相似三角形與圓的綜合題

1、相似三角形與圓的綜合考題1、已知：如圖，AB是。的直徑，E是AB延長線上一點(diǎn)，過 E作。的 切線ED,切點(diǎn)為C, ADL ED交ED于點(diǎn)D,交。于點(diǎn)F, CGL AB交AB于 點(diǎn)G.求證：BG?AGDF?DA2、已知：如圖，AB為。的直徑，AB± AC BC交。于D, E是AC的 中點(diǎn)，ED與AB的延長線相交 于點(diǎn)F.(1)求證：DE為。的切線.(2)求證：AB AOBF: DF.第9頁共25頁3、(南通)已知：如圖，AB是。的直徑，AB=AC, BC交。于點(diǎn)D, DU AG E為垂足.(1)求證：/ADE=/B;(2)過點(diǎn)。作OF/ AD與ED的延長線相交 于點(diǎn)F,求證：FD?DA

2、=FC?DE.4、如圖，AB為。的直徑，BF切。于點(diǎn)B, AF交。O于點(diǎn)D,點(diǎn)C在DF上,BC交。于點(diǎn) E,且/ BAF=2/CBF, GGL BF于點(diǎn) G,連接 AE.(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證：BC6AAGE若/ F=60° , GF=1 ,求。的半徑長.5、如圖，AR AC分另1J是。的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦D已AB分別交。于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延長線上一點(diǎn)且 PC=PF.(1)求證：PC是。的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使 AD=DE?DF,為什么？ 在(2)的條件下，若 OH=1, AH=2,求弦AC的長.6、

3、如圖，AB AC分別是。的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEL AB分別交。于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延長線上一點(diǎn)且 PC=PF.(1)求證：PC是。的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使 AD=DE?DF,為什么? 在(2)的條件下，若 OH=1, AH=2,求弦AC的長.7、如是。的直徑，CB C皿別切。于B D兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長線上，且 CE=AE+BC(1)求證：AE是。的切線；(2)過點(diǎn)D作DF，AB于點(diǎn)F,連接BE交DF于點(diǎn)M 求證：DM=MF8、已知：如圖， AB是。的直徑，D是。上一點(diǎn)，連結(jié) BD并延長，使 CD=BD連結(jié)AG過點(diǎn)D作DELAC,垂

4、足是點(diǎn) E.過點(diǎn)B作BEX AB,交ED延長線于點(diǎn) F,連結(jié)OF。求證：(1)EF是。的切線；C產(chǎn)(2) OBM DEC；AB9、如圖，已知 AB是。的直徑，C是。上一點(diǎn)，ODL BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作。O 切線，交OD勺延長線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.求證：BE與。O相切；(2)連結(jié)AD并延長交BE于點(diǎn)F,若OB= 6,且sin / ABC= 2 ,求BF的長.310、如圖，AB是。的直徑，AC是弦，/ BAC的平分線 AD交。于點(diǎn)D, DE，AC交AC的延長線于點(diǎn) E, OE交AD于點(diǎn) F。求證：DE是。的切線；小、什AC 4 _ AF鉆/擊(2)若求的值；AB 5 DF 在(2)的條件下，若。O直

5、徑為10,求 EFD的面積.D作DEI AC 垂足為 E,延長 AB ED交11、已知：如圖，在 RtABC中，/ A=90° ,以AB為直徑作。O, BC交。O于點(diǎn)D, E是邊AC的中點(diǎn)，EDAB的延長線相交于點(diǎn) F.求證：(1)DE為。的切線.(2)AB ?DF=AGBF.12、如圖，以 ABC的邊AB為直徑的。O與邊BC交于點(diǎn)D,過點(diǎn)于點(diǎn)F, AD平分/ BAC(1)求證：EF是。O的切線；(2)若AE=3 AB=4,求圖中陰影部分的面積.Ad ,弦CD交AB于E, BF± l ,垂足為F, BF13、知AB是。的直徑，直線l與。相切于點(diǎn)C且AC交。于G求證：CE2=

6、FG-FB;(2)若 tan / CBF=1, AE=3,求O。的直徑。214.如圖，圓內(nèi)接四邊形 ABCD勺對角線AC平分/ BCD BD交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作圓的切線 AE交CB的延長線于E.求證： AE/ BD; AD2 = DF AE15、已知：DABCD過點(diǎn)D作直線交 AC于E,交BC于F,交AB的延長線于 G經(jīng)過B、G F三點(diǎn)作。O,過E作。O的切線ET, T為切點(diǎn).求證：ET = ED16、如圖， ABC中，AB = AC, O是BC上一點(diǎn)，以 O為圓心，OB長為半徑的圓與 AC相切于點(diǎn)A,過點(diǎn)C作CDL BA垂足為D.求證：(1)/DAC = 2/B;(2) CA 2 = CD

7、 CO相似三角形與圓的綜合考題（教師版）1、已知：如圖，AB是。的直徑，E是AB延長線上一點(diǎn)，過 E作。O的切線ED,切點(diǎn)為 C, AD± ED交ED于點(diǎn)D,交。O于點(diǎn)F, CGLAB交AB于點(diǎn)G.求證：BG?AGDF?DA證明：連接BC, FG CO 過E作。0的切線ED, / DCF4 CAD/ D=Z D, . CDM ADC8 DFAD = CD ,cD=adx df, . CGL AB, AB 為直徑， / BCA4 AGC之 BGC=90 , / GBC+ BCG=90 , / BCG+ GCA=90 , ./ GBC=ACG . BGS ACGA，黑=黑，C&B

8、G< AG 過 E 作。0 的切線 ED,OCL DE,AD± DE, CO/ AD Z OCAh CAD AO=CO Z OACh OCA .Z OAC= CAD在 AG麗 ADC中， PzCCA=zD( zCAC-DACLacac . AGC ADC (AAS,CG=CD BGX AG=ADC DF.2、已知：如圖，AB為。的直徑，AB± AG BC交。于D, E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長線相交 于點(diǎn)F.(1)求證：DE為。的切線.(2)求證：AB AOBF: DF.證明：(】 ) 連結(jié)口鞏DA ,. CE= EA t :.DE=EA , AZ1=4 r -O

9、I>=C)A t.Z2=z3,.ZJ + z3=9Q1f r ，2 14/ 2 =9。° 即：/EDO.我。， :0口是斗轉(zhuǎn)."E為G門的切線；(2 ) , z3+zZ?SH = 90a ,+/4 = BIF .AZ4=ZMj4 ,.2： CDA=BDA =9f)° ,一二4BZ> 一AD-BZ)' AC-TD rFDB + Bm=f)np , 4。60+-3=9?？?又. 00=0日,.2800工士DRC.工3 = mFZ)E t-上F=eF r.-FADFDB .,BD _BFTO -OF '.AF3.BF7lt-d7 ,即7以：,

10、4C=P： DF.一3、(南通)已知：如圖，AB是。的直徑，AB=AC, BC交。于點(diǎn)D, DEI AC E為垂足.(1)求證：/ADE=/B;(2)過點(diǎn)。作OF/ AD與ED的延長線相交 于點(diǎn)F,求證：FD?DA=FC?DE.解：(1)方法一：證明：連接CD OA=OD/ OAD= ODA.AB是。O的直徑，/ ADB=90 ,即 ADL BC.又 AB=AC AD平分/ BAC 即/ OAD= CAD/ ODA= DAE之 OAD / ADE吆 DAE=90 , ./ADE4Z ODA=90 ,即/ ODE=90 , ODL DE.OD>O O的半徑，EF是。O的切線. ./ ADE

11、M B.方法二：.AB是。O的直徑， ./ ADB=90 ,又 DEL AC,/ DEA=90 , / ADB4 DEA. ABC 中，AB=AC AD± BC AD 平分/ BAC 即 / DAE4 BAD.DA BAD / ADE4B.(2)證明：.OF/ AD, ./ F=Z ADE又. / DEAh FDO(已證), . FDS DEAFD: DE=FO DA 即 FD?DA=FODE.點(diǎn)評：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）題乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得以證明.4、如圖，AB為。O的直徑，BF切。O

12、于點(diǎn)B, AF交。O于點(diǎn)D,點(diǎn)C在DF上,BC交。O于點(diǎn) E,且/ BAF=2/CBF, CGL BF于點(diǎn) G,連接 AE.第11頁共25頁(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證：BC6 AACE若/ F=60° , GF=1 ,求。O的半徑長.解：(1)如圖1,AB是。O的直徑，/ AEB=90 .AE± BC.(2)如圖1 , BF與。O相切, / ABF=90 ./ CBF=90 - / ABE之 BAE / BAF=2Z CBF./ BAF=2Z BAE .Z BAE土 CAE / CBF土 CAE CGL BF, AE± BC, ，/CGB= A

13、EC=90 . / CBF土 CAE / CGB= AEC.BC6 AACE(3)連接BD,如圖2所示. / DAE4 DBE / DAE4 CBF / DBE4 CBF.AB是。O的直徑，/ ADB=90 .BD± AF. /DBCh CBF, BDL AF, CGL BF, CD=CG / F=60° , GF=1, / CGF=90 , CC1. tan / F= EF =CG=tan60 =V cgV§",cda/3-. / AFB=60 , / ABF=90 , / BAF=30 . / ADB=90 , / BAF=30 ,AB=2BD /

14、BAE土 CAE / AEB之 AEG / ABE土 ACEAB=AC設(shè)。的半徑為r,則AC=AB=2r BD=r. / ADB=90 , . . AD“Tr . . DC=AC-AD=2rTr= (2-V3) r=UT.r=2 V§"+3.OO的半徑長為2V唱+3.解析：(1)由AB為。的直徑即可得到 AE與BC垂直.(2)易證/ CBFW BAE,再結(jié)合條件/ BAF=2Z CBF就可證到/ CBFW CAE易證/ CGB= AEC從而證到 BCN AGE(3)由/ F=60° , GF=1可求出 CG=/3 ；連接 BD,容易證到/ DBCh CBF,根據(jù)角

15、平分線的性質(zhì)可得 DC=CGV3 ；設(shè)圓 O 的半徑為 r,易證 AC=AB / BAD=30 ,從而得至U AC=2r, AD/r ,由 DC=AC-AD 可求出。O的半徑長.5、如圖，AB AC分別是。O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEL AB分別交。于E,交AB于H, 交AC于F. P是ED延長線上一點(diǎn)且 PGPF.(1)求證：PC是。的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使 A6=DE?DF,為什么？ 在(2)的條件下，若 OH=1, AH=2,求弦AC的長.分析：(1)連接OC證明/ OCP=90即可.(2)乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出(3

16、)可以先根據(jù)勾股定理求出DH,再通過證明 OG第AOHD得出AC=2AG=2DH求出弦AC的長.解答：(1)證明：連接OCPC=PF OA=OC第13頁共25頁 / PCA4 PFG / OCAh OAC /PFC土 AFH, D吐 AB,/ AHF=90 , / PCOh PCA-+Z ACOW AFH-+Z FAH=90 ,PC是。O的切線.(2)解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時，才能使 A6=DE?DF,理由如下:連接AE.點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， / DAF土 DEA / ADE4 ADE . DAD DEA .AD ED=FD AD,AE2=DE?DF.(3)解：連接O眩AC于G. OH

17、=1 AH=2 .OA=3 即可得 OD=3DhJ?=2 切 點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， .Ad DO / OGAW OHD=90 ,在 OG喇 AOHD43,OGA-OHDZDOA- ZAODa=OD . OGA AOHD (AAS,AG=DHAC=f.點(diǎn)評：本題考查了切線的判定. 要證某線是圓的切線， 已知此線過圓上某點(diǎn)， 連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑） 再證垂直即可.同時考查了相似三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì).6、如圖，AB AC分別是。O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEL AB分別交。于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延長線上一點(diǎn)且 PGPF.(1)求證：PC是。的切線;2(

18、2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使 AD=DE?DF,為什么? 在(2)的條件下，若 OH=1, AH=2,求弦AC的長.(1)證明：連接OC PC=PF OA=OC / PCA4 PFG / OCAh OAC. Z PFC=/ AFH, DEL AB,/ AHF=90 , / PCOh PCA-+Z ACOW AFH-+Z FAH=90 ,PC是。O的切線.(2)解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時，才能使 A6=DE?DF,理由如下:連接AE.點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置,/ DAF=/ DEA / ADE4 ADE . DAD DEA .AD ED=FD AD,AE2=DE?DF.(3)解：連接O眩

19、AC于G. OH=1 AH=2，OA=3即可得OD=3dhVOD2-OH=V&=2/2點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， .AC，DO/ OGA= OHD=90 ,在 OG喇 AOHD43,(1)連接OC證明/ OCP=90即可.(2)乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出.(3)可以先根據(jù)勾股定理求出DH,再通過證明 OG第OHD得出AC=2AG=2DH求出弦AC的長。7、如圖，AB是。的直徑，CB CD分另I切。O于B、D兩點(diǎn)，點(diǎn) E在CD的延長線上，且 CE=AE+BC(1)求證：AE是。O的切線；(2)過點(diǎn)D作DF，AB于點(diǎn)F,連接BE交DF于點(diǎn)M 求證：DM=MF證

20、明：(1)連接OD OE CB CM別切。O于B、D兩點(diǎn)，/ ODE=90 , CD=CE CE=AE+BC CE=CD+DEAE=DEOD=OA OE=OE . ODE AOAE (SSS, / OAEh ODE=90 , OAL AE, . AE是。O的切線；DF± AB, AE1 AB, BCL AB,AE/ DF/ BC, . BMM BEAMF BFAE ; BA ,CD BF CE CE = M = CE ,MF CBAE - CEEDW ECRCE DMCE _ DE ,MF DM"A= DE ,DM=M F解析：(1)首先連接 OD OE由CB CD分別切。

21、O于日D兩點(diǎn)，即可得/ ODE=90 , CD=CE又由CE=AE+BCCE=CD+DE即可證得 AE=DE則可得 OD監(jiān) OAE即可證得 AE是。的切線；(2)首先易證得 AE/ DF/ BC,然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可求得DM=MF8、已知：如圖， AB是。的直徑，D是。上一點(diǎn)，連結(jié) BD并延長，使 CD=BD連結(jié)AG過點(diǎn)D作DELAC,垂足是點(diǎn) E.過點(diǎn)B作BEX AB,交ED延長線于點(diǎn) F,連結(jié)OF。求證：(1)EF是。O的切線；(2) OBM DEC證明：(1)連結(jié)ODAB是。O的直徑，OA=OB又 CD=BDOD/ AC, DEL AC,/ D

22、EC=90 , / ODE=90 ,點(diǎn)D是。O上一點(diǎn),EF是。O的切線。(2) - BF± AB, AB是。的直徑，BF是。O的切線，EF是。O的切線，/ BFO=Z DFO FB=FDOF! BD,. / FDB=Z CDE / OFDW C,/ C=Z OFB又 / CEDW FBO=90 , . OBS DEC9、如圖，已知 AB是。的直徑，C是。上一點(diǎn)，ODL BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作。O切線，交OD勺延長線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.(1)求證：BE與。O相切;(2)連結(jié)AD并延長交BE于點(diǎn)F,若OB= 6,且sin / ABC= 2 ,求BF的長.3解：(1)連結(jié) CO .ODL BC

23、 / 1 = 7 2,再由 CO= OB OE公共， . OCE AOBE (SAS ) ./ OCE= / OBE又 CE是切線，/ OCE= 90° ,OBE= 90°BE與。O相切(2)備用圖中，作 DHL OW H, H為垂足,2.在 RtAODE, OB= 6,且 sin Z ABC= - ,OD= 4,4 .5 八同理RtAODH RtAODIBDH= i , OH=3又 RtAABF RtAAHtDFB ： DH= AB： AH,4唬工12 24芯FB= 3=。8136+ 一3考點(diǎn)：切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質(zhì)及判定。點(diǎn)評：熟知以上定義性質(zhì)，根據(jù)已

24、知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中 檔題。10、如圖，AB是。的直徑，AC是弦，/ BAC的平分線 AD交。O于點(diǎn)D, ，AC交AC的延長線于點(diǎn) E, OE交AD于點(diǎn) F。(1)求證：DE是。O的切線；AC 4 AF _DE(2)若3 5 ,求次的值；第21頁共25頁 在(2)的條件下，若。O直徑為10,求 EFD的面積.試題分析：(1)連接OD根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質(zhì)可得/CADW ODA推出OD/ AC,根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；(2)先由(1)得OD AE,再結(jié)合平行線分線段成比例定理即可得到答案；(3)根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合圓的基本性質(zhì)

25、求解即可(1)連接OD因?yàn)?OA =" OD"所以/ OAD = / ODA又已知/ OAD = / DAE可得/ ODA = / DAE ,所以 OD| AC ,又已知DEL AC可得DE! OD所以DE是。的切線；8-4-6J 里AE而8 = =AFDFAEAE(2)由(1)得 OD/ AE,第29頁共25頁"00 51 映DF一虧135(3) 28考點(diǎn)：圓的綜合題點(diǎn)評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大11、已知：如圖，在 RtABC中，/ A=90° ,以AB為直徑作。Q BC交。于點(diǎn)D, E是邊AC

26、的中點(diǎn), OD=OA/ 2=Z 3,.AB是。O的直徑，/ BDA=90 ,/ CDA=90 .又 E是邊AC的中點(diǎn)，1八d DE=AE=_AC,2/ 1 = 7 4,4+Z 3=7 1 + /2=90° ,即。.又 AB是。O的直徑，DE為。O的切線；(2)如圖，AB±AC, AD±BC,./ 3=/C (同角的余角相等).又 / ADBh CDA=90 ,.AB3 ACAtDAB BDAC AD易證 FAD FDB,BD BF 一 一，AD DFAB BF 一 一，AC DFAB?DF=ACBF.解析：(1)連接 OD AD,求出 CDA士 BDA=90，點(diǎn)

27、E 為 AC中點(diǎn)，求出/ 1=/4, /2=/3,推出/ 4+/3=/1 +7 2=90° ,根據(jù)切線的判定即可；一 ABBDBD BF AB BF(2)證 AB3ACAtD推出啟,再證 FAA FDB,推出盆 方，得益 而，即可得出 AB?DF=AGBF.12、如圖，以 ABC的邊AB為直徑的。O與邊BC交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE!AC垂足為 E,延長AB ED交F, AD平分/ BAC 求證：EF是。O的切線;(2)若AE=3 AB=4,求圖中陰影部分的面積.解：(1)連接OD OA=OD / OADh ODA. AD平分/ BAG.Z OAD= CAD/ ODA= CADOD/ A

28、C, DEI AC, / ODFh DEA=90 ,。加半徑,EF是。O的切線.(2) .AB 為。的直徑，DEL AC, / BDA4 DEA=90 , / BAD4 CAD . BAN DAEABAD4即ADADAEAD3AD=2/3,.cos/bad段也國 AB 42 '/ BAD=30 , / BOD=2 BAD=60 ,1BD= AB=22 S>A BO= S>A AB聲X - X 2V" X 2=V3",.Q _6022 Q 2 S陰影一S扇形BO-O ABOD- V33603解析:(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出/OADW ODA

29、h DAE推出OD/ AC,推出ODL EF,根據(jù)切線的判定推出即可；(2)證 BA3 4DAE求出 AD長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出/BAD=30 ,求出/ BOD=60和求出BD=2=OB=OD求出扇形 BODF口 BOD勺面積，相減即可.13、知AB是。的直徑，直線l與。相切于點(diǎn)C且AOAD,弦CD交AB于E, BF± l ,垂足為F, BF交。于 Go(1)求證：cE=FG- FB;(2)若 tan / CBF=1, AE=3,求O O 的直徑。2解：(1)證明：連結(jié)AC,. AB為直徑，/ ACB=90 ,.AOAB,且ab是直徑，AB± CD即 CE是ABC的高,/ A=Z ECB / ACE4 EBC.CE是。O的切線， / FCB土 A, CP=FG FB, / FCB土 ECB / BFC土 CEB=90 , CB=CB . BC陣 BCECE=CF / FBC玄 CBE.C=FG fb； / CBF4 CBE / CBE4 ACE / ACE4 CBF,1 AEtan / CBF=tan/ACE =,2 CEAE=3, CE=6)CE 2在RtABC中,CE是高,