空間角的求法精品(教案)(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上空間角，能比較集中反映空間想象能力的要求，歷來為高考命題者垂青，幾乎年年必考。空間角是異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角總稱?？臻g角的計算思想主要是轉(zhuǎn)化：即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，把角的計算轉(zhuǎn)化到三角形邊角關(guān)系或是轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運算來解。空間角的求法一般是：一找、二證、三計算。一、異面直線所成角的求法異面直線所成的角的范圍：（一）平移法【例1】已知四邊形為直角梯形，平面，且，求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大小。【解】過點作交的延長線于，連結(jié)，則與所成的角為或它的補角。 ，且 由余弦定理得 與所成角的余弦值為（二）補形法A1C1CBAB1D【變式練習(xí)

2、】已知正三棱柱的底面邊長為8，側(cè)棱長為6，為中點。求異面直線 與所成角的余弦值。【答案】二、直線與平面所成角 直線與平面所成角的范圍： 方法：射影轉(zhuǎn)化法（關(guān)鍵是作垂線，找射影）【例2】如圖，在三棱錐中，點在平面 內(nèi)的射影在上，求直線與平面所成的角的大小?！窘狻窟B接，由已知，為直線與平面所成角設(shè)的中點為，連接。，所以，所以為等邊三角形。不妨設(shè)，則在中，【變式練習(xí)1】如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形。，求與平面所成的角的大小。【解】由平面知，平面平面作，垂足為，則平面，作，垂足為，則連結(jié)，則，又，故平面，平面平面作，為垂足，則平面，即到平面的距離為由于，所以平面，故到平面的距離也為設(shè)與平面所成的角

3、為，則，則【變式練習(xí)2】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，求直線與平面所成角的正弦值。【解】過點作于點，連接 ，則平面平面面，則是直線與平面所成角 在中， 在中，三、二面角的求法二面角的范圍： 求二面角的大小，關(guān)鍵在于找出或作出二面角的平面角。從找平面角的角度出發(fā)，有以下幾種方法：（一）定義法： 在棱上選一恰當(dāng)?shù)摹包c”（一般是選一個特殊的點，如：垂足、中點等），過這一“點”在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角。（一般在找出角后，利用三角形求解）【例3】在三棱錐中，求二面角的余弦值。ABCNMPQ【解】在上取，作交于，作交于【變式練習(xí)】如圖，點在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線，使

4、與所成角，與面所成角的大小為，求二面角的大小?！窘狻吭谏渚€上取一點，作于點，作于 ，則為（二）利用三垂線三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。從半平面內(nèi)的任一點出發(fā)向另一個半平面引一條直線，過作棱的垂線，垂足為，連，則由三垂線定理可證,故就是二面角的平面角。三垂線定理是求解二面角問題的最常用的方法，其關(guān)鍵是尋找或求作一條垂線，即從第一個半平面內(nèi)的某一個點出發(fā)，且垂直于另一個半平面?！纠?】如圖，在三棱錐中，點在平面 內(nèi)的射影在上

5、，求二面角的大小?！窘狻窟^中點作于，連接， 由已知可得，平面 據(jù)三垂線定理可知，則為的平面角易知，若，則，在中，【變式練習(xí)】在直三棱柱中，直線與平面成 角，求二面角的正弦值。ABCB1C1A1NQ【解】由直三棱柱性質(zhì)得平面平面，過作平面，垂足為，則平面（即為我們要找的垂線）在平面內(nèi)過作棱，垂足為，連則即為二面角的平面角。在平面內(nèi)的射影為， ，又，得直線與平面成角，又，則中，由勾股定理得，在中，得即二面角的正弦值為從不直接找出平面角的角度出發(fā)，主要有兩種方法：面積法（面積射影法），向量法。（三）面積法（面積射影法）CDAE凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的

6、都可利用射影面積公式（）求出二面角的大小。 求證：A1D1B1C1EDBCA【例5】 如圖，為正方體的棱的中點，求平面和底面所成銳角的余弦值。【答案】所求二面角的余弦值為【變式練習(xí)】如圖，是正方形所在平面外一點，且面，。求面與面所成二面角的大小?！敬鸢浮克摹⒄骖}演練1（山東）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為（ ） 2（大綱）已知正四棱柱中，則與平面所成角的正弦值等于（ ） 3（山東）如圖所示，在三棱錐中，平面，,分別是，的中點，與交于點，與交于點，連接。（1）證明：；（2）求二面角的余弦值。4（陜西）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面,。ABCDOA1B1C1D1（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小。5（湖南理）如圖在直棱柱中，,（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值。6（四川理）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，分別是線段的中點，是線段的中點（1）在平面內(nèi)，試作出過點與平面平行的直線，說明理由，并證明直線平面；（2）設(shè)（1）中的直線交于點，交于點，求二面角的余弦值7如圖，在四棱錐中，且；平面平面，；為的中點，求：（1）點到平面的距離；（2）二面角的大小。 【解】（1），且平面 平面則點到平面的距離等于點到平面的距離平面平面故，從而由，得又由知平面從而為點到平面的距離中（2）如