數(shù)列例題(含答案)(共9頁)

1、1設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn且（為常數(shù)）令cn=b2n（nN*）求數(shù)列cn的前n項和Rn【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1d+1=0再由S4=4S2，得，即d=2a1聯(lián)立、得a1=1，d=2所以an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）把a(bǔ)n=2n1代入，得，則所以b1=T1=1，當(dāng)n2時，=所以，Rn=c1+c2+cn=得：=所以；所以數(shù)列cn的前n項和2等差數(shù)列an中，a2=4，a4+a7=15（）求

2、數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值【解答】解：（）設(shè)公差為d，則，解得，所以an=3+（n1）=n+2；（）bn=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=（2+1）+（22+2）+（210+10）=（2+22+210）+（1+2+10）=+=21013已知數(shù)列l(wèi)og2（an1）（nN*）為等差數(shù)列，且a1=3，a3=9（）求數(shù)列an的通項公式；（）證明+1【解答】（I）解：設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2（an1）的公差為d由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1所以log2（an1）=1+（n1）×1=n，即an=2

3、n+1（II）證明：因為=，所以+=+=11，即得證4已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點（，an+1）（nN*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上（）求數(shù)列an的通項公式；（）若列數(shù)bn滿足b1=1，bn+1=bn+2an，求證：bnbn+2bn+12【解答】解：解法一：（）由已知得an+1=an+1、即an+1an=1，又a1=1，所以數(shù)列an是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列故an=1+（n1）×1=n（）由（）知：an=n從而bn+1bn=2nbn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=2n1+2n2+2+1=bnbn+2bn+12=（2n1）（2n+21）（2n+

4、11）2=（22n+22n2n+2+1）（22n+222n+1+1）=2n0bnbn+2bn+12解法二：（）同解法一（）b2=1bnbn+2bn+12=（bn+12n）（bn+1+2n+1）bn+12=2n+1bn+12nbn+12n2n+1=2n（bn+12n+1）=2n（bn+2n2n+1）=2n（bn2n）=2n（b12）=2n0bnbn+2bn+125已知等差數(shù)列an滿足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2=a3，b3=a7，問：b6與數(shù)列an的第幾項相等？【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為da4a3=2，所以d=2a1+a2=10

5、，所以2a1+d=10a1=4，an=4+2（n1）=2n+2（n=1，2，）（II）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，b2=a3=8，b3=a7=16，q=2，b1=4=128，而128=2n+2n=63b6與數(shù)列an中的第63項相等6設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a5+a13=34，S3=9（1）求數(shù)列an的通項公式及前n項和公式；（2）設(shè)數(shù)列bn的通項公式為，問：是否存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm（m3，mN）成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由已知得即解得故an=2n1，Sn=n2（2）由（1）知要使b1，b2，bm成等差

6、數(shù)列，必須2b2=b1+bm，即，（8分）移項得：=，整理得，因為m，t為正整數(shù)，所以t只能取2，3，5當(dāng)t=2時，m=7；當(dāng)t=3時，m=5；當(dāng)t=5時，m=4故存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm成等差數(shù)列7設(shè)an是等差數(shù)列，bn=（）an已知b1+b2+b3=，b1b2b3=求等差數(shù)列的通項an【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則an=a1+（n1）db1b3=b22由b1b2b3=，得b23=，解得b2=代入已知條件整理得解這個方程組得b1=2，b3=或b1=，b3=2a1=1，d=2或a1=3，d=2所以，當(dāng)a1=1，d=2時an=a1+（n1）d=2n3當(dāng)a1=3，d=2時an=

7、a1+（n1）d=52n8已知等差數(shù)列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的兩根，數(shù)列bn的前n項的和為Sn，且Sn=1（1）求數(shù)列an，bn的通項公式；（2）記cn=anbn，求證cn+1cn【解答】解：（1）a3，a5是方程x214x+45=0的兩根，且數(shù)列an的公差d0，a3=5，a5=9，公差an=a5+（n5）d=2n1又當(dāng)n=1時，有b1=S1=1當(dāng)數(shù)列bn是等比數(shù)列，（2）由（）知，cn+1cn9已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S5=35，a5和a7的等差中項為13（）求an及Sn；（）令（nN），求數(shù)列bn的前n項和Tn【解答】解：（） 設(shè)等差數(shù)列an的公

8、差為d，因為S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，（2分）解得a1=3，d=2，（4分）所以an=3+2（n1）=2n+1；Sn=3n+×2=n2+2n（6分）（） 由（）知an=2n+1，所以bn=（8分）=，（10分）所以Tn=（12分）10已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足a4a7=15，a3+a8=8（）求數(shù)列an的通項公式；（）令bn=（n2），b1=，求數(shù)列bn的前n項和Sn【解答】解：（1）根據(jù)題意：a3+a8=8=a4+a7，a4a7=15，知：a4，a7是方程x28x+15=0的兩根，且a4a7解得a4=3，a7=5，設(shè)數(shù)列an的公差為d由故等差數(shù)列an的通項

9、公式為：（2）=又=11設(shè)f（x）=x3，等差數(shù)列an中a3=7，a1+a2+a3=12，記Sn=，令bn=anSn，數(shù)列的前n項和為Tn（）求an的通項公式和Sn；（）求證：；（）是否存在正整數(shù)m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由【解答】解：（）設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1，d=3an=3n2f（x）=x3Sn=an+1=3n+1（）bn=anSn=（3n2）（3n+1）（）由（2）知，T1，Tm，Tn成等比數(shù)列即當(dāng)m=1時，7=，n=1，不合題意；當(dāng)m=2時，=，n=1

10、6，符合題意；當(dāng)m=3時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m=4時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m=5時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m=6時，=，n無正整數(shù)解；當(dāng)m7時，m26m1=（m3）2100，則，而，所以，此時不存在正整數(shù)m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列綜上，存在正整數(shù)m=2，n=16，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列12已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn=pn22n+q（p，qR），nN+（）求的q值；（）若a1與a5的等差中項為18，bn滿足an=2log2bn，求數(shù)列bn的前n和Tn【解答】解：（）當(dāng)n=1時，a1=S1=p2+q當(dāng)n2時，an=SnSn1=pn22n+qp（n1）2

11、+2（n1）q=2pnp2an是等差數(shù)列，a1符合n2時，an的形式，p2+q=2pp2，q=0（），由題意得a3=18又a3=6pp2，6pp2=18，解得p=4an=8n6由an=2log2bn，得bn=24n3，即bn是首項為2，公比為16的等比數(shù)列數(shù)列bn的前n項和13已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足：a2+a4=14，S7=70（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)bn=，數(shù)列bn的最小項是第幾項，并求出該項的值【解答】解：（I）設(shè)公差為d，則有 （2分）解得 以an=3n2 （4分）（II） （6分）所以=1 （10分）當(dāng)且僅當(dāng)，即n=4時取等號，故數(shù)列bn的最小項是第4項，該項

12、的值為23 （12分）14己知各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足an+12an+1an2an2=0（nN*），且a3+2是a2，a4的等差中項（1）求數(shù)列an的通項公式an；（2）若bn=anan，Sn=b1+b2+bn，求Sn+n2n+150成立的正整數(shù)n的最小值【解答】解：（）an+12an+1an2an2=0，（an+1+an）（an+12an）=0，數(shù)列an的各項均為正數(shù)，an+1+an0，an+12an=0，即an+1=2an，所以數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列a3+2是a2，a4的等差中項，a2+a4=2a3+4，2a1+8a1=8a1+4，a1=2，數(shù)列an的通項公式an=2n（）由（）及bn=得，bn=n2n，Sn=b1+b2+bn，Sn=2222323424n2n2Sn=22223324425（n1）2nn2n+1得，Sn=2+22+23+24+25+2nn2n+1=，要使Sn+n2n+150成立，只需2n+1250成立，即2n+152，使Sn+n2n+150成立的正整數(shù)n的最小值為515設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，數(shù)列bn滿足a1=b1，點P（bn，bn+1）在直線xy+2=0上，nN*（）求數(shù)列an，bn的通項公式；（）設(shè)，求數(shù)列cn的前