18.2.3第2課時(shí)正方形的判定

1、第 2 課時(shí)正方形的判定1.掌握正方形的判定條件；（重點(diǎn)）2.能熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)和判定進(jìn) 行有關(guān)的證明和計(jì)算.（難點(diǎn)）要先證明四邊形CEDF是矩形，再證明一組 鄰邊相等即可.證明：/CD平分/ACB,DE丄BC,DF丄AC,ADE=DF, /DFC=90 /DEC=90又/ACB=90A四邊形CEDF是 矩形./DE=DF,A矩形CEDF是正方形.方法總結(jié)：要注意判定一個(gè)四邊形是正一、情境導(dǎo)入老師給學(xué)生一個(gè)任務(wù)： 從一張彩色紙中 剪出一個(gè)正方形.小明剪完后，這樣檢驗(yàn)它：比較了邊的 長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)4條邊是相等的，小明就判定他 完成了這個(gè)任務(wù).這種檢驗(yàn)可信嗎？小兵用另一種方法檢驗(yàn)： 量對(duì)角線，發(fā)

2、現(xiàn)對(duì)角線是相等的，小兵就認(rèn)為他正確地剪 出了正方形這種檢驗(yàn)對(duì)嗎？小英剪完后，比較了由對(duì)角線相互分成 的4條線段，發(fā)現(xiàn)它們是相等的.按照小英 的意見(jiàn)，這說(shuō)明剪出的四邊形是正方形.你的意見(jiàn)怎樣？你認(rèn)為應(yīng)該如何檢驗(yàn)，才能又快又準(zhǔn)確 呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：正方形的判定【類型一】 利用“一組鄰邊相等的矩 形是正方形”證明四邊形是正方形方形，必須先證明這個(gè)四邊形為矩形或菱形.【類型二】 利用“有一個(gè)角是直角的 菱形是正方形”證明四邊形是正方形2如圖，在四邊形ABFC中，/ACB=90,BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E, 且CF=AE.（1）試判斷四邊形 形？并說(shuō)明理由；BECF是什么四邊

3、（2）當(dāng)/A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECF是正方形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論.解析：（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上 如圖，在RtABC中，/ACB=90CD為/ACB的平分線，DE丄BC于點(diǎn)E,DF丄AC于點(diǎn)F.求證：四邊形CEDF是 正方形.的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE=解析：要證四邊形CEDF是正方形，則EC, BF=FC.又TCF=AE,A可證BE=EC=BF=FC.根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”，四邊形BECF是菱形；(2)菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角，即當(dāng)/ABC=45時(shí)，ZEBF=90,有菱形為正方 形.根據(jù)直角三角形中兩個(gè)角銳角互余 ” 得/A=45.解：(1)四邊形BEC

4、F是菱形.理由如下：/EF垂直平分BC,BF=FC,BE=EC,/3=Z1.vZACB=903+Z4=90Z1+Z2=90/2=Z4,.EC=AE, BE=AE.vCF=AE, BE=EC=CF=BF，四邊形BECF是菱形；(2)當(dāng)ZA=45。時(shí)，菱形BECF是正方 形.證明如下：vZA=45ZACB=90 Z3=45AZEBF=2Z3=90 菱形BECF是正方形.方法總結(jié)：正方形的判定方法：先判 定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰 邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這 個(gè)菱形有一個(gè)角為直角；還可以先判定四 邊形是平行四邊形，再用判定定理1或判定(1) EF=FP=PQ=QE;(2)四邊形

5、EFPQ是正方形.解 析： 證 明APFDFECEQBQP，即可證 得EF=FP=PQ=QE;(2)由EF=FP=PQ=QE,可判定四邊形EFPQ是菱形，又由APFBQP,易得ZFPQ=90 即可證 得四邊形EFPQ是正方形.證明：(1)v四邊形ABCD是正方形， ZA=ZB=ZC=ZD=90AB=BC=CD=AD.vAF=BP=CQ=DE,DF=CE=BQ=AP.在厶APF和厶DFE和厶CEQ和AF=DE=CQ=BP,BQP中，ZA=ZD=ZC=ZB,AP=DF=CE=BQ,APF也厶DFE也厶CEQBQP(SAS), EF=FP=PQ=QE；(2)vEF=FP=PQ=QE,四邊形EFPQ是

6、菱形.vAAPFBQP,.ZAFP=ZBPQ.vZAFP+ ZAPF=90 .ZAPF+ZBPQ=90.ZFPQ=90 四邊形EFPQ是正方形.方法總結(jié)：此題考查了正方形的判定與定理2進(jìn)行判定.探究點(diǎn)二：正方形的判定的應(yīng)用【類型一】 正方形的性質(zhì)和判定的綜 合應(yīng)用性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意解題 的 關(guān) 鍵 是 證 得0如圖，點(diǎn)E,F,P,Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF=BP=CQ=DE.求證：APFDFECEQ BQP.【類型二】 與正方形的判定有關(guān)的綜合應(yīng)用題如圖, ABC中，點(diǎn)O是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN/BC,設(shè)MN交ZBCA的平G分線于點(diǎn)E,交/BCA

7、的外角/ACG的 平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF.求證：/ECF=90(2)當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由；在的條件下，要使四邊形AECF為正方形，ABC應(yīng)該滿足條件：(直接添加條件， 無(wú)需證明)解析：由CE、CF分別平分/BCO和ZGCO，可推出 /BCE=ZOCE, /GCF=ZOCF，則ZECF=180=90(2)由MN/BC,可得ZBCE=ZOEC,ZGCF=ZOFC，可推出ZOEC=ZOCE,ZOFC=ZOCF，得出EO=CO=FO,點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，貝U EO=CO=FO=AO,這時(shí) 四邊形AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到 的結(jié)論，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的

8、中點(diǎn)時(shí)，且厶ABCZOCE= ZBCE, ZOCF= ZGCF, ZOCE= ZOEC, ZOCF=ZOFC,AEO=CO , FO=CO, OE=OF.又當(dāng)點(diǎn)O運(yùn) 動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO,四邊形AECF是平行四邊形.TZECF=90 四 邊形AECF是矩形.(3)ZACB=90方法總結(jié)：在解決正方形的判定問(wèn)題時(shí)，可從與其判定有關(guān)的其他知識(shí)點(diǎn)入手，例如等腰三角形，平行線和角平分線.從中發(fā)現(xiàn)與正方形有關(guān)聯(lián)的條件求解.三、板書(shū)設(shè)計(jì)1.正方形的判定方法 一組鄰邊相等的矩形是正方形； 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.2.正方形性質(zhì)和判定的應(yīng)用本節(jié)課采用探究式教學(xué)， 讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué) 習(xí)興趣，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性， 給學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，變被動(dòng)為主動(dòng)學(xué) 習(xí)，引導(dǎo)通過(guò)感官的思維去觀察、探究、分 析知識(shí)形成的過(guò)程，以此深化知識(shí)、更深刻 理解知識(shí)、主動(dòng)獲取知識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí) 習(xí)慣.滿足ZACB為直角時(shí)，則推出四邊形AECF是矩形且對(duì)角線垂直，因而四邊形AECF是 正方形.