動(dòng)量-動(dòng)量定理-動(dòng)量守恒定律

1、2021/8/141一一、質(zhì)心、質(zhì)心質(zhì)心（質(zhì)心（center of mass）是與質(zhì)量分布有關(guān)的一個(gè)代表是與質(zhì)量分布有關(guān)的一個(gè)代表點(diǎn)，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。點(diǎn)，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。 3-2 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理2021/8/142對(duì)于對(duì)于N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：Nimmmm，,21Nirrrr，,21)(immmrmriiC/直角坐標(biāo)系中的分量式：直角坐標(biāo)系中的分量式：質(zhì)心的位矢：質(zhì)心的位矢：mxmxiiC/mymyiiC/mzmziiC/2021/8/143mmrrC/d對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體分量式：分量式

2、：面分布面分布體分布體分布線分布線分布lmddSmddVmdd)d(mmmmxxC/dmmyyC/dmmzzC/d質(zhì)心的位矢：質(zhì)心的位矢：n 質(zhì)心與重心（質(zhì)心與重心（center of gravity）是兩個(gè)不同的概）是兩個(gè)不同的概念，重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力念，重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力(即重力即重力)的的作用點(diǎn)，質(zhì)心與重心的位置不一定重合。作用點(diǎn)，質(zhì)心與重心的位置不一定重合。 2021/8/144例例3-8 求腰長(zhǎng)為求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。置。取寬度為取寬度為dx的面積元，設(shè)薄板每單位的面積元，設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為面積

3、的質(zhì)量為 ，則此面積元的質(zhì)量，則此面積元的質(zhì)量為為解：解： xxxymd2d2d0Cy取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對(duì)稱性分析取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對(duì)稱性分析可知可知 axxxxmmxxaac32d2d2dd2/02/022021/8/145二二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理iiiCmrmr由質(zhì)心位矢公式：由質(zhì)心位矢公式：質(zhì)心的速度為質(zhì)心的速度為 質(zhì)心的加速度為質(zhì)心的加速度為 tvaCCddiiimtvmddiiimamtrvCCddiiimtrmddiiimvm2021/8/146由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得nFFFFam11312111nFFFFam22321222)1(21nnnnnnnFFFFam對(duì)

4、于對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)成對(duì)的系統(tǒng)內(nèi)成對(duì)的內(nèi)力內(nèi)力iiiFam,002112niinFFFFiiiCmamaCiamF2021/8/147 質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)等同于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)等同于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力的矢量和。點(diǎn)系所受的所有外力的矢量和。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：CiamF2021/8/148一、動(dòng)量定理一、動(dòng)量定理由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：tptvmFddd)(dtFpdd 表示力對(duì)時(shí)間的累積量，表示力對(duì)時(shí)間的累積量，叫做叫做沖量（沖量（impulse of force)。 2121dd

5、ppttptF12pp21dtttFI其中，其中， 3-3 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律2021/8/149 (1) 沖量沖量 的方向是所有元沖量的方向是所有元沖量 的合的合矢量的方向矢量的方向。動(dòng)量定理動(dòng)量定理反映了力在時(shí)間上的累積作反映了力在時(shí)間上的累積作用對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的效果。用對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的效果。ItFd 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。過程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。 說明說明逆風(fēng)行舟的分析：逆風(fēng)行舟的分析：動(dòng)量定理（動(dòng)量定理（theorem of momentum）：）：12ppI2021/8/1410(2) 動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖

6、量都是矢量，符合矢量動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計(jì)算：疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計(jì)算：ttzzzzttyyyyxxttxxmvmvtFImvmvtFImvmvtFI000000ddd2021/8/1411(3) 在在 沖擊、沖擊、 碰撞問題中碰撞問題中估算估算平均平均沖力（沖力（implusive force）。tttFtttIF0d10(4) 動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系慣性系。F(t)FtF00ttpp(5) 動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問題時(shí)很方便。動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問題時(shí)很方便。2021/8/

7、1412 研究錘對(duì)工件的作用過程，研究錘對(duì)工件的作用過程，在豎在豎直方向利用動(dòng)量定理，取豎直向上為正。直方向利用動(dòng)量定理，取豎直向上為正。例例3-9 質(zhì)量質(zhì)量m=0.3 t的重錘，從高度的重錘，從高度h=1.5 m處自由落到處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時(shí)間受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時(shí)間(1) =0.1 s， (2) =0.01 s 。試求錘對(duì)工件的平均沖力。試求錘對(duì)工件的平均沖力。以重錘為研究對(duì)象，分析受力，以重錘為研究對(duì)象，分析受力，作受力圖。作受力圖。解：解：解法一：解法一：)()(N00mvmgFghm 2ghmmgF/N2N.s,.)(N510921

8、101FN.s,.)(N610910102FmgFN2021/8/1413解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個(gè)過程，解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個(gè)過程，其動(dòng)量變化為零。其動(dòng)量變化為零。02)/(NghmgF重力作用時(shí)間為重力作用時(shí)間為gh/2 支持力的作用時(shí)間為支持力的作用時(shí)間為 由動(dòng)量定理：由動(dòng)量定理：ghmmgF/N22021/8/1414例例3-10 一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及及m的物體的物體A和和B， m大于大于m。B靜止在地面上，當(dāng)靜止在地面上，當(dāng)A自由下自由下落距離落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體后，繩子才被拉

9、緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度，以及能上升的最大高度。的速度，以及能上升的最大高度。 作繩拉緊時(shí)的受力圖。作繩拉緊時(shí)的受力圖。繩子剛好拉緊前的瞬間，物體繩子剛好拉緊前的瞬間，物體A的速度為的速度為 ghv2 解：解：經(jīng)過短暫的沖擊過程，兩物體速經(jīng)過短暫的沖擊過程，兩物體速率相等，對(duì)兩物體分別應(yīng)用動(dòng)量率相等，對(duì)兩物體分別應(yīng)用動(dòng)量定理（取向上為正）：定理（取向上為正）：)()(TmvvmtmgF102vmtgmF)(T2021/8/1415考慮到繩不可伸長(zhǎng)，有：考慮到繩不可伸長(zhǎng)，有：平均沖力平均沖力FT1 、FT2重力，因而忽略重力。重力，因而忽略重力。21TTFFmmmvvmmghm2繩子拉緊

10、后，繩子拉緊后，A、B系統(tǒng)的加速度為系統(tǒng)的加速度為 即為繩子剛被拉緊即為繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度。時(shí)兩物體的速度。gmmmma速度為零時(shí)，物體速度為零時(shí)，物體B達(dá)到最大高度達(dá)到最大高度H：022 vaH222mmhmH)()(TmvvmtmgF10)(2vmtgmT2021/8/1416*二、變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程二、變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程設(shè)設(shè) t 時(shí)刻，某物體質(zhì)量為時(shí)刻，某物體質(zhì)量為 m，速度為，速度為 (c)，另有一，另有一質(zhì)元質(zhì)元dm ，速度為，速度為 。vut+dt 時(shí)刻合并后的共同速度為時(shí)刻合并后的共同速度為 。vvd把物體與質(zhì)元作為系統(tǒng)，由動(dòng)量定理把物體與質(zhì)元作為系統(tǒng)，由動(dòng)量定理um

11、vmvvmmd)d)(d(tdF略去二階小量，略去二階小量，F(xiàn)uvtmmtdd)(dd變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程 注意：注意：dm可正可負(fù)，當(dāng)可正可負(fù)，當(dāng)dm取負(fù)時(shí)，表明物體質(zhì)量減取負(fù)時(shí)，表明物體質(zhì)量減小。小。2021/8/1417例例3-11 質(zhì)量為質(zhì)量為m的均質(zhì)鏈條，全長(zhǎng)為的均質(zhì)鏈條，全長(zhǎng)為L(zhǎng)，手持其上端，手持其上端，使下端離地面的高度為使下端離地面的高度為h。然后放手讓它自由下落到地。然后放手讓它自由下落到地上。求鏈條落到地上的長(zhǎng)度為上。求鏈條落到地上的長(zhǎng)度為 l 時(shí)，地面所受鏈條作用時(shí)，地面所受鏈條作用力的大小。力的大小。 解：解：用變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程求解用變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)方程

12、求解 。落在地面上鏈段落在地面上鏈段 ml 速度為零，作用在未速度為零，作用在未落地部分落地部分(m-ml)上的外力有重力和地面給上的外力有重力和地面給它的沖力。取向下為正：它的沖力。取向下為正： Fgmmvmmtll)()(ddFgmmtvmmmmtvlll)(dd)()(dd即即2021/8/1418Fgmmtvmmmmtvlll)(dd)()(dd自由下落：自由下落： gtvddFmmtvl)(ddmLlml)(2ddhlgtlvgLhlmvLmF)(22地面所受鏈條作用力為地面所受鏈條作用力為 ghlLmmgLlFF)23(（已落地部分鏈條的重力）（已落地部分鏈條的重力） 2021/8

13、/1419例例3-12 礦砂從傳送帶礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶落到另一傳送帶B，其速度，其速度v1=4 m/s，方向與豎直方向成，方向與豎直方向成30角，而傳送帶角，而傳送帶B與水平成與水平成15角，其速度角，其速度v2=2 m/s。如傳送帶的運(yùn)送量恒定，設(shè)。如傳送帶的運(yùn)送量恒定，設(shè)為為k=20 kg/s，求落到傳送帶，求落到傳送帶B上的礦砂在落上時(shí)所受到上的礦砂在落上時(shí)所受到的力。的力。解：解：設(shè)在某極短的時(shí)間設(shè)在某極短的時(shí)間 t 內(nèi)落在傳送帶上礦砂的質(zhì)量?jī)?nèi)落在傳送帶上礦砂的質(zhì)量為為m ，即，即m=k t，這些礦砂動(dòng)量的增量為，這些礦砂動(dòng)量的增量為12)(vmvmvm2021/8/1420

14、其大小為其大小為tkmvvvvmvm98. 398. 375cos2)(212221設(shè)這些礦砂在時(shí)間設(shè)這些礦砂在時(shí)間 t 內(nèi)所受的平均作內(nèi)所受的平均作用力為用力為 ，由動(dòng)量定理，由動(dòng)量定理F)( vmtFN6 .79)(tvmF方向由方向由29sin75sin)(2vmvm近似豎直向上近似豎直向上2021/8/1421mvmviiC= = 常矢量常矢量iiivmpCvm= =常矢量常矢量根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：若若0iF三、動(dòng)量守恒定律三、動(dòng)量守恒定律即即 如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動(dòng)如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，這個(gè)結(jié)論叫做量保持不變，這個(gè)結(jié)論叫

15、做動(dòng)量守恒定律（動(dòng)量守恒定律（law of conservation of momentum）。CiamF則則0Ca2021/8/1422(2)當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時(shí)，可近似認(rèn)為系統(tǒng)當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時(shí)，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（如：碰撞、打擊過程等）的總動(dòng)量守恒。（如：碰撞、打擊過程等）(1)動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)動(dòng)量總和不變，但系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)動(dòng)量總和不變，但系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以變化質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可以變化, , 通過內(nèi)力進(jìn)行傳遞和交換。通過內(nèi)力進(jìn)行傳遞和交換。說明說明(3) 分量式分量式)()()(時(shí)當(dāng)常量時(shí)當(dāng)常量時(shí)當(dāng)常量000iziziziyiyiyixixixFvmp

16、FvmpFvmp(4) 定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。2021/8/1423*四、火箭飛行四、火箭飛行設(shè)設(shè) t 時(shí)刻，火箭質(zhì)量為時(shí)刻，火箭質(zhì)量為 m，速度為，速度為 v (向向上上)，在，在 dt 內(nèi)，噴出氣體內(nèi)，噴出氣體 dm (0)，噴氣，噴氣相對(duì)火箭的速度相對(duì)火箭的速度(稱噴氣速度稱噴氣速度)為為 u (向下向下)，使火箭的速度增加了使火箭的速度增加了 dv。若不計(jì)重力和其他外力，由若不計(jì)重力和其他外力，由動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒定律可得定律可得 mmuvdd)(d()d)(d(uvmvvmmmv略去二階小量，略去二階小量，2021/8/14

17、24設(shè)設(shè)u是一常量，是一常量，2121ddmmvvmmuv2112lnmmuvvmmuvddmmummuvmm0lnd0設(shè)火箭開始飛行的速度為零，質(zhì)量為設(shè)火箭開始飛行的速度為零，質(zhì)量為m0 ，燃料燒盡時(shí)，燃料燒盡時(shí)，火箭剩下的質(zhì)量為火箭剩下的質(zhì)量為m ，此時(shí)火箭能達(dá)到的速度是，此時(shí)火箭能達(dá)到的速度是 火箭的質(zhì)量比火箭的質(zhì)量比 2021/8/1425多級(jí)火箭：多級(jí)火箭：iininNuvln1iu第第 i 級(jí)火箭噴氣速率級(jí)火箭噴氣速率iN第第 i 級(jí)火箭質(zhì)量比級(jí)火箭質(zhì)量比111Nuvln ,ln,ln33232212NuvvNuvv最終速度：最終速度： 2021/8/1426例例3-13 如圖所示

18、如圖所示,設(shè)炮車以仰角設(shè)炮車以仰角 發(fā)射一炮彈，炮車發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為和炮彈的質(zhì)量分別為m 和和m ，炮彈的出口速度為，炮彈的出口速度為v，求炮車的反沖速度求炮車的反沖速度v。炮車與地面間的摩擦力不計(jì)。炮車與地面間的摩擦力不計(jì)。解：解：選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)選取炮車和炮彈組成系統(tǒng)內(nèi)、外力分析。內(nèi)、外力分析。炮車與地面間的摩擦力不計(jì)，炮車與地面間的摩擦力不計(jì)，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。2021/8/1427vmmmvcos得炮車的反沖速度為得炮車的反沖速度為 0vvmvmcos思考：豎直方向動(dòng)量守恒嗎？思考：豎直方向動(dòng)量守恒嗎？系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒：系統(tǒng)水平方向

19、動(dòng)量守恒：2021/8/1428 炸裂時(shí)爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故炸裂時(shí)爆炸力是物體內(nèi)力，它遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動(dòng)量守恒。在爆炸中，可認(rèn)為動(dòng)量守恒。例例3-14 一個(gè)靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，一個(gè)靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度且以相同速度30 m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。0332211vmvmvm解：解：221133vmvmvm222211233)()()(vmvmvm2021/8/142

20、9m/s)(2 .21303021212222213vvv180,45, 1tan12vv135即即 和和 及及 都成都成 ，且三者都在同一平面內(nèi)且三者都在同一平面內(nèi)1353v1v2vmmmmm2,321222211233)()()(vmvmvm2021/8/1430 例例3-15 質(zhì)量為質(zhì)量為m1 和和m2的兩個(gè)小孩，在光滑水平冰面上的兩個(gè)小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對(duì)方。開始時(shí)靜止，相距為用繩彼此拉對(duì)方。開始時(shí)靜止，相距為l 。問他們將在。問他們將在何處相遇？何處相遇？ 把兩個(gè)小孩和繩看作一個(gè)把兩個(gè)小孩和繩看作一個(gè)系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒。系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒。任取兩個(gè)小孩連線上一點(diǎn)為

21、任取兩個(gè)小孩連線上一點(diǎn)為原點(diǎn)，向右為原點(diǎn)，向右為x軸為正向。軸為正向。解：解：設(shè)開始時(shí)小孩的坐標(biāo)分別為設(shè)開始時(shí)小孩的坐標(biāo)分別為x10、x20，在任意時(shí)刻的速度分別在任意時(shí)刻的速度分別v1為為v2，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為x1和和x2。ttvxx01101dttvxx02202d由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：2021/8/1431tttvxtvx02200110ddttvxx01101dttvxx02202d相遇時(shí)：相遇時(shí)：x1=x2tttvmmmtvmmxx01221012120101dd)(由動(dòng)量守恒：由動(dòng)量守恒：02211vmvm2110220201mmxmxmtvtd（1）代入式（代入式（1）得）得

22、2021/8/14322110120221102202101mmxmxmmmxmxmxx結(jié)果表明，兩小孩在純內(nèi)力作用下，將在他們共結(jié)果表明，兩小孩在純內(nèi)力作用下，將在他們共同的質(zhì)心相遇。上述結(jié)果也可直接由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定同的質(zhì)心相遇。上述結(jié)果也可直接由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律求出。律求出。Cxxx21相遇時(shí)有相遇時(shí)有 2021/8/1433作業(yè)：作業(yè)：3.9、3.17、3.232021/8/1434 如果兩個(gè)或幾個(gè)物體在相遇中，物體之間的相互如果兩個(gè)或幾個(gè)物體在相遇中，物體之間的相互作用僅持續(xù)一個(gè)極為短暫的時(shí)間，這些現(xiàn)象就是作用僅持續(xù)一個(gè)極為短暫的時(shí)間，這些現(xiàn)象就是碰撞碰撞（collision）。如：撞擊、打樁

23、、鍛鐵等，以及微觀粒。如：撞擊、打樁、鍛鐵等，以及微觀粒子間的非接觸相互作用過程即散射（子間的非接觸相互作用過程即散射（scattering）等。）等。 討論兩球的討論兩球的對(duì)心碰撞對(duì)心碰撞或稱或稱正碰撞（正碰撞（direct impact）：即碰撞前后兩球的速度在兩球的中心連線上。即碰撞前后兩球的速度在兩球的中心連線上。1. 碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒：碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒：2211202101vmvmvmvm碰撞碰撞問題問題2021/8/1435201012vvvve2. 牛頓的牛頓的碰撞定律碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度：碰撞后兩球的分離速度(v2-v1)，與碰撞前兩球的接近速度與碰撞前兩球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由兩成正比，比值由兩球的材料性質(zhì)決定。即恢復(fù)系數(shù)（球的材料性質(zhì)決定。即恢復(fù)