萬有引力定律(附帶答案)

1、萬有引力定律姓名：_班級：_考號：_一、計算題1、(15分) 要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋赤道上東經75.0°到東經135.0°之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應定位在哪個經度范圍內的上空？地球半徑R0 = 6.37×106m地球表面處的重力加速度g = 9. 80m/s22、 (2011·武漢市四月調研)人們通過對月相的觀測發(fā)現(xiàn)，當月球恰好是上弦月時，如圖甲所示，人們的視線方向與太陽光照射月球的方向正好是垂直的，測出地球與太陽的連線和地球與月球的連線之間的夾角為.當月球正好是滿月時，如圖乙所示，太陽、地球、月球大

2、致在一條直線上且地球在太陽和月球之間，這時人們看到的月球和在白天看到的太陽一樣大(從物體兩端引出的光線在人眼光心處所成的夾角叫做視角，物體在視網膜上所成像的大小決定于視角)已知嫦娥飛船貼近月球表面做勻速圓周運動的周期為T，月球表面的重力加速度為g0，試估算太陽的半徑3、假設某次天文現(xiàn)象中，地球和某行星在同一軌道平面內同向繞太陽做勻速圓周運動，如圖所示，地球的軌道半徑為R，運轉周期為T。地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫做地球對該行星的觀察視角（簡稱視角）。已知該行星的最大視角為，當行星處于最大視角處時，是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時期。若某時刻該行星正處于最佳觀察期，行星

3、、地球的繞太陽的運行方向相同，如圖所示，求：（1）該行星繞太陽的運轉周期T1（2）問該行星下一次處于最佳觀察期至少需要經歷多長的時間t4、西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號丙運載火箭，成功將“天鏈一號02星”送入太空火箭飛行約26分鐘后，西安衛(wèi)星測控中心傳來的數(shù)據(jù)表明，星箭分離，衛(wèi)星成功進入地球同步轉移軌道“天鏈一號02星”是我國第二顆地球同步軌道數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星，又稱跟蹤和數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星，由中國航天科技集團公司所屬中國空間技術研究院為主研制中繼衛(wèi)星被譽為“衛(wèi)星的衛(wèi)星”，是航天器太空運行的數(shù)據(jù)“中轉站”，用于轉發(fā)地球站對中低軌道航天器的跟蹤測控信號和中繼航天器發(fā)回地面的信息的地球靜止通信衛(wèi)星(1)已知地球半

4、徑R，地球表面的重力加速度g，地球自轉周期T，萬有引力常量為G，請你求出地球的密度和“天鏈一號02星”距地面的高度？(2)某次有一個赤道地面基站發(fā)送一個無線電波信號，需要位于赤道地面基站正上方的“天鏈一號02星”把該信號轉發(fā)到同軌道的個航天器，如果航天器與“天鏈一號02星”處于同軌道最遠可通信距離的情況下，航天器接收到赤道地面基站的無線電波信號的時間是多少？(已知地球半徑為R，地球同步衛(wèi)星軌道半徑為r，無線電波的傳播速度為光速c.)5、如圖所示，在半徑為R，質量分布均勻的某星球表面，有一傾角為的 斜坡。以初速度v0向斜坡水平拋出一個小球。測得經過時間t，小球垂直落在斜坡上的C點。（不計空氣阻力

5、）求：小球落到斜坡上時的速度大小v；該星球表面附近的重力加速度g； (3) 衛(wèi)星在離星球表面為R的高空繞星球做勻速圓周運動的角速度 6、已知地球的自轉周期和半徑分別為T和R，地球同步衛(wèi)星A的圓軌道半徑為h。衛(wèi)星B沿半徑為r(rh)的圓軌道在地球赤道的正上方運行，其運行方向與地球自轉方向相同。求：衛(wèi)星B做圓周運動的周期；衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時間間隔(信號傳輸時間可忽略)。7、從地球上看太陽時，對太陽直徑的張角=0.53°，取地球表面上緯度為1°的長度l=110km，地球表面處的重力加速度g=10m/s2，地球公轉的周期T=365天。試僅用以上數(shù)據(jù)計算地

6、球和太陽密度之比。假設太陽和地球都是質量均勻分布的球體。 8、2003年10月15日，我國宇航員楊利偉乘坐我國自行研制的“神舟”五號飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功升空，這標志著我國已成為世界上第三個載人飛船上天的國家?！吧裰邸蔽逄栵w船是由長征2F運載火箭將其送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，實施變軌后，進入預定圓軌道，如圖所示。已知近地點A距地面高度為h，飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，求：   （1）飛船在近地點A的加速度為多少？    （2）飛船在預定圓軌道上飛行的速度為多少？9、我國發(fā)射的“嫦娥一號

7、”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球。設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉動的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影）。二、選擇題10、宇宙飛船以周期為T繞地球作圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經歷“日全食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為R，地

8、球質量為M，引力常量為G，地球自轉周期為T0，太陽光可看作平行光，宇航員在A點測出地球的張角為，則A飛船繞地球運動的線速度為B一天內飛船經歷“日全食”的次數(shù)為T/T0C飛船每次“日全食”過程的時間為T/(2) D飛船周期為T= 11、太陽系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道.下列4幅圖是用來描述這些行星運動所遵從的某一規(guī)律的圖像.圖中坐標系的橫軸是，縱軸是;這里T和R分別是行星繞太陽運行的周期和相應的圓軌道半徑，和分別是水星繞太陽運行的周期和相應的圓軌道半徑.下列4幅圖中正確的是三、綜合題12、 “嫦娥二號”衛(wèi)星是在繞月極地軌道上運動的，加上月球的自轉，衛(wèi)星能探測到整個

9、月球的表面。如圖（13）所示，衛(wèi)星上CD相機已對月球背面進行成像探測，并獲取了月球背面部分區(qū)域的影像圖。衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運動時距月球表面高為H，繞行的周期為TM；月球繞地公轉的周期為TE，半徑為R0。地球半徑為RE，月球半徑為RM。試解答下列問題：（1）若忽略地球及太陽引力對繞月衛(wèi)星的影響，試求月球與地球質量之比；（2）當繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直。此時探月衛(wèi)星向地球發(fā)送所拍攝的照片，此照片由探月衛(wèi)星傳送到地球最少需要多長時間？已知光速為C。13、（2013安徽望江二中月考）中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球，

10、實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：A.計時表一只；B.彈簧測力計一把；C.已知質量為m的物體一個。在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t.飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行了第二次測量，利用上述兩次測量的物理量可以推導出月球的半徑和質量(已知引力常量為G，忽略月球的自轉的影響)(1)說明機器人是如何進行第二次測量的？用相應的符號表示第二次測量的物理量，并寫出相關的物的物理關系式，(2)試用上述兩次測量的物理量和

11、已知物理量推導月球半徑和質量的表達式 14、（2013年3月湖北省黃岡市質檢）我國的“嫦娥三號”探月衛(wèi)星將實現(xiàn)“月面軟著陸”，該過程的最后階段是:著陸器離月面h高時速度減小為零,為防止發(fā)動機將月面上的塵埃吹起,此時要關掉所有的發(fā)動機，讓著陸器自由下落著陸。己知地球質量是月球質量的81倍,地球半徑是月球半徑的4倍， 地球半徑R0=6.4×106m，地球表面的重力加速度g0=10m/s2，不計月球自轉的影響(結 果保留兩位有效數(shù)字).(1)若題中h=3.2m，求著陸器落到月面時的速度大??；(2)由于引力的作用，月球引力范圍內的物體具有引力勢能。理論證明，若取離月心無窮遠處為引力勢能的零勢

12、點，距離月心為r的物體的引力勢能，式中G為萬有引力常數(shù)，M為月球的質量，m為物體的質量。求著陸器僅依靠慣性從月球表面脫離月球引 力范圍所需的最小速度。 15、宇航員在月球表面完成下面的實驗：在一固定的豎直光滑圓軌道內部最低點靜止一個質量為m的小球(可視為質點)，如圖所示.當給小球一瞬間的速度v時，剛好能使小球在豎直平面內做完整的圓周運動，已知圓弧的軌道半徑為r，月球的半徑為R1，引力常量為G.求：(1)若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，所需最小發(fā)射速度為多大？(2)軌道半徑為2R1的環(huán)月衛(wèi)星周期為多大？ 16、一球形人造衛(wèi)星，其最大橫截面積為A、質量為m，在軌道半徑為R的高空繞地球做圓

13、周運動。由于受到稀薄空氣阻力的作用，導致衛(wèi)星運行的軌道半徑逐漸變小。衛(wèi)星在繞地球運轉很多圈之后，其軌道的高度下降了H，由于H <<R，所以可以將衛(wèi)星繞地球運動的每一圈均視為勻速圓周運動。設地球可看成質量為M的均勻球體，萬有引力常量為G。取無窮遠處為零勢能點，當衛(wèi)星的運行軌道半徑為r時，衛(wèi)星與地球組成的系統(tǒng)具有的勢能可表示為。（1）求人造衛(wèi)星在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動的周期；（2）某同學為估算稀薄空氣對衛(wèi)星的阻力大小，做出了如下假設：衛(wèi)星運行軌道范圍內稀薄空氣的密度為，且為恒量；稀薄空氣可看成是由彼此不發(fā)生相互作用的顆粒組成的，所有的顆粒原來都靜止，它們與人造衛(wèi)星在很短時間

14、內發(fā)生碰撞后都具有與衛(wèi)星相同的速度，在與這些顆粒碰撞的前后，衛(wèi)星的速度可認為保持不變。在滿足上述假設的條件下，請推導：估算空氣顆粒對衛(wèi)星在半徑為R軌道上運行時，所受阻力F大小的表達式； 估算人造衛(wèi)星由半徑為R的軌道降低到半徑為R-H的軌道的過程中，衛(wèi)星繞地球運動圈數(shù)n的表達式。17、萬有引力定律揭示了天體運動規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內在的一致性。 （1）用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為M，自轉周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F0

15、a. 若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F1，求比值  的表達式，并就h=1.0%R的情形算出具體數(shù)值（計算結果保留兩位有效數(shù)字）；b. 若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F2，求比值  的表達式。（2）設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑為r、太陽的半徑為Rs和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現(xiàn)實地球的1年為標準，計算“設想地球”的一年將變?yōu)槎嚅L？18、（2012年3月福建福州質檢）在福建省科技館中，有一個模擬萬有引力的裝置。在如圖1所示的類似錐形漏斗固定的容器中，有兩個小球在該容器表面上繞漏斗中心軸

16、做水平圓周運動，其運行能形象地模擬了太陽系中星球圍繞太陽的運行。圖2為示意圖，圖3為其模擬的太陽系運行圖。圖2中離中心軸的距離相當于行星離太陽的距離。（1）在圖3中，設行星A1和B2離太陽距離分別為r1和r2，求A1和B2運行速度大小之比。（2）在圖2中，若質量為m的A球速度大小為v，在距離中心軸為x1的軌道面上旋轉，由于受到微小的摩擦阻力，A球繞軸旋轉同時緩慢落向漏斗中心。當其運動到距離中心軸為x2的軌道面時，兩軌道面之間的高度差為H。求此過程中A球克服摩擦阻力所做的功。19、 (2011·武漢市四月調研)人們通過對月相的觀測發(fā)現(xiàn)，當月球恰好是上弦月時，如圖甲所示，人們的

17、視線方向與太陽光照射月球的方向正好是垂直的，測出地球與太陽的連線和地球與月球的連線之間的夾角為.當月球正好是滿月時，如圖乙所示，太陽、地球、月球大致在一條直線上且地球在太陽和月球之間，這時人們看到的月球和在白天看到的太陽一樣大(從物體兩端引出的光線在人眼光心處所成的夾角叫做視角，物體在視網膜上所成像的大小決定于視角)已知嫦娥飛船貼近月球表面做勻速圓周運動的周期為T，月球表面的重力加速度為g0，試估算太陽的半徑四、多項選擇20、地球同步衛(wèi)星離地心的距離為r，運行速度為v1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則以下正確的是A. &#

18、160;          B.         C.            D.21、假定地球、月球都靜止不動，用火箭從地球沿地月連線發(fā)射一探測器。假定探測器地地球表面附近脫離火箭。用W表示探測器從脫離火箭處到月球的過程中克服地球引力做的功，用Ek表示探測器脫離火箭時的動能，若不計空氣阻力，則A. Ek必須

19、大于或等于W，探測器才能到達月球B. Ek小于W，探測器也可能到達月球 C. EkW，探測器一定能到達月球D. EkW，探測器一定不能到達月球參考答案一、計算題1、如圖所示，圓為地球赤道，S為衛(wèi)星所在處，用R表示衛(wèi)星運動軌道的半徑由萬有引力定律、牛頓運動定律和衛(wèi)星周期T（亦即地球自轉周期）可得                                     &

20、#160;      (1)式中M為地球質量，G為引力常量，m為衛(wèi)星質量另有       (2)由圖可知       (3)由以上各式，可解得       (4)取T = 23小時56分4秒（或近似取T = 24小時），代入數(shù)值，可得       （5）由此可知，衛(wèi)星的定位范圍在東經到之間的上空2、解析設太陽半徑為R日、月球半徑為R月，地月、地日之間的距離分別為r地月、r地日質量為m的物

21、體在月球表面受到的重力mg0質量為m的嫦娥飛船貼近月球表面運動，有m()R月在觀察上弦月時，由幾何關系cos當月球正好是滿月時，月球和太陽看起來一樣大，由幾何關系由于天體之間的距離遠大于天體的半徑，故即聯(lián)立解得R日答案3、解：(1)設行星的運行半徑為r，由幾何可得： 2分由開普勒第三第定律：2分或：由解得：2分(2) 當再次處于最佳觀察期時，如圖所示，行星運動轉過的角度與地球運動轉過的角度差為（）。 2分則有：  2分1分1分聯(lián)立解得：2分 4、 (1)地面附近重力等于萬有引力：mg密度公式：V體R3得：同步衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，故：m2r衛(wèi)星的高度：hr

22、R得：h R.(2)“天鏈一號02星”與同軌道的航天器的運行軌道都是同步衛(wèi)星軌道，所以“天鏈一號02星”與同軌道的航天器繞地球運轉的半徑為r，“天鏈一號02星”與航天器之間的最遠時的示意圖如圖所示無線電波從發(fā)射到被航天器接收需要分兩步首先赤道地面基站A發(fā)射的信號被中繼衛(wèi)星B接收，然后中繼衛(wèi)星B再把信號傳遞到同軌道的航天器C.由幾何知識可知：“天鏈一號02星”與航天器之間的最遠距離：s12無線電波信號經過的總路程s2rRsct得：t.答案：(1)R(2)5、 6、7、8、設地球質量為M，飛船質量為m，則飛船在A點受到地球的引力   對地面上質量為m0的物體 

23、0;  據(jù)牛頓第二定律可知萬有引力提供向心力Fman           ）聯(lián)立解得飛船在近地點A的加速度飛船在預定圓軌道上飛行的周期                   設預定圓軌道半徑為r，由牛頓第二定律有       而   

24、;   聯(lián)立解得飛行速度9、如圖，O和O分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心級OO與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點，根據(jù)對稱性，過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點。衛(wèi)星在上運動時發(fā)出的信號被遮擋。設探月衛(wèi)星的質量為m0,萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有                   

25、;                                  式中，T1是探月衛(wèi)星繞月球轉動的周期。由式得              

26、;                設衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，應有                             

27、;      式中，=COA，=COB。由幾何關系得                                          &#

28、160;                      由式得  二、選擇題10、ACD 11、   三、綜合題12、解：（10分）.（1）由牛頓第二定律得萬有引力定律公式為：   月球繞地公轉時由萬有引力提供向心力，故     （2分）同理，探月衛(wèi)星繞月運動時有：（2分）由兩式聯(lián)立解得：（2分）（2）

29、設探月極地軌道上衛(wèi)星到地心的距離為L0，則衛(wèi)星到地面的最短距離為，由幾何知識得：（2分）故將照片發(fā)回地面的時間（2分）13、飛船靠近月球表面繞月球運 行時，近似認為其軌道半徑為月球的半徑R，有   （2分）又T  （1分） 解得月球的半徑.                    （2分）      月球的質量.

30、60;                  （2分）14、15、解析：（1）設月球表面的重力加速度為g1，小球在最高點的速度為v1,小球從最低點到最高點的過程中機械能守恒,有1/2mv2=1/2mv12+mg1·2r2 分小球剛好做完整的圓周運動，在最高點有mg1=mv12/r2 分由以上兩式可得g1=v2/5r1 分若在月球表面發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則重力必須提供向心力，則有mg1=mv22/R11 分故最小發(fā)

31、射速度v2= =v.1 分(2)若衛(wèi)星在半徑為2R1的軌道上，GMm/(2R1)2=m·2R42/T22 分其中g1=GM/R2=v2/5r Ks5u由以上幾式可得T=4/v. 2 分16、解：（1）設衛(wèi)星在R軌道運行的周期為T，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：（2分）解得：（1分）（2）如圖所示，最大橫截面積為A的衛(wèi)星，經過時間從圖中的實線位置運動到了圖中的虛線位置，該空間區(qū)域的稀薄空氣顆粒的質量為（1分）以這部分稀薄空氣顆粒為研究對象，碰撞后它們都獲得了速度v，設飛船給這部分稀薄空氣顆粒的平均作用力大小為F，根據(jù)動量定理有：（1分）根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：，解得： 根據(jù)牛頓第三定律，衛(wèi)星所受的阻力大小F=。（1分