(chǎn)量，固定本錢為固定本錢為C(0), 那么總本錢函數(shù)為那么總本錢函數(shù)為( )C x 00( )( )( )xC xC x dxC 3. 設(shè)利潤(rùn)函數(shù)設(shè)利潤(rùn)函數(shù)L(x)=R(x)-C(x),其中其中x為產(chǎn)量，為產(chǎn)量， R(x)是收益函數(shù)是收益函數(shù),C(x)是本錢函數(shù)，假設(shè)是本錢函數(shù)，假設(shè) L(x),R(x),C(x)均可導(dǎo)，那么邊沿利潤(rùn)為：均可導(dǎo)，那么邊沿利潤(rùn)為： L (x)=R(x)-C(x).因此總利潤(rùn)為：因此總利潤(rùn)為：0d0( )( )( )xL xL xxL 0d0( )( )( )xR xC xxC 例例1 消費(fèi)某產(chǎn)

4、品的邊沿本錢函數(shù)為消費(fèi)某產(chǎn)品的邊沿本錢函數(shù)為 100143)(2 xxxC 固定本錢固定本錢 C(0) = 1000, 求消費(fèi)求消費(fèi) x 個(gè)產(chǎn)品的總本錢函數(shù)個(gè)產(chǎn)品的總本錢函數(shù) . 解解 dxxCCxCx 0)()0()(dxxxx 02)100143(1000.1007100023xxx 例例2 知邊沿收益為知邊沿收益為 , 設(shè)設(shè)R(0) = 0, 求求 收益函數(shù)收益函數(shù)R(x) . xxR278)( 解解 xdxxRxR0)278()0()(.782xx 例例3 3：設(shè)某商品的邊沿收益為：設(shè)某商品的邊沿收益為( )200100QR Q 199.75 (50)(50)50RR 00( )200

5、100QQQR Q dQdQ ( )R Q (50)9987.5R 21200200QQ (1) (1) 求銷售求銷售5050個(gè)商品時(shí)的總收益和平均收益；個(gè)商品時(shí)的總收益和平均收益； (2) (2) 假設(shè)曾經(jīng)銷售了假設(shè)曾經(jīng)銷售了100100個(gè)商品，求再銷售個(gè)商品，求再銷售100100個(gè)商品的總收益和平均收益；個(gè)商品的總收益和平均收益；解解: (1) 總收益函數(shù)總收益函數(shù): :平均收益平均收益: : 例例3：設(shè)某商品的邊沿收益為：設(shè)某商品的邊沿收益為( )200100QR Q 198.5 (200)(100)200100RRR 200100200100QdQ (200)(100)RR19850

6、(1) (1) 求銷售求銷售5050個(gè)商品時(shí)的總收益和平均收益；個(gè)商品時(shí)的總收益和平均收益； (2) (2) 假設(shè)曾經(jīng)銷售了假設(shè)曾經(jīng)銷售了100100個(gè)商品，求再銷售個(gè)商品，求再銷售100100個(gè)商品的總收益和平均收益；個(gè)商品的總收益和平均收益；解解: (2) 總收益為總收益為: :平均收益平均收益: : 例例4 4：知消費(fèi)某產(chǎn)品：知消費(fèi)某產(chǎn)品x x臺(tái)的邊沿本錢為臺(tái)的邊沿本錢為2150( )11C xx 210150ln(1)xxx2( )305R xx ( )C x 201501011xdxx 0(0)( )xCC x dx ( (萬元萬元/ /臺(tái)臺(tái)) )，邊沿收入為，邊沿收入為 ( (萬元

7、萬元/ /臺(tái)臺(tái)).). (1) (1) 假設(shè)不變本錢為假設(shè)不變本錢為C(0)=10 (C(0)=10 (萬元萬元/ /臺(tái)臺(tái)),),求總本錢函數(shù)求總本錢函數(shù)，總收入函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)；總收入函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)；(2)(2)當(dāng)產(chǎn)量從當(dāng)產(chǎn)量從4040臺(tái)添加到臺(tái)添加到8080臺(tái)時(shí)臺(tái)時(shí), ,總本錢與總收入的增量總本錢與總收入的增量; ;解解: (1)總本錢為總本錢為 由于當(dāng)產(chǎn)量為零時(shí)總收入為零由于當(dāng)產(chǎn)量為零時(shí)總收入為零, ,即即R(0)=0,R(0)=0,于是于是22129150ln(1)105xxxx 0( )(0)( )xR xRR x dx 020(30)5xx dx ( )( )( )L xR xC

8、 x 21305xx 總收入為總收入為總利潤(rùn)函數(shù)為總利潤(rùn)函數(shù)為8040(80)(40)( )CCC x dx 143.96 240 8040(80)(40)( )RRR x dx 萬元萬元(2)(2)當(dāng)產(chǎn)量從當(dāng)產(chǎn)量從4040臺(tái)添加到臺(tái)添加到8080臺(tái)時(shí)臺(tái)時(shí), ,總本錢的增量為總本錢的增量為; ;當(dāng)產(chǎn)量從當(dāng)產(chǎn)量從4040臺(tái)添加到臺(tái)添加到8080臺(tái)時(shí)臺(tái)時(shí), ,總收入的增量為總收入的增量為; ;萬元萬元 二、由變化率求總量二、由變化率求總量 例例5 某工廠消費(fèi)某商品某工廠消費(fèi)某商品, 在時(shí)辰在時(shí)辰 t 的總產(chǎn)量變化率為的總產(chǎn)量變化率為 (單位單位/小時(shí)小時(shí)). 求由求由 t = 2 到到 t = 4

9、 這兩小時(shí)這兩小時(shí) 的總產(chǎn)量的總產(chǎn)量 . ttx12100)( 解解 總產(chǎn)量總產(chǎn)量 4242)12100()(dttdttxQ.2726100422 tt 例例6 消費(fèi)某產(chǎn)品的邊沿本錢為消費(fèi)某產(chǎn)品的邊沿本錢為 , 當(dāng)當(dāng) 產(chǎn)量由產(chǎn)量由200添加到添加到300時(shí)時(shí), 需追加本錢為多少需追加本錢為多少?xxC2 . 0150)( 解解 追加本錢追加本錢dxxC 300200)2 . 0150(30020021 . 0150 xx .10000 例例7 7 在某地域當(dāng)消費(fèi)者個(gè)人收入為在某地域當(dāng)消費(fèi)者個(gè)人收入為 x x 時(shí)時(shí), , 消費(fèi)消費(fèi)支出支出 W( x ) W( x ) 的變化率的變化率 , ,

10、當(dāng)個(gè)人收入由當(dāng)個(gè)人收入由 900 900 添添加加到到 1600 1600 時(shí)時(shí), , 消費(fèi)支出添加多少消費(fèi)支出添加多少? ? xxW15)( 解解 dxxW 160090015160090030 x .300 設(shè)有本金設(shè)有本金A0,年利率為年利率為r,那么一年后得利息那么一年后得利息A0r,本利本利和為和為A0A0rA0(1r),n年后所得利息年后所得利息nA0r,本利和本利和為為An=A0+nA0r=A0(1+nr)這就是單利的本利和計(jì)算公式這就是單利的本利和計(jì)算公式假設(shè)在期初投資一個(gè)單位的本金，在每一時(shí)期內(nèi)假設(shè)在期初投資一個(gè)單位的本金，在每一時(shí)期內(nèi)都得到完全一樣的利息金額，這種計(jì)息方式為

11、單利都得到完全一樣的利息金額，這種計(jì)息方式為單利.三、收益流的現(xiàn)值與未來值三、收益流的現(xiàn)值與未來值 第二年以第一年后的本利和第二年以第一年后的本利和A1為本金為本金,那么兩年那么兩年后的本利和為后的本利和為A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此計(jì)算，照此計(jì)算,n年后應(yīng)得本利和為年后應(yīng)得本利和為AnA0(1r)n這就是普通復(fù)利的本利和計(jì)算公式這就是普通復(fù)利的本利和計(jì)算公式. 這種計(jì)息方式的根本思想是：利息收入自動(dòng)被這種計(jì)息方式的根本思想是：利息收入自動(dòng)被計(jì)入下一期的本金計(jì)入下一期的本金. 就像常說的就像常說的“利滾利利滾利.三、收益流的現(xiàn)值與未來值三、收益流的現(xiàn)值與未來值 資金周轉(zhuǎn)過程是

12、不斷繼續(xù)進(jìn)展的資金周轉(zhuǎn)過程是不斷繼續(xù)進(jìn)展的, 假設(shè)一年中分假設(shè)一年中分n期計(jì)期計(jì)算算,年利率仍為年利率仍為r,于是每期利率為于是每期利率為r/n ,那么一年后的本利那么一年后的本利和為和為A1A(1 r/n )n，t年后本利和為年后本利和為AtA(1 r/n )nt ，假設(shè)采取瞬時(shí)結(jié)算法假設(shè)采取瞬時(shí)結(jié)算法,即隨時(shí)生息即隨時(shí)生息,隨時(shí)計(jì)算隨時(shí)計(jì)算,也就是也就是n時(shí)時(shí),得得t年后本利和為年后本利和為 這就是延續(xù)復(fù)利公式這就是延續(xù)復(fù)利公式0lim(1)nttnrAAn 00lim(1) .nrtrtrnrAAen 因此，在年利率為因此，在年利率為r的情形下的情形下,假設(shè)采用延續(xù)復(fù)利，有：假設(shè)采用延續(xù)

13、復(fù)利，有： 1知現(xiàn)值為知現(xiàn)值為A0, 那么那么t年后的未來值為年后的未來值為AtAert， 2知未來值為知未來值為At , 那么貼現(xiàn)值為那么貼現(xiàn)值為A At e-rt期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計(jì)息方式，即每時(shí)期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計(jì)息方式，即每時(shí)每刻計(jì)算復(fù)利的方式稱為延續(xù)復(fù)利每刻計(jì)算復(fù)利的方式稱為延續(xù)復(fù)利. 我們知道我們知道, 假設(shè)以延續(xù)復(fù)利率假設(shè)以延續(xù)復(fù)利率 r 計(jì)息計(jì)息, 一筆一筆 P 元人民元人民幣幣 從如今起存入銀行從如今起存入銀行, t 年后的價(jià)值年后的價(jià)值(未來值未來值) ,t rPeB 假設(shè)假設(shè) t 年后得到年后得到 B 元人民幣元人民幣, 那么如今需求存入銀那么如今需求

14、存入銀行的金行的金 額額(現(xiàn)值現(xiàn)值) .t rBeP 下面先引見收益流和收益流量的概念下面先引見收益流和收益流量的概念 . 假設(shè)某公司的收益是延續(xù)地獲得的假設(shè)某公司的收益是延續(xù)地獲得的 , 那么其收益可被那么其收益可被看作是一種隨時(shí)間延續(xù)變化的收益流看作是一種隨時(shí)間延續(xù)變化的收益流 . 而收益流對(duì)時(shí)間的而收益流對(duì)時(shí)間的變化率稱為收益流量變化率稱為收益流量 . 4、收益流的現(xiàn)值和未來值、收益流的現(xiàn)值和未來值 收益流量實(shí)踐上是一種速率收益流量實(shí)踐上是一種速率 , 普通用普通用 R (t) 表示表示 ; 假設(shè)時(shí)間假設(shè)時(shí)間 t 以年為單位以年為單位 , 收益以元為單位收益以元為單位 , 那么收益流那么

15、收益流量的量的 單位為單位為: 元元/年年. (時(shí)間時(shí)間 t 普通從如今開場(chǎng)計(jì)算普通從如今開場(chǎng)計(jì)算) . 假設(shè)假設(shè) R(t) = b 為常數(shù)為常數(shù) , 那么稱該收益流具有均勻收益流量那么稱該收益流具有均勻收益流量. 未來值：如今一定量的資金在未來某一時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值未來值：如今一定量的資金在未來某一時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值現(xiàn)值：未來某一時(shí)點(diǎn)的一定資金折合成如今的價(jià)值，現(xiàn)值：未來某一時(shí)點(diǎn)的一定資金折合成如今的價(jià)值， 俗稱俗稱“本金本金 例如：假設(shè)銀行利率為例如：假設(shè)銀行利率為5%,他如今存入銀行他如今存入銀行10000塊塊,一年以后可得本息一年以后可得本息10500元元. 10500為為10000的未來值的未來

16、值,而而10000為為10500的現(xiàn)值的現(xiàn)值 . 和單筆款項(xiàng)一樣和單筆款項(xiàng)一樣 , 收益流的未來值定義為將其存入收益流的未來值定義為將其存入 銀行并加上利息之后的本利和銀行并加上利息之后的本利和 ; 而收益流的現(xiàn)值是這而收益流的現(xiàn)值是這 樣一筆款項(xiàng)樣一筆款項(xiàng), 假設(shè)把它存入可獲息的銀行假設(shè)把它存入可獲息的銀行, 未來從收益未來從收益流流 中獲得的總收益中獲得的總收益, 與包括利息在內(nèi)的本利和與包括利息在內(nèi)的本利和, 有一樣的有一樣的 價(jià)值價(jià)值. 在討論延續(xù)收益流時(shí)在討論延續(xù)收益流時(shí), 為簡(jiǎn)單起見為簡(jiǎn)單起見, 假設(shè)以延續(xù)復(fù)利假設(shè)以延續(xù)復(fù)利 率率 r 計(jì)息計(jì)息 . 假設(shè)有一筆收益流的收益流量為假設(shè)

17、有一筆收益流的收益流量為 R(t) (元元/年年) , 下面下面計(jì)計(jì) 算其現(xiàn)值及未來值算其現(xiàn)值及未來值 . 思索從如今開場(chǎng)思索從如今開場(chǎng)(t = 0)到到 T 年后這一時(shí)間段年后這一時(shí)間段 . 利用利用元元 素法素法, 在區(qū)間在區(qū)間 0 , T 內(nèi)內(nèi), 任取一小區(qū)間任取一小區(qū)間 t , t + dt , 在該在該小小 區(qū)間內(nèi)將區(qū)間內(nèi)將 R (t) 近似看作常數(shù)近似看作常數(shù) , 那么應(yīng)獲得的金額近那么應(yīng)獲得的金額近似等似等 于于 R (t) dt (元元) . 從如今從如今( t = 0 )算起算起, R (t) dt 這一金額是在這一金額是在 t 年后的年后的將將 來而獲得來而獲得, 因此在因

18、此在 t , t + dt 內(nèi)內(nèi), 從而，總現(xiàn)值為從而，總現(xiàn)值為00( )TrtRR t edt 收益的現(xiàn)值收益的現(xiàn)值( )rtR t edt 在計(jì)算未來值時(shí)在計(jì)算未來值時(shí), 收入收入 R(t) dt 在以后的在以后的( T t )年內(nèi)年內(nèi)獲獲 息息, 故在故在 t , t + dt 內(nèi)內(nèi) 例例8 假設(shè)以年延續(xù)復(fù)利率假設(shè)以年延續(xù)復(fù)利率 r = 0.1 計(jì)息計(jì)息 (1) 求收益流量為求收益流量為100元元/年的收益流在年的收益流在20年期間的現(xiàn)年期間的現(xiàn) 值和未來值值和未來值; (2) 未來值和現(xiàn)值的關(guān)系如何未來值和現(xiàn)值的關(guān)系如何? 解釋這一關(guān)系解釋這一關(guān)系 . 解解 (1) 從而，未來值為從而

19、，未來值為()0( )Tr TtTRR t edt 收益流的未來值收益流的未來值()( )r TtR t edt dtet1 . 0200100 現(xiàn)值現(xiàn)值;)(66.864)1(10002元元 edtet)20(1 . 0200100 將來值將來值dteet1 . 02200100 . )(06.6389)1(100022元元 ee (2) 顯然顯然 ,2e 現(xiàn)值現(xiàn)值將來值將來值 假設(shè)在假設(shè)在 t = 0 時(shí)辰以現(xiàn)值時(shí)辰以現(xiàn)值 作為一筆款項(xiàng)作為一筆款項(xiàng)存存 入銀行入銀行, 以年延續(xù)復(fù)利率以年延續(xù)復(fù)利率 r = 0.1計(jì)息計(jì)息, 那么那么20年中這筆年中這筆單單 獨(dú)款項(xiàng)的未來值為獨(dú)款項(xiàng)的未來值為

20、 )1(10002 e.)1(1000)1(100022(20)0.12eeee 而這正好是上述收益流在而這正好是上述收益流在20年期間的未來值年期間的未來值 . 例例9 某公司投資某公司投資100萬元建成萬元建成1條消費(fèi)線，并條消費(fèi)線，并于于1年后獲得經(jīng)濟(jì)效益，年收入為年后獲得經(jīng)濟(jì)效益，年收入為30萬元，設(shè)萬元，設(shè)銀行年利率為銀行年利率為10%，問公司多少年后收回投，問公司多少年后收回投資資 Ttt01 . 0100de30解解 設(shè)設(shè)T年后可收回投資，投資回收期應(yīng)是總年后可收回投資，投資回收期應(yīng)是總收入的現(xiàn)值等于總投資的現(xiàn)值的時(shí)間長(zhǎng)度，收入的現(xiàn)值等于總投資的現(xiàn)值的時(shí)間長(zhǎng)度，因此有因此有 10

21、0)e1(301 .0 T即即解得解得T=4.055，即在投資后的，即在投資后的4.055年內(nèi)可收回投資年內(nèi)可收回投資作業(yè)：作業(yè)：P267: 1, 3, 8(注：注：e-0.9=0.4066)周三、五復(fù)習(xí)第六章周三、五復(fù)習(xí)第六章x 普通來說普通來說, 以年延續(xù)復(fù)利率以年延續(xù)復(fù)利率 r 計(jì)息計(jì)息, 那么在從如今起那么在從如今起到到 T 年后該收益流的未來值等于將該收益流的現(xiàn)值作為年后該收益流的未來值等于將該收益流的現(xiàn)值作為 單筆款項(xiàng)存入銀行單筆款項(xiàng)存入銀行 T 年后的未來值年后的未來值. 例例1 設(shè)有一項(xiàng)方案如今設(shè)有一項(xiàng)方案如今( t = 0 )需求投入需求投入 1000 萬元萬元, 在在 10 年中每年收益為年中每年收益為 200 萬元萬元. 假設(shè)延續(xù)利率假設(shè)延續(xù)利率為為 5%, 求求 收益資本價(jià)值收益資本價(jià)值W. (設(shè)購置的設(shè)備設(shè)購置的設(shè)備10年后完全失年后完全失去價(jià)值去價(jià)值) 解解資本價(jià)值資本價(jià)值 = 收益流的現(xiàn)值收益流的現(xiàn)值 投入資金的現(xiàn)值投入資金的現(xiàn)值 100020010005. 0 dteWt100005. 020010005. 0 te1000)1(40005 . 0 e. )(88.573萬萬元元 例例2 某企業(yè)一項(xiàng)為期某企業(yè)一