函數(shù)與極限重點(diǎn)知識(shí)歸納.

1、常量與變量變量的定義我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)， 常常會(huì)遇到各種不同的量， 其中有的量在過程中不起變化我們把其稱之為 常量 ；有的量在過程中是變化的， 也就是可以取不同的數(shù)值， 我們則把其稱之為變量 。,注： 在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間 來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間 是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示稱閉區(qū)間axba ， b開區(qū)間a x b（ a， b）半開區(qū)間axb 或 ax b（ a，b 或 a ， b）以上我

2、們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：a ，+) ：表示不小于a 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：ax+；(-， b) ：表示小于b 的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：- x b；(-， +) ：表示全體實(shí)數(shù)R，也可記為：- x+注： 其中 - 和 +，分別讀作" 負(fù)無窮大 " 和 " 正無窮大 ", 它們不是數(shù) , 僅僅是記號(hào)。鄰域設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)， 且 0. 滿足不等式x - 的實(shí)數(shù) x 的全體稱為點(diǎn) 的 鄰域，點(diǎn) 稱為此鄰域的中心， 稱為此鄰域的半徑。函 數(shù)函數(shù)的定義如果當(dāng)變量與它對(duì)應(yīng)，則稱x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y 是 x 的函數(shù) 。 變

3、量 x 的變化范圍叫做這個(gè)y 按照一定的法則總有確定的數(shù)值函數(shù)的定義域。通常x 叫做 自變量 ，y 叫做 因變量 。表示注：為了表明y 是 x 的函數(shù)， 我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x) 等等來表示 . 這里的字母y 與 x 之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系 , 它們是可以任意采用不同的字母來表示的."f"、"F"注： 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做 單值函數(shù) ，否則叫做 多值函數(shù) 。這里我們只討論單值函數(shù)。函數(shù)的有界性如果對(duì)屬于某一區(qū)間 I 的所有 x 值總有 f(x) M 成立，其中 M是一個(gè)與 x 無

4、關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱 f(x) 在區(qū)間 I 有界，否則便稱無界。注意： 一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題： 函數(shù) cosx 在 (- ,+ ) 內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)隨著 x 增大而增大，即：對(duì)于(a,b) 內(nèi)任意兩點(diǎn) x及 x ，當(dāng) x112x 2 時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是 單調(diào)增加 的。如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)隨著 x 增大而減小，即：對(duì)于(a,b) 內(nèi)任意兩點(diǎn)x 1 及 x 2，當(dāng)x1 x2 時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是 單調(diào)減小 的。例題： 函數(shù)=x 2 在區(qū)間 (- ,0) 上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0

5、,+ ) 上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。注意： 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l ，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x 值都成立，則叫做 周期函數(shù) ， l 是的周期。注： 我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)是以 2 為周期的周期函數(shù)；函數(shù) tgx 是以 為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)反函數(shù)的定義設(shè)有函數(shù)，若變量y 在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y 0 時(shí)，變量x 在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0 與之對(duì)應(yīng)，即，那末變量x 是變量y

6、的函數(shù) .這個(gè)函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù) .注： 由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理若在 (a ， b) 上嚴(yán)格增 ( 減 ) ，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R 上確定，且嚴(yán)格增 ( 減).注：嚴(yán)格增 ( 減) 即是單調(diào)增 ( 減)例題：y=x2 ，其定義域?yàn)?- ,+ ) ，值域?yàn)?0,+ ). 對(duì)于y 取定的非負(fù)值, 可求得x=±.若我們不加條件，由y 的值就不能唯一確定x 的值，也就是在區(qū)間(- ,+ ) 上，函數(shù)不是嚴(yán)格增( 減 ) ，故其 沒有反函數(shù) 。如果我們加上條件，要求x0，則對(duì)y0、 x=就是 y=x 2 在要求x0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此

7、要求下嚴(yán)格增( 減 ).反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x 對(duì)稱的。例題： 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x 對(duì)稱的。如右圖所示：復(fù)合函數(shù)的定義若 y 是 u 的函數(shù)：，而 u 又是 x 的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y 通過 u 的聯(lián)系也是x 的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u 叫做中間變量。注： 并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題： 函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。因?yàn)閷?duì)于的定義域 (- ,+ ) 中的任何x 值所對(duì)應(yīng)的u 值（都大于或等于2

8、），使都沒有定義。初等函數(shù)函數(shù)函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)名稱指a): 不論 x 為何值 ,y總數(shù)為正數(shù) ;函b): 當(dāng) x=0 時(shí) ,y=1.數(shù)a): 其圖形總位于 y 軸對(duì)右側(cè) , 并過 (1,0) 點(diǎn)數(shù)b): 當(dāng) a 1 時(shí) , 在區(qū)間函(0,1) 的值為負(fù)；在區(qū)間數(shù)(- ,+ ) 的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增 .令 a=m/na): 當(dāng) m為偶數(shù) n 為奇冪數(shù)時(shí) ,y 是偶函數(shù) ;函a 為任意實(shí)數(shù)b): 當(dāng) m,n 都是奇數(shù)數(shù)時(shí) ,y 是奇函數(shù) ;這里只畫出部分函數(shù)圖形c): 當(dāng) m奇 n 偶時(shí) ,y在的一部分。(- ,0) 無意義 .三角( 正弦函數(shù) )函這里只寫出了正弦函數(shù)數(shù)反三( 反正弦函角數(shù) )函這里只寫出了反正弦函數(shù)數(shù)a): 正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)b): 正弦函數(shù)