高中數(shù)學函數(shù)壓軸題(精制)

1、高考數(shù)學函數(shù)壓軸題：1. 已知函數(shù)在處取得的極小值是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)R (x)=3700x + 45x2 10x3(單位：萬元), 成本函數(shù)為C (x) = 460x + 5000 (單位：萬元). 又在經(jīng)濟學中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf (x)定義為: Mf (x) = f (x+1) f (x). 求:（提示：利潤 = 產(chǎn)值 成本）(1) 利潤函數(shù)P(x) 及邊際利潤函數(shù)MP(x); (2) 年造船量安排多少艘時, 可使公司造船的年利潤最大? (3) 邊際利潤函數(shù)MP(x)的單

2、調(diào)遞減區(qū)間, 并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？3. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于點中心對稱。（1）求函數(shù)的解析式；（2）如果，試求出使成立的取值范圍；（3）是否存在區(qū)間，使對于區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，只要，且時，都有恒成立？4已知函數(shù)： （）證明：f(x)+2+f(2ax)=0對定義域內(nèi)的所有x都成立. （）當f(x)的定義域為a+,a+1時，求證：f(x)的值域為3，2； （）設函數(shù)g(x)=x2+|(xa)f(x)| ,求g(x) 的最小值 .5. 設是定義在上的函數(shù)，若存在，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.對任意的上的單峰函數(shù)，

3、下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法. （1）證明：對任意的，若，則為含峰區(qū)間；若，則為含峰區(qū)間； （2）對給定的，證明：存在，滿足，使得由（1）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于；6. 設關(guān)于的方程的兩根分別為、，函數(shù)（1）證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）當為何值時，在區(qū)間上的最大值與最小值之差最小7. 甲乙兩公司生產(chǎn)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，對于函數(shù)，及任意的，當甲公司投入萬元作宣傳時，乙公司投入的宣傳費若小于萬元，則乙公司有失敗的危險，否則無失敗的危險；當乙公司投入萬元作宣傳時，甲公司投入的宣傳費若小于萬元，則甲公司有失敗的危險，否則無失敗的危險. 設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，建立如

4、圖直角坐標系，試回答以下問題：(1)請解釋；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙兩公司在均無失敗危險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問此時各應投入多少宣傳費？(3)若甲、乙分別在上述策略下，為確保無失敗的危險，根據(jù)對方所投入的宣傳費，按最少投入費用原則，投入自己的宣傳費：若甲先投入萬元，乙在上述策略下，投入最少費用；而甲根據(jù)乙的情況，調(diào)整宣傳費為；同樣，乙再根據(jù)甲的情況，調(diào)整宣傳費為如此得當甲調(diào)整宣傳費為時，乙調(diào)整宣傳費為；試問是否存在，的值，若存在寫出此極限值（不必證明），若不存在，說明理由. 8. 設是定義域在上的奇函數(shù)，且其圖象上任意兩點連線的斜率均小于零.（l）求證在上是

5、減函數(shù)；（ll）如果，的定義域的交集為空集，求實數(shù)的取值范圍；（lll）證明若，則，存在公共的定義域，并求這個公共的空義域.9. 已知函數(shù)f（x）ax2bxc，其中aN*，bN，cZ。（1）若b>2a，且f（sinx）（xR）的最大值為2，最小值為4，試求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若對任意實數(shù)x，不等式4xf（x）2（x21）恒成立，且存在x0，使得f（x0）<2（x021）成立，求c的值。10. 已知函數(shù)在區(qū)間0，1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1，2上單調(diào)遞減；（1）求a的值；（2）求證：x=1是該函數(shù)的一條對稱軸；（3）是否存在實數(shù)b，使函數(shù)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰好有兩個交點？若

6、存在，求出b的值；若不存在，請說明理由.11. 定義在區(qū)間（0，）上的函f(x)滿足：（1）f(x)不恒為零；（2）對任何實數(shù)x、q,都有.（1）求證：方程f(x)=0有且只有一個實根；（2）若a>b>c>1,且a、b、c成等差數(shù)列，求證：；（3）（本小題只理科做）若f(x) 單調(diào)遞增，且m>n>0時，有，求證：12. 已知三次函數(shù)在y軸上的截距是2，且在上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減.20070328 ()求函數(shù)f (x)的解析式； ()若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.13. 已知函數(shù)（且）(1) 試就實數(shù)的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2) 已知當時，函數(shù)在

7、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求的值并寫出函數(shù)的解析式； (3) （理）記(2)中的函數(shù)的圖像為曲線，試問是否存在經(jīng)過原點的直線，使得為曲線的對稱軸？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由 (文) 記(2)中的函數(shù)的圖像為曲線，試問曲線是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由14. 已知函數(shù)和 的圖象在處的切線互相平行.() 求的值；（）設，當時，恒成立，求的取值范圍.15. 設函數(shù)定義在上，對任意的，恒有，且當時，。試解決以下問題：（1）求的值，并判斷的單調(diào)性；（2）設集合，若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，滿足，求證：16. （理科）二次函數(shù)f(x)=（I）

8、若方程f(x)=0無實數(shù)根，求證：b>0；（II）若方程f(x)=0有兩實數(shù)根，且兩實根是相鄰的兩個整數(shù)，求證：f(a)=；（III）若方程f(x)=0有兩個非整數(shù)實根，且這兩實數(shù)根在相鄰兩整數(shù)之間，試證明存在整數(shù)k，使得.(文科)已知函數(shù)f(x)=，其中（I）若b>2a,且 f(sinx)(xR)的最大值為2，最小值為4，試求函數(shù)f(x)的最小值；（II）若對任意實數(shù)x，不等式恒成立,且存在成立，求c的值。17. 定義在（-1，1）上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x、y (-1,1)都有。（I）求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；（II）如果當 時，有f(x)>0，判斷f(x)在(-1

9、,1)上的單調(diào)性，并加以證明；（III）設-1<a<1，解不等式： 18. 已知二次函數(shù)設方程f(x)x有兩個實數(shù)根x1、x2.()如果，設函數(shù)f(x)的對稱軸為xx0,求證x0>1;()如果，且f(x)x的兩實根相差為2，求實數(shù)b 的取值范圍.19. 函數(shù)的定義域為R，并滿足以下條件：對任意，有；對任意、，有； 則（1）求的值； （4分） （2）求證：在R上是單調(diào)增函數(shù)； （5分）（3）若，求證：20. （理）已知（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：其中無理數(shù).（文）設函數(shù)，其圖象在點處的切線的斜率分別為.（1）求證：；（2）若函數(shù)的遞增區(qū)間為，求的取值范圍.21.設函數(shù) （1

10、）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f(x)的極大值和極小值； （2）當xa+1, a+2時，不等，求a的取值范圍.22. 已知函數(shù)，函數(shù).（1）當時，求函數(shù)f(x)的最小值；（2）設函數(shù)h(x)=(1x)f(x)+16，試根據(jù)m的取值分析函數(shù)h(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象交點的個數(shù).23. 已知二次函數(shù)為常數(shù)）；.若直線l1、l2與函數(shù)f（x）的圖象以及l(fā)1，y軸與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示. （）求a、b、c的值； （）求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式； （）若問是否存在實數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的

11、值；若不存在，說明理由.24. 已知，點A(s,f(s), B(t,f(t) (I) 若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； (II)若函數(shù)的導函數(shù)滿足：當|x|1時，有|恒成立，求函數(shù)的解析表達式；(III)若0<a<b, 函數(shù)在和處取得極值，且,證明：與不可能垂直.25. 已知函數(shù)(1)設,當m時,求g(x)在上的最大值；(2)若上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.26. (本小題滿分12分)已知常數(shù)a > 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x > 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2)

12、對任意n ³ a , 證明f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n)答案：1.解：(1)，由題意，令得的單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2) ，當變化時，與的變化情況如下表：- 4(-4，-2)-2(-2,2)2(2,3)3 0 0單調(diào)遞增單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 1所以時，.于是在上恒成立等價于，求得.2.解：(1) P(x) = R (x) C (x) = 10x3 + 45x2 + 3240x 5000 (xÎN且xÎ1, 20); 2分 MP (x) = P ( x + 1 ) P (x) = 30x2 + 60x +3275 (xÎ

13、;N且xÎ1, 20). 4分 (2) P(x) = 30x2 + 90x + 3240 = 30( x +9 )(x 12) (xÎN且xÎ1, 20) 7分 當1< x < 12時, P(x) > 0, P(x)單調(diào)遞增, 當 12 <x < 20時, P(x) < 0 , P ( x ) 單調(diào)遞減. x = 12 時, P(x)取最大值, 10分 即, 年建造12艘船時, 公司造船的年利潤最大. 11分 (3) 由MP(x ) = 30( x 1) 2 + 3305 (xÎN且xÎ1, 20). 當1&

14、lt; x £ 20時，MP (x)單調(diào)遞減. 12分 MP (x)是減函數(shù)說明: 隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一臺比較，利潤在減少.13.解：（1） （6分）（2）由解得即解得（12分）（1） 由，又，當時，對于時，命題成立。（14分）以下用數(shù)學歸納法證明對，且時，都有成立假設時命題成立，即，那么即時，命題也成立。存在滿足條件的區(qū)間。4.解：（）證明：結(jié)論成立 4分（）證明：當 即9分（）解： （1）當如果 即時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增 如果當時，最小值不存在11分（2）當 如果如果13分當綜合得：當時 g（x）最小值是當時 g（x）最小值是 當時 g（x）最小值為當時 g（x）最小值

15、不存在5.解：(1)證明:設為的峰點,則由單峰函數(shù)定義可知, 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,當時,假設,則<,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間.當時,假設,則,從而這與矛盾,所以,即為含峰區(qū)間.(7分) （2）證明：由(1)的結(jié)論可知:當時, 含峰區(qū)間的長度為；當時, 含峰區(qū)間的長度為；對于上述兩種情況，由題意得 由得即，又因為，所以 將代入得 由和解得所以這時含峰區(qū)間的長度，即存在使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于6.解：(1)證明：，由方程的兩根分別為、知時，所以此時，所以在區(qū)間上是增函數(shù)(2)解：由（）知在上，最小值為，最大值為，可求得，所以當時，在區(qū)間上的最大值與最小值之差最小，最

16、小值為7.解：(1)表示當甲公司不投入宣傳費時,乙公司要回避失敗風險,至少要投入=8萬元; (2分)表示當乙公司不投入宣傳費時, 甲公司要回避失敗風險,至少要投入 =12萬元. (4分)128xOM(17,25)(2) 解方程組 (6分) 得: x = 17, y = 25 (9分) 故甲公司至少投入17萬元,乙公司至少投入25萬元. (11分)(3) 經(jīng)觀察, 顯見 . 故點M (17, 25) 是雙方在宣傳投入上保證自己不失敗的一個平衡點. (16分)8.解：（1）奇函數(shù)的圖像上任意兩點連線的斜率均為負 對于任意且有3分從而與異號在上是減函數(shù)5分（2） 的定義域為 的定義域為7分 上述兩個

17、定義域的交集為空集 則有： 或9分解得：或故c的取值范圍為或10分（3） 恒成立 由(2)知：當時 當或時且 此時的交集為12分當 且 此時的交集為故時，存在公共定義域，且當或時，公共定義域為；當時，公共定義域為.9.解：（1）由函數(shù)f（x）的圖像開口向上，對稱軸xb/2a<1知，f（x）在1，1上為增函數(shù)，故f（1）abc2，f（1）abc4，b3，ac1。又b>2a，故a1，c2。f（x）x23x2，最小值為17/4。（2）令x1，代入不等式4xf（x）2（x21）得f（1）4，即abc4，從而b4ac。又4xf（x）恒成立，得ax2（b4）xc0恒成立，故（b4）24ac0，

18、ac。又b0，ac4，c1或c2。當c2時，f（x）2x22，此時不存在滿足題意的x0。當c1時滿足條件，故c1。10.解：（1），（2）設點A（x由交點對應于方程即b=4或b=0為所求.11.解：(1)取x=1,q=2,有若存在另一個實根，使得（2），則0，又a+c=2b,ac-b=即ac<b(3)又令m=b,n=,b且q則f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且即4m=,由0<n<1得，12.解：()在y軸上的截距是2，f(0)=2,c=2. 1分又在上單調(diào)遞增，（1，2）上單調(diào)遞減， 有兩個根為1，2， ，5分 ()， ，6分 ， 7分 當m2時，m2，定義域

19、：， 恒成立，上單增； 8分 當時，定義域： 恒成立，上單增 9分 當m >1時，m <1，定義域： 由得x >1，由得x <1. 故在（1，2），（2，+）上單增；在上單減. 11分綜上所述，當m2時，h(x)在（m,+）上單增；當時, 上單增；當m >1時，在（1，2），（2，+）上單增；在（m，1）單減.12分13.解：(1) 當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及， 當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及， 當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為及 （6分） (2) 由題設及(1)中知且，解得， （9分） 因此函數(shù)解析式為 （10分） (3) （理）假設存在經(jīng)過原點的直線為曲線的對稱軸，

20、顯然、軸不是曲線的對稱軸，故可設：（）， 設為曲線上的任意一點，與關(guān)于直線對稱，且，則也在曲線上，由此得， 且， （14分） 整理得，解得或， 所以存在直線及為曲線的對稱軸 （16分） （文）該函數(shù)的定義域，曲線的對稱中心為， 因為對任意， 所以該函數(shù)為奇函數(shù)，曲線為中心對稱圖形14.解：() 3分函數(shù)和的圖象在處的切線互相平行 5分 6分（）7分令當時，,當時，.在是單調(diào)減函數(shù)，在是單調(diào)增函數(shù). 9分，當時，有，當時，有.當時，恒成立, 11分滿足條件的的值滿足下列不等式組，或不等式組的解集為空集，解不等式組得綜上所述，滿足條件的的取值范圍是：.15.解：（1）在中令，得； 2分設，則，從而

21、有所以，所以，在上單調(diào)遞減 5分（2），由（1）知，在上單調(diào)遞減， 7分故集合中的點所表示的區(qū)域為如圖所示的陰影部分；而，所以， 8分故集合中的點所表示的區(qū)域為一直線，如圖所示，由圖可知，要，只要，實數(shù)的取值范圍是 10分（3）由（1）知在上單調(diào)遞減，當時，當時，而，故，由得，所以， 12分又，所以，又由得，又，所以，由及解得， 16.解：（理）（I）（3分）（II）設兩整根為x1,x2，x1>x2 (5分)（III）設m<x1<x2<m+1,m為整數(shù)。 即f(m)=f(m+1)= (6分)（文）f(sinx)= f(sinx)max=f(1)=2, 又b>2a&

22、gt;0, (7分)(2) 不存在 當a=1時，c=1,此時存在x0,使17.解：(I)證：令x=y=0，則f(0)+f(0)=f(0), 故f(0)=0令y=-x,則f(x)+f(-x)= f(-x)=-f(x) 函數(shù)f(x)的奇函數(shù) 4（II）設-1<x1<x2<1，則 因此 函數(shù)f(x)在（-1，1）上是減函數(shù) 8（III） 是（-1，1）上的減函數(shù)， 由 得x<0或x>2 9 當a=0時， ，原不等式的解集為x|x>2 10 當-1<a<0時。x>2中原不等式的解； 若x<0，則a(x-1)>1,x<1+ 故原不等

23、式的解集為 12 當0<a<1時，x<0不是原不等式的解； 若x>2，則a(x-1)<1,x<1+ 故原不等式的解集為x| 18.解：()設由條件（2分）即（4分）（5分）對（8分）（）由（11分）由代入有19.解：解法一：（1）令，得：1分4分（2）任取、，且. 設則 8分在R上是單調(diào)增函數(shù) 9分 （3）由（1）（2）知 11分 而 15分解法二：（1）對任意x、yR，有 1分 當時2分 任意xR， 3分 4分（2）6分是R上單調(diào)增函數(shù) 即是R上單調(diào)增函數(shù)； 9分（3）11分而20.解：（理）（1）若時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若時，對恒成立.在上單調(diào)遞減

24、. 若，由，由可得或，在單調(diào)遞減，在（，上單調(diào)遞減，綜上所述：若時，在（）上單調(diào)遞減.當時，在單調(diào)遞減，在（和）單調(diào)遞減，當時， 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.21.解：（1）f(x)=x2+4ax3a2=(x3a)(xa),由f(x)>0得：a<x<3a由f(x)<0得，x<a或x>3a，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a, 3a），單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）列表如下：x(，a)a(a, 3a)3a(3a,+ )f(x)0+0f(x)a3+bb函數(shù)f(x)的極大值為b，極小值為a3+b 7分 （2）上單調(diào)遞減，因此 不等式|f(x)|a恒成立， 即a的

25、取值范圍是22.解：(1) 方法一： x>1 , ， 當且僅當x=4時，取等號，故函數(shù)f(x)的最小值為0； 方法二： x>1， 當且僅當即x=4時，取等號，故函數(shù)f(x)的最小值為0.方法三：求導（略） 4分（2）由于h(x)=(1x)f(x)+16=設 F(x)=g(x)h(x)= (且)，則，6分令得x=3或x=1（舍）又， ，F(xiàn)（3）6ln315+m根據(jù)導數(shù)的符號及函數(shù)的單調(diào)情況、取極值的情況作出的草圖如下：11分由此可得：當或時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；當時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點；當時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.

26、23.解：（I）由圖形 知：，函數(shù)f（x）的解析式為4分（）由得0t2直線l1與f（x）的圖象的交點坐標為（6分由定積分的幾何意義知：9分（）令因為x0，要使函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點當x（0，1）時，是增函數(shù)；當x（1，3）時，是減函數(shù)當x（3，+）時，是增函數(shù)當x=1或x=3時，12分又因為當x0時，當所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須即m=7或當m=7或時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點24.解：(I) f (x)=x3-2x2+x, (x)=3x2-4x+1, 因為f(x)單調(diào)遞增，所以(x)0，即 3x2-4x+10,解得，x1, 或x,2分故f(x)的增區(qū)間是(-，)和1,+ . 3分(II) (x)=3x2-2(a+b)x+ab. 當x-1，1時，恒有|(x)|.4分 故有(1)， (-1)， (0),5 即 6+，得ab，8分又由，得 ab=，將上式代回和，得 a+b=0,故f(x)=x3x. 9分(III) 假設, 即= = st+f(s)f(t)=0, 10分(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, st-(s+t)a+a2st-(s+t)b+b2=-1, 11分 由s，t為(x)=0的兩