求導(dǎo)法則(一)

1、§ 3.2求導(dǎo)法則（一）教學(xué)內(nèi)容1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則；3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 . 教學(xué)重點與難點導(dǎo)數(shù)的運算法則及導(dǎo)數(shù)基本公式 .簡要復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容1. 導(dǎo)數(shù)的定義；2. 導(dǎo)數(shù)的定義的幾種形式；3. 可導(dǎo)的充要條件；4. 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；5. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義 .一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則設(shè) uu( x), vv( x) 都在 x 處可導(dǎo)，則有 (uv)uv ； (uv)uvu v ；(cu) cu ； ( u ) vu 2 uv .v v我們現(xiàn)在只證明 .證 設(shè) f ( x) u( x)v( x) 則f ( x)limf ( xh)f

2、 ( x) = lim u( xh)v( xh)u( x)v( x)h0= lim u( xh0= lim u( xh0例 1f ( x)x3hh 0hh)v(x h) u( x h) v( x) u( x h)v( x) u( x)v( x)hh) v( xh)v( x) +lim v( x) u( xh) u( x)=uv u vhh0h4cos xsin，求 f( x) ， f () .22解 f( x) =3x24 sin x ， f () = 324 .24例 2求 yx2 log a x3tan x1的導(dǎo)數(shù) .sin x解 y2x log a xx23sec2 xcos x .x

3、ln asin2x=2x log axx3sec2 xcsc x cot x .ln a二、反函數(shù)求導(dǎo)法法則 ： 若 x( y) 單調(diào)、連續(xù)，在y 處可導(dǎo) . 且( y) 0. 則它的反函數(shù)yf ( x) 在對應(yīng)點 x 處可導(dǎo)，單調(diào) . 且 f (x)1( y)證由單調(diào)性當(dāng)x0時， y0從而y1，又因為 yf (x) 連續(xù)，xxy當(dāng) x0 ， y0 ，從而 f (x)1.( y)利用以上定理可以證明：(arcsin x)1，(arccos x)1；1x21x 2(arctan x)12 ，(arc cot x)12 .1x1x三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則法則： 設(shè) yf ( (x) 是由y f (u)

4、, u(x) 復(fù)合而成 . 若 u( x) 在 x 處可導(dǎo)， 而 yf (u) 在 u 處可導(dǎo) . 則 yf ( x) 在 x 處可導(dǎo)且 dydy dudxdu dx證y f (u) 在 u 處可導(dǎo)，則有l(wèi)imyf (u) ，y(u)，其中ufu0u0 .可以推得yf (u) uu用 x 0 除以式有yf ( u)uu ，所以xxxdylim f(u)ulimu = dy du .dxx 0xx0x du dx這個法則相當(dāng)重要， 稱為復(fù)合函數(shù)的 鏈?zhǔn)椒▌t . 復(fù)合過程可推廣到多個情形.例 3 求 (e3x )解 ye3x 為 y eu , u3x 復(fù)合而成，所以 dydy du =eu 3 =

5、3e3 x .dxdu dx例 4求 y (ln tan x)解yln tan x 由 yln u, utan x 復(fù)合而成，所以dydy du=1sec2x2 csc 2xdxdu dxu注：在熟練掌握的基礎(chǔ)上，可不必寫出復(fù)合過程，可直接寫出結(jié)果.例 5yln( x1x2 )解 y1(1x)=1.x2x11x21x2例 6f ( x)x2a 2a arccos ax解 f ( x)xa1(a2 ) =xa 2x.222222x22xa1a 2xaxxax例 7y( f (axb) n解 y nfax bn 1 f(ax b a .()例 8yarctg (ln( axb)解y11a .1ln

6、 2 (axb) axb例 9已知 f ( x)x( x1)( x2)( x100)，求 f(0)法 1： f(0)= limf ( x)f (0) = limx( x1)( x 2)( x100)100 ！.x0x0x 0x法2：f( x)( x1)( x 2)( x100)x( x1)( x2)( x 100) .=100 ！例 10設(shè) f ( x)1g ( x) sin ,x 0g (0) =0，證明： f (0) =0x且 g(0)0, x 0f (x)f (0)g( x) sin 1證 f(0) = lim=limx ，又因x 0x0x 0xg (0) =limg( x)g(0)li

7、mg( x) =0，且 sin11 ，x 0x0x 0xx故易知 f (0)=0.例 11設(shè) f ( x) 在 1,1 上有界， g( x)f ( x) sin x2 ，求 g (0)解 g (0) =lim g( x)g( 0)lim f ( x) sin x 2lim f ( x)x 0 .x 0x0x 0xx 0小結(jié)1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則；3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 .作業(yè)作業(yè) : p1038奇數(shù)題，預(yù)習(xí)：§ 3.2P808615奇數(shù)題；§ 3.2求導(dǎo)法則（二）教學(xué)內(nèi)容1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2. 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；教學(xué)目的

8、1. 熟練掌握隱函數(shù)與參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法；2. 掌握抽象形式的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法；3. 熟練掌握對數(shù)求導(dǎo)法；4. 理解和會求相關(guān)變化率 .教學(xué)重點與難點掌握隱函數(shù)與參數(shù)式所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，相關(guān)變化率的計算.復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則；3. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 .一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 隱函數(shù)的定義 ：形如 yf (x) 的函數(shù)為顯函數(shù) . 而由方程 F ( x, y)0 或 f (x, y)g( x, y)所確定的函數(shù)為隱函數(shù)2. 隱函數(shù)求導(dǎo)法 ：將方程兩端對 x 求導(dǎo)（ y 看成 x 的函數(shù)），然后解出 y

9、例 1 已知 eyxye 0，求 dy .dx解： ey y xyy0 從而 yy.xey例 2 已知 y52 y x 3x70 ，求 dyx 0 .dx解： 5 y4 y2 y 1 21x60 則 y21x6 1 .2 5 y4將 x0 代入原方程里得 y 0所以 dy1.dx x 023. 對數(shù)求導(dǎo)法 （多用于求冪指函數(shù) f ( x)g (x ) 與多因式函數(shù)求導(dǎo)問題，兩邊取對數(shù)，變顯函數(shù)為隱函數(shù)，再使用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)）例 3y(tan x)sin x ，求 y解： ln ysin x ln tan x ,1ycos x ln tan xsin x1sec2 x .ytan x所以 y(

10、tan x)sin x cos x ln tan xsin x1sec2 xtan x法 2： yesin x lntan x ，所以 yesin ln tan xcos xln tan xsin x1sec2 x .tan x例 4 y( x1)( x2)( x 3)( x 4)解： ln y1 ln( x1)ln(x2)ln( x3)ln( x4) ,21 y11121x1y2 x1xx 34所以 y1 1111 (x 1)( x 2) .2 x 1 x 2 x 3 x 4( x 3)( x 4)二、參數(shù)方程求導(dǎo)法設(shè)參數(shù)方程為x(t ), ，y(t).t,顯 然 若 x(t ) 存 在 反

11、 函數(shù)t1 ( x) 則 y1 (x) 為 x 的復(fù)合函數(shù)，若 x(t ) ， y(t ) 可導(dǎo)，且dydy dtdy(t )(t ) 0 ，則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：dt，dxdt dxdx =(t )dt例 6已知橢圓參數(shù)方程為xa cost, ，求橢圓在 t處的切線方程yb sin t.4解： 先求 t處所對應(yīng)的橢圓上的點 M 0的坐標(biāo)為 (2 a,2 b) ，在點422M 0 處切線的斜率 kdyb costb , 所以所求的切線方程為dx t4asin tt4ay2 bb (x2 a).2a2例 7求三葉玫瑰線 ra sin 3 在處的切線方程3解：先將其化為參數(shù)方程xa sin3co

12、s ,在處對應(yīng)點為 (0,0) ,ya sin3 sin .3kdy3acos3sinasin 3cos3dx 33acos3cosasin 3sin3所以所求的切線方程為y3x.小結(jié)1. 隱函數(shù)的求導(dǎo)法；2. 對數(shù)求導(dǎo)法；3. 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法作業(yè)作業(yè) : p104 24 ，25， 26；§ 3.2 求導(dǎo)法則（三）高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；教學(xué)目的1.會求函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)和簡單函數(shù)的n 階導(dǎo)數(shù)；2. 掌握抽象函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)的求法 . 教學(xué)重點與難點抽象函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)的求法復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容1. 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；2. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則；3.

13、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 . 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念我們知道 yf ( x) 的導(dǎo)函數(shù)f ( x)仍為x 的函數(shù)，當(dāng)然可以繼續(xù)求導(dǎo)數(shù). 稱yf ( x) 的導(dǎo)數(shù)( y )( f ( x)為yf ( x)的二階導(dǎo)函數(shù)，記為y ，或f( x)、d 2 ydx 2類似的我們可以三階、四階 n 階導(dǎo)數(shù)，記為 y = ( y ) ， y (n) ( y( n 1) ) ，由此可見高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法為反復(fù)求導(dǎo)法例 1 y ax b，求 y .解 ya ， y=0.例 2證明 y2xx 2，滿足關(guān)系 y3 y 10 .證y22x=1 x，2xx22x2x 22xx 2(1x)2 2 x22xx21 2 xx212 2

14、x xy =，2xx23y3(2xx2 ) 2則 y 3 y1 0.二、 n 階求導(dǎo)公式例 3求 yex 的各階導(dǎo)數(shù)解：y (n )ex .例 4 已知 y sin x ，求 y( n) ( x) .解：ycos xsin( x)2y =sin xsin( x2)2y( n)sin( xn)同理可以推得(cos x) (n)cos( xn)22例5yln(1x) ，求y( n)(x) .解：y1x(1x) 1,y(1)(1x) 2 , y( 2)(1)(1 x) 3 1y( n)(1)n 1( n1)! (1x) n在求 n 階導(dǎo)數(shù)的過程中 . 關(guān)鍵是找規(guī)律，最后歸納到一般 .例 6 求 yx

15、u 的 n 階導(dǎo)數(shù)解： yuxu1 ， yu(u1)x u2 ， yu(u1)( u2)x u 3 ，y (n)u(u1)(u2)(un1) xun .特別地，當(dāng)un 時，(xn)( n)!n .下面我們來導(dǎo)出和、差、積的n 階導(dǎo)數(shù)公式 .1.(u v) (n )( u) ( n )( v) ( n ) .2.(uv)( n) =u( n)vnu (n1)vn(n1) u(n2) vuv(n ) .2!其中， (uv) (n) 有點特別 . 事實上，(uv)u vuv(uv)u v2u vuv(uv)u v3u v3u vuv(uv)( n ) =u(n )vnu (n1)vn(n1) u (n2) vuv(n )2!此公式稱為萊布尼茨公式 .例 7 使用萊布尼茨公式計算 yx 2 e2 x 的 20 階導(dǎo)數(shù)解：令 vx2 , ue2x，且 u( k)2k e2 x ，所以20( x2 e2x )( 20)C 20ku( 20k ) v( k) =C200 u( 20)v (0 ) +C201u(19) v +C202u( 18) vk 0=220 e2 x x2 +2 219 e2 x 2x + 2019 218 e2x 2= 220 e2 x ( x220 x 95) .2例 8試