一元函數(shù)微分學綜合練習題(1)

1、.第二章 綜合練習題一、填空題x21，則 b _.1. 若 limx b 1x x 12.若當 x0時，1cosx 與 a sin2 x 是等價無窮小，則 a_.123.函數(shù) f ( x)的連續(xù)區(qū)間為 _.ln x124.函數(shù) f ( x)x 2的無窮間斷點為 _.ln | x1|5.若 f ( x)xsin 1 ,x0,在 R 上連續(xù)，則 a _.xax2 ,x ,0,6.函數(shù) f ( x)x_.在 R 上的第一類間斷點為sin x17 當 x時， e1 x 是無窮小量x21,1x08 設 f ( x)x,0x1 ， f ( x) 在處間斷2x,1x29 當 x0 時， arctanx 是

2、x 的階無窮小量10 極限 lim3x25sin 2x5x3x二、選擇題n 1,為奇數(shù) ,n1.設數(shù)列 un1則當 n時， un 是（）為偶數(shù) ,nn 1A. 無界變量 B. 無窮大量 C. 有界變量 D. 無窮小量2.函數(shù) f ( x) 在 x0 連續(xù)是函數(shù)在x0 處存在極限的（）A.充分條件但不是必要條件B. 必要條件但不是充分條件C. 充要條件D. 既不是充分條件也不是必要條件3.lim sin( x) sin的值是 （）x 0xA.sinB. cosC. 1D. 極限不存在;.4. limn的值是（）2nn1nA.1B. 0C.1D. 因為當 n時，分母為0，因此極限不存在25.下列極

3、限正確的是（）sin 1sin 1D. lim x sin 1A.limx1B. limx 1 C. lim x sin 110x 01x1x0xxxxx6.設函數(shù)在點處連續(xù)，則下列陳述中不正確的是（）A. f ( x) 在點 x0 處有定義 B. f ( x) 在點 x0 處的左極限存在C.f ( x) 在點 x0 處可導D. f ( x) 在點 x0處的值與 limf ( x) 相等x x0三、計算題1. 求下列極限：（1） lim( n21 n21)n1 sin 2x（ 2） limx 1 cos4x4（3） limx1cos xx0nx1 1（4） limxx0（ 5） lim xx

4、1x 11x sin x 1（6） limx2x 0e 1(ab)xb,x1;2.設 f ( x)3x1 x1處連續(xù)。3，求 a,b ，使 f (x) 在 x4,x13.求 k ，使 xxx與 xk為當 x0 時的等價無窮小。x求函數(shù) f ( x)(1tan( x4) 內(nèi)的間斷點，并判斷其類型。4.x)在區(qū)間 (0, 2證明題;.1.證明：方程 sin x x 1 0 在開區(qū)間,內(nèi)至少有一個實根。222.設 f (x) 在 a, b 上連續(xù)，且 a cdb ， p, q0 ，證明在 a,b 上至少存在一點，使得 pf ( c) qf ( d ) ( p q) f ( ) .3.設 f (x)

5、在 a, b 上連續(xù)，且恒為正，證明：對于任意x1, x2 (a, b)(x1 x2 ) ，在 x1, x2 上至少存在一點，使得 f ( )f ( x1 ) f ( x2 ) .;.第三章綜合練習題一、選擇題1.若 f'(a) k 存在，則limh( f (a1 )f ( a)（）hh（A ）k(B) k(C)0(D) 不存在f ( x)f ( a)A, A 為常數(shù)，則以下結論不正確的是：2. 若 limxaxa（A ） f (x) 在點 xa 處連續(xù)（ B） f (x) 在點 xa 處可導（C）lim f (x) 存在(D) f (x) f (a)A( x a)xa3.函數(shù) yf

6、( x1) 滿足 f '( x)arctanx ，則 dyx1dx x2（ A ） arctan2(B)23 (C)0(D)34.設 f ( x) 在 x0 的附近有定義，則下列選項中與命題“f'(x0 ) 存在”不等價的是：（ A ） lim0f (x0kx)f ( x 0) 存在（ k0或1）xx(B)xlimf ( x0a( x)f ( x 0) , 其中 a(x) 0, 且 lim a( x)00a( x)x0(C)limx( f ( x1)f ( x ) 存在x00x0(D)f (x0x)f ( x0)limsin x存在x05. 若在 (a, b) 內(nèi)，函數(shù) f (

7、 x) 的一階導數(shù) f ' ( x)0 ，二階導數(shù) f " ( x)0 ，則函數(shù) f (x) 在此區(qū)間內(nèi)(A) 單調(diào)減少，曲線是凹的(B)單調(diào)減少，曲線是凸的(C) 單調(diào)增加，曲線是凹的(D)單調(diào)增加，曲線是凸的6. 設 f (x) 在 (,) 有定義， x0 是 f ( x) 的極大值點 (x0 0) ，則(A)x0 必是f (x) 的極小值點(B)x0 是 f (x) 的駐點(C)x0 是f ( x)的極大值點(D)對一切 x 有 f ( x)f (x0 );.7. 設 f (x) 在閉區(qū)間 a, b 有定義，在 (a, b) 內(nèi)可導，則(A) 當 f (a) f (b)

8、0 ，存在( a,b) ，使 f ( )0(B) 對任意( a, b) ，有 lim( f (x)f ( )0x(C) 當 f (a)f (b) 時，存在(a, b) 使 f ' ()0(D) 存在(a,b) ，使 f (b)f (a)f ' ()(ba)8. 已知函數(shù) yf ( x) 對一切 x 滿足 xf " (x)3x f ' ( x)21 e x ，若 f ' ( x0 ) 0( x00) ，則(A) f ( x0 ) 是 f ( x) 的極大值(B)f ( x0 ) 是 f ( x) 的極小值(C) ( x0 , f ( x0 ) 是曲線 y

9、f (x) 的拐點(D)以上均不對二、填空題1.曲線 x2 y ln y1在點 (1,1)處的法線方程是2.某企業(yè)每月生產(chǎn)q 噸產(chǎn)品時總成本c 函數(shù)為 c( q) q210q 20則每月生產(chǎn)產(chǎn)品8 噸時的邊際成本是3.設 yy(x) 是由方程 x tan( xy) 所確定的隱函數(shù)則d 2 ydx2;.4.設函數(shù) f (x) 的二階導數(shù)存在，則f ( x h)f ( x h) 2 f ( x)limh2h 05. f ( x)x2x1 ，在 x1 處連續(xù)且可導，則a， bax bx16 (x sin ln x)'7 設 y ln 1 x2 ， dy8 設函數(shù) f ( x) 在 x0 處可

10、導，且 f (0) 0 ，則 limf (tx)xx 09yf ( x) 是由方程 exyy2cos x 確定的隱函數(shù)，則dydx10.limln x；ln( ex1)x 011.設 f ( x)ax36ax2b 在區(qū)間 1,2 上的最大值為3 ，最小值為29 ，又知 a 0 ，則 a， b；12.設在 0,1上 f "(x) 0，則 f ' (0),f ' (1), f (1) f (0) 的大小順序是；113.曲線 yxex2的垂直漸近線是；14.f ' ( x0 )0 是可導函數(shù)f (x) 在點 x0處有極值的條件；15.曲線 ye x2上凸區(qū)間是。三、

11、計算1 設 f (x)ln(1x)1x0，討論 f (x) 在 x0處的連續(xù)性與可導性。1x1 x0x12.設 f (x) 在 x1 處具有連續(xù)導數(shù)，且f '(1)3 ，求limdf (cos x)x0dx3.設 f ( x)2x2x | x |,求 f'(x) ，并證明 f"(0) 不存在。4.設 f ( x) 在 (0,) 上連續(xù)，x1, x2(0,) 滿足 f ( x1x2 )f ( x1)f ( x2) ，已知 f '(1)存在，且 f'(1)1，試證明 f ( x) 在 (0,) 內(nèi)可導，并求f '( x)5 設 f ( x)a,x0

12、處可導，求 a 與 b1x在 x 02xb,x0;.6 設曲線f ( x)x3ax 與 g ( x)bx2c 都通過點 ( 1,0) ，且在點 ( 1,0) 有公切線，求a, b, c7 已知 y (11) x1 ，求 y'xx 18、 函數(shù)的導函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，問此函數(shù)是否也是單調(diào)函數(shù)？舉例說明。9、 確定函數(shù) y2x2ln x 的單調(diào)區(qū)間10、設 f (x) 具有一階連續(xù)導數(shù)，且f (0)'(0) 2 ，求 limf (1 cosx)0, ftan x2x 0111、 lim( arcsin ) x2x 0x12、確定曲線 yx4 的凸向與拐點13、函數(shù) yy(x) 由方程

13、2 y32 y22xyx21所確定，求 yy(x) 的駐點，并判別它是否為極值點四、應用題1、某商品的需求量Q 關于價格 P 的函數(shù)為 Q75P2 （ 1）求 P4 時的需求價格彈性并說明經(jīng)濟意義； （ 2） P4 時，若價格提高10 0 ，總收益是增加還是減少？變化百分之幾？2、設某產(chǎn)品的成本函數(shù)為Caq2bqc ，需求函數(shù)為q1 (d P)e其中 C 為成本， q 為需求量（也是產(chǎn)量） ， P 為單價 , a, b, c, d, e都是正的常數(shù) ,且 db ,求：1) 需求價格彈性2) 需求價格彈性的絕對值為 1 時的產(chǎn)量3a （元/件），據(jù)經(jīng)驗，當銷售價為b（元/件）時，銷售量為c 件（

14、a, b, c、某商品進價為為正數(shù)，且 b4 a ）市場調(diào)查表明，銷售價每下降10 00 ，銷售量可增加 40 00 ，現(xiàn)決定一3次性降價，問當銷售價定為多少時，可獲最大利潤，并求最大利潤證明題x, x01、證明函數(shù) f ( x)10 處不可導1ex在 x0,x02.證明方程 x5x 10 只有一個正根3.已知函數(shù) f (x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導，且 f ( a)f (b) 0 ，試證明：在 (a,b);.內(nèi)至少存在一點，使得 2 f ' () f ( ) 04. 已知函數(shù) f ( x) 在 a,b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導，且 f (a)f (b)0 ，又有 c(a,b) 使得 f (c)0，試證明：在 ( a, b) 內(nèi)至少存在一點，使得 f() 0.。5 設 f (x) 在 0,a 上連續(xù)，在 (0, a) 內(nèi)可導，且 f (0)0 ，f '( x) 單調(diào)增加，則 f ( x) 在 (0, a)x內(nèi)也單調(diào)增加