1第一講向量的線性運(yùn)算及相關(guān)性-+-第二講向量的共線與共面

1、2021/8/141高等代數(shù)與解析幾何郭 求 知 2021/8/142數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程介紹解析幾何高等代數(shù)數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)與解析幾何數(shù)學(xué)分析群論初步（數(shù)論初步）多項(xiàng)式理論間等）線性代數(shù)（包括歐氏空高等代數(shù)2021/8/143高等代數(shù)與解析幾何目錄：高等代數(shù)與解析幾何目錄：第一章 向量代數(shù)第二章 行列式第三章 線性方程組與線性子空間第四章 矩陣的秩與矩陣的運(yùn)算第五章 線性空間與歐幾里得空間第六章 幾何空間的常見(jiàn)曲面第七章 線性變換第八章 線性空間上的函數(shù)第九章 坐標(biāo)變換與點(diǎn)變換第十章 一元多項(xiàng)式與整數(shù)的因式分解第十一章 多元多項(xiàng)式第十二章 多項(xiàng)式矩陣與若爾當(dāng)?shù)浞缎?021/8/144 高等代數(shù)與

2、解析幾何是我校數(shù)學(xué)專業(yè)必修的一門專業(yè)課，本課程的特點(diǎn)是將高等代數(shù)與解析幾何融為一門課程。 代數(shù)中的許多概念非常抽象，幾何為抽象的代數(shù)提供了直觀想象的空間，代數(shù)為幾何提供了便利的研究工具。代數(shù)與幾何的融合能加強(qiáng)我們對(duì)數(shù)與形內(nèi)在聯(lián)系的理解，學(xué)會(huì)用代數(shù)的方法處理幾何問(wèn)題。課程定位：課程定位： 本課程的教學(xué)注重認(rèn)識(shí)和理解現(xiàn)實(shí)生活中的“線性模型”；領(lǐng)會(huì)“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系；掌握高等代數(shù)的核心內(nèi)容，即：線性方程組的解的存在條件、解的結(jié)構(gòu)，求解方法及線性方程組的幾何背景；矩陣在處理離散、線性的問(wèn)題中所起的作用與所扮演的角色；二次型的幾何背景、化簡(jiǎn)及應(yīng)用。 通過(guò)本課程的教學(xué)，要能夠比較系統(tǒng)地理解代數(shù)與幾何

3、的基本概念和基本理論，掌握基本方法。逐步培育邏輯推理和抽象思維能力、空間直觀和想象能力及綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)好后續(xù)課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2021/8/145第一章第一章 向量代數(shù)向量代數(shù)1.向量的概念及線性運(yùn)算向量的概念及線性運(yùn)算2.向量的共線與共面向量的共線與共面3.向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示4.向量組相關(guān)性的基本概念向量組相關(guān)性的基本概念5.向量的內(nèi)積、外積、混合向量的內(nèi)積、外積、混合本章內(nèi)容地位：預(yù)備知識(shí)本章內(nèi)容地位：預(yù)備知識(shí)2021/8/146第一講第一講 向量的線性運(yùn)算及線性相關(guān)性簡(jiǎn)介向量的線性運(yùn)算及線性相關(guān)性簡(jiǎn)介1.向量定義向量定義：向量的模向量的模：一一.

4、向量的概念向量的概念（模又稱為長(zhǎng)度或范數(shù)）模又稱為長(zhǎng)度或范數(shù)）.ABaABa或既有大小又有方向的量.向量的表示向量的表示：ABaBA或?yàn)榻K點(diǎn)的有向線段為起點(diǎn)，以例：例：向量的大小.2021/8/147ABCDEFMNABEFM NC D 分 析 ： AB,EF,MN,CD表 示 不 同 的 有 向 線 段 ，但 向 量=表 示 同 一 個(gè) 向 量 。 2.向量與有向線段的聯(lián)系與區(qū)別向量與有向線段的聯(lián)系與區(qū)別（1）.向量只側(cè)重其表示的大小和方向。 即：向量只關(guān)注其終點(diǎn)關(guān)于起點(diǎn)的相對(duì)位置，而不考慮這兩點(diǎn)的具體位置。（2）.同一個(gè)向量可以用無(wú)數(shù)個(gè)有向線段來(lái)表示。 即：向量可以在空間自由地平移例：20

5、21/8/1483.幾個(gè)特殊的向量幾個(gè)特殊的向量長(zhǎng)度為0的向量。記為： 或0.0（1）零向量：注意：零向量的方向是任意的。（2）負(fù)向量：稱與向量 大小相同但方向相反的向量為 的負(fù)向量。記作： aaa（3）單位向量： 模（長(zhǎng)度）為1的向量。（4）相同的向量： 指大小相等，方向相同的向量。2021/8/149二二.向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算三角形和平行四邊形法則：baabbacabbac1. 向量的加法向量的加法(addition)注：注：n個(gè)向量相加的多邊形法則多邊形法則：naaa21向量的減法：( ).a b ab 2021/8/14102. 向量的數(shù)乘（標(biāo)量乘法向量的數(shù)乘（標(biāo)量乘法 sca

6、lar multiplication）注：注：向量的加法和向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算.|00.kakakak akaka義：實(shí)數(shù) 與向量 的標(biāo)量乘積是一個(gè)向量，當(dāng)時(shí)它的方向與 相同，當(dāng)時(shí)方向與 相反定2021/8/14111.,30.a b cabc例設(shè)是互不共線的 個(gè)向量。試證明順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連接成一個(gè)三角形的充分必要條件是：ABCabc2021/8/14123, , .,6.a b cA B C D E FAB CDEF 已知平行六面體 條棱的向量分別為是 條棱的中點(diǎn)求證向量， ，能構(gòu)成三角形例2.abcABCDEF0ABCDEF 分析：只要證明2021/8/1

7、413三三.向量線性相關(guān)性基本概念向量線性相關(guān)性基本概念121211221212121122,.,.,nnnnnnnnna aak kkbk ak ak aa aaba aak kkk ak ak a 義 ：設(shè)是一組向量，是一組實(shí)數(shù)則：(1).稱向量為向量組的線組并稱向量 可以由向量組線(2).如果存在一組不全為零的實(shí)數(shù),使得：1.定1性合性表示12120,.:0,nina aakkkk 成立,則稱向量組線關(guān)反之，如果滿足上式的數(shù) 只可能為則稱此向量組線無(wú)關(guān)性相性.問(wèn)題問(wèn)題：若向量組中有一個(gè)零向量，則向量組的相關(guān)性如何？2021/8/1414線性相關(guān)。，則向量組線性相關(guān)，若向量組ntttaaa

8、aaaa1121,).1 (線性無(wú)關(guān)。則向量組線性無(wú)關(guān)，若向量組tnttaaaaaaa,).3(2111.).2(定線性相關(guān)含有零向量的向量組一個(gè)向量一定線性相關(guān)維向量空間中任意1).4(nn2.向量線性相關(guān)性的性質(zhì)向量線性相關(guān)性的性質(zhì)即：部分相關(guān)，則整體相關(guān)。即：整體無(wú)關(guān)，則部分無(wú)關(guān)。2021/8/1415第二講第二講 向量的共線與共面向量的共線與共面一一. 向量共線或共面的概念和性質(zhì)向量共線或共面的概念和性質(zhì)1.定義定義：一組向量是共線或共面的是指把他們表示成具有相同始點(diǎn)的有向線段后，這些線段是共線或共面的。/ /.( 2 )ababaa 注 : ( 1 )向 量與共 線 , 則 表 示

9、它 們 的 有 向 線 段一 定 平 行 ( 重 合 ) , 記 作零 向 量 與 任 意 向 量 共 線 ， 與 k共 線 .2.向量共線的判定與性質(zhì)向量共線的判定與性質(zhì),0,.aba bkbka題如 果與共 線 并 且不 全 為則 存 在 唯 一 的 實(shí) 數(shù)使 得(1)命2.1,0.abk mkambab題兩個(gè)向量和共線存在不全為零的實(shí)數(shù)使:向量和線性相關(guān).(2)命2.2,0ab問(wèn) 題 ： 去 掉 命 題 中 的 條 件不 全 為呢 ？2021/8/1416,a b問(wèn) 題 ： 怎 樣 判 斷 向 量不 共 線 呢 ？0,0.abkambk mkmab推論2.3：向量 和 不共線滿足的數(shù)只能

10、是向量 和線性無(wú)關(guān)(2)3.向量共面的判定與性質(zhì)向量共面的判定與性質(zhì),.ca bckamba b c題如果向量 能被向量線性表示，即則共面(1).命2.4akabbmcmb解析：2021/8/1417, ,.a b ca bca b題如果共面，且不共線，則 可以由線性表示，并且表示方式是唯一的(2).命2.5,)()000.ckambk am bkkammbabkkmm證明：唯一性：若則有:(由 與不共線可知:，, ,00, ,.a b ckamblca b c向量共面的判定方法：向量共面存在不全為 的常數(shù),使:向量組線性相關(guān)(3).,abc問(wèn) 題 ： 怎 樣 判 斷 向 量不 共 面 呢 ？

11、,0,0.,a b ckam blck m lkmla b c 推 論 ：向 量不 共 面滿 足的 數(shù)只 能 是向 量線 性 無(wú) 關(guān)2021/8/1418空間中的點(diǎn)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系空間中的點(diǎn)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系在空間中取一個(gè)點(diǎn)O(稱為原點(diǎn))，規(guī)定所有向量的起點(diǎn)都是原點(diǎn)O，這樣的向量稱為位置向量?？?間 的 自 由 向 量 集 合空 間 位 置 向 量 集 合空 間 點(diǎn) 的 集 合1)(2)問(wèn) 題 :(這 種 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 的 意 義 ？任 意 兩 個(gè) 位 置 向 量 都 線 性 無(wú) 關(guān) ？. 0,. 1,:21212121kkABMkkOBkOAkOMkkABM上的充分必要條件是位于線段而且且使

12、得：在實(shí)數(shù)上的充分必要條件是存在直線點(diǎn)證明例2.1位置向量位置向量:2021/8/1419.)1),(100:)(OBmOAmOMOAOBmOAOMOmABmAMmABABAM（即有：點(diǎn)，上式可化為對(duì)于任意取定的，使：存在實(shí)數(shù)，共線，與向量如圖，.1,:)(2221212121ABkOAOBkOAkkOBkOAkOAOMAMkkOBkOAkOM）（）（）（則且若例例2.1證明：證明：ABOM2021/8/1420. 1,3:321321321kkkOCkOBkOAkOMkkkABCMCBA且使得：數(shù)充分必要條件是存在實(shí)上的位于平面點(diǎn)個(gè)點(diǎn)對(duì)于不在同一直線上的練習(xí)：證明.,0)()()(0,:)(

13、OCnmlnOBnmlmOAnmllOMOMOCnOMOBmOMOAlOMCnMBmMAlnmlMCMBMA即有：點(diǎn)，上式可化為對(duì)于任意取定的使：存在實(shí)數(shù)共面，向量如圖，證：. 1,:)(3232321321321321ACkABkOCOAkOBOAkOCkOBkOAkOAkkkOMOAMAkkkOCkOBkOAkOM）（）（）（）（則且2021/8/1421二二. 線性流形線性流形（linear manifold)1. 線性流形的概念線性流形的概念2. 線性流形的特征線性流形的特征:”直直”和和”平平”張成的線性流形。稱為點(diǎn)的點(diǎn)構(gòu)成的集合且我們把滿足關(guān)系式對(duì)于空間的點(diǎn)nnnnnnAAAALMkkOAkOAkOMAAA,),(1,1111121。一定在這個(gè)線性流形內(nèi)線內(nèi)任意兩個(gè)點(diǎn)確定的直線性流形特征),(:1).1 (1nAALM1,),(),(,:21221121121121mmOMmOMmOMMMMAALM