幾何必會(huì)模型：三垂直全等模型

1、本文為word版資料，可以任意編輯修 本文為word版資料，可以任意編輯修三垂直全等模型模型三垂直全等模型如圖：/ D =Z BCA=Z E= 90°, BC= AC. 結(jié)論：Rt BCD也 Rt CAE.模型分析 說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運(yùn)用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位, 很多利用垂直求角，勾股定理求邊長(zhǎng)，相似求邊長(zhǎng)都會(huì)用到從弦圖支離出來的一部分幾何圖 形去求解圖和圖就是我們經(jīng)常會(huì)見到的兩種弦圖 .圖，這也是由弦圖演變而來的三垂直圖形變形如下圖、如圖，AB丄BC,CD 丄 BC, AE丄 DE , AE= DE,求證：AB+ CD = BC.證明：/ AE丄

2、 DE , AB 丄BC, DC 丄 BC,/AED =Z B = Z C = 90° ./ A +Z AEB = Z AEB +Z CED = 90° ./ BAE = Z CED.在厶ABE和厶ECD中,VB ZC-!厶A /CEDAE 二 ED ABE ECD. AB = EC, BE = CD. AB+ CD= EC+ BE= BC.例 2 如圖，/ ACB = 90°, AC = BC, BE丄 CE, AD丄 CE 于 D, AD = 2.5cm, BE = 0.8cm , 則DE的長(zhǎng)為多少？解答： BE丄CE, AD 丄CE,/ E=Z ADC =

3、90° ./ EBC+Z BCE = 90 °/ BCE+Z ACD = 90 / EBC=Z DCA.在厶CEB和厶ADC中,"ZE ZADC 上EBC = DCABC =AC CEBA ADC. BE= DC = 0.8cm, CE = AD = 2.5cm. DE = CE CD = 2.5 0.8 = 1.7cm.例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt ABC有兩個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，求第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解答:(1)如圖，過點(diǎn) B作BD丄x軸于點(diǎn)D./ BCD + Z DBC = 90° .由等腰 RtA ABC 可知，BC = AC,/ ACB=

4、90°,/ BCD + / ACO = 90° ./ DBC = / ACO. 在厶BCD和厶CAO中,Nbdc zaoc!ZDBC ZACOBC =AC BCD CAO. CD = OA , BD = OC./ OA= 3, OC = 2. CD = 3, BD = 2. - OD = 5.B (- 5,2).LyB_A(0,3)h i',xDC(-2,0)O圖-(2)如圖，過點(diǎn) A作AD丄y軸于點(diǎn)D. 在厶ACD和厶CBO中，2ADC ZCOB' ZDAC ZOCBAC =CB ACD CBO. CD = OB , AD = CO. B (- 1, 0)

5、, C ( 0, 3) OB= 1, OC = 3. AD = 3, OD = 2. OD = 5. A (3, 2).1.如圖，正方形 ABCD , BE = CF.求證：(1) AE = BF; (2) AE丄 BF .證明:(1 )四邊形 ABCD是正方形， AB= BD，/ ABC =Z BCD = 90° .在厶ABE和厶BCF中，AB =BC.ABE =. BCFBE =CF ABEBA BCF. AE= BF.(2 ) ABE BCF./ BAE=Z CBF. / ABE= 90°,/ BAE+Z AEB = 90 ° ./ CBF +Z AEB =

6、 90° . Z BGE= 90°, AE丄 BF.2 .直線l上有三個(gè)正方形 a、b、c,若a、c的面積分別是5和11,則b的面積是BC E解答： a、b、c都是正方形， AC= CD , Z ACD = 90 ° . Z ACB+Z DCE = Z ACB + Z BAC = 90°, Z BAC=Z DCE.在厶ABC和厶CBE中，.ABC = CEDBAC = DCEAC =CD ACBBA CDE. AB= CE, BC= DE.在 Rt ABC 中，AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2即 S = Sa + Sc = 5 +

7、11 = 16.3. 已知， ABC 中，Z BAC = 90°, AB= AC,點(diǎn) P 為 BC 上一動(dòng)點(diǎn)(BP<CP),分別過 B、 C作BE丄AP于E、CF丄AP于F.(1) 求證：EF = CF BE;(2) 若P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論.FP解答： BE丄 AP, CF丄 AP,/ AEB = Z AFC = 90° ./ FAC+Z ACF = 90°,/ BAC = 90°, Z BAE + Z FAC = 90°, Z BAE = Z ACF

8、.在厶ABE和厶CAF中，AEB =. AFC/BAE = . ACFAB =AC ABE CAF. AE = CF , BE = AF./ EF = AE AF , EF = CF BE.(2)如圖，EF = BE + CF.理由：同(1)易證 ABE CAF. AE= CF , BE= AF./ EF = AE+ AF, EF = BE + CF.4. 如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB丄 BC, AD = 2, BC = 3，設(shè)Z BCD = a 以 D 為旋轉(zhuǎn)中心，將 腰DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE.(1 )當(dāng)a= 45 °時(shí)，求 EAD的面

9、積；(2 )當(dāng)a= 45 °時(shí)，求 EAD的面積；(3)當(dāng)0° < a<90°，猜想 EAD的面積與a大小有無關(guān)系？若有關(guān)，寫出EAD的面積S與a的關(guān)系式；若無關(guān)，請(qǐng)證明結(jié)論 .E解答：(1 ) 1 ；(2) 1 ；(3) 過點(diǎn)D作DG丄BC于點(diǎn)G ,過點(diǎn)E作EF丄AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn) F./ AD / BC, DG 丄 BC,/ GDF = 90° .又/ EDC = 90°,/ 1 = 7 2.在厶CGD和厶EFD中，DGE =. DFE.1 二/2CD =DE DCGDEF EF = CG ,/ AD / BC, AB 丄 B

10、C, AD = 2, BC = 3,BG= AD = 2, - CG= 1.1 Sead = 2 AD EF = 1.5 .向 ABC的外側(cè)作正方形 EAD的面積與a大小無關(guān).ABDE、正方形 ACFG，過A作AH丄BC于H , AH的反向延長(zhǎng)線與EG交于點(diǎn)P. 求證：BC = 2AP.解答：過點(diǎn) G作GM丄AP于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN丄AP交AP延長(zhǎng)線于點(diǎn) N.四邊形ACFG是正方形， AC= AG，/ CAG = 90 ° / CAH + Z GAM = 90° 又 AH 丄 BC,/ CAH + Z ACH = 90° / ACH = Z GAM. 在厶ACH和厶GAM中， Zf?AHC =. GMAgACH =. GAMAC = GA ACH GAM CH