韋達(dá)定理初中奧數(shù)（精編版）

1、學(xué)科：奧數(shù)年級：初三不分版本期數(shù)： 346本周教學(xué)內(nèi)容：韋達(dá)定理及其應(yīng)用【內(nèi)容綜述】設(shè) 一 元 二 次 方 程有 二 實(shí) 數(shù) 根， 則。這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c 的關(guān)系， 稱之為韋達(dá)定理。其逆命題也成立。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)競賽中有著廣泛的應(yīng)用。本講重點(diǎn)介紹它在五個方面的應(yīng)用?！疽c(diǎn)講解】1求代數(shù)式的值應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。；（ 2）當(dāng)時，由已知及根的定義可知，a， b 分別是方程的兩根，由韋達(dá)定理得， ab=1.說明此題易漏解a=b 的情況。根的對稱多項(xiàng)式，等都可以用方程的系數(shù)

2、表達(dá)出來。一般地，設(shè)，為方程的二根，則有遞推關(guān)系。其中 n 為自然數(shù)。由此關(guān)系可解一批競賽題。附加： 本題還有一種最基本方法即分別解出a，b 值進(jìn)而求出所求多項(xiàng)式值，但計(jì)算量較大。 例 2 若，且，試求代數(shù)式的值。， 例 1 若 a，思路注意 a， bb 為實(shí)數(shù)，且為方程，的二實(shí)根；（隱含，求）。的值。解 （ 1）當(dāng) a=b時，思路此例可用上例中說明部分的遞推式來求解，也可以借助于代數(shù)變形來完成。解：因?yàn)?，由根的定義知m， n 為方程的二不等實(shí)根，再由韋達(dá)定理，得，2. 構(gòu)造一元二次方程如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個字母為根的一元二次方程。 例 3 設(shè)一元

3、二次方程的二實(shí)根為和。（ 1）試求以和為根的一元二次方程；（ 2）若以和為根的一元二次方程仍為。求所有這樣的一元二次方程。解 （ 1）由韋達(dá)定理知，。，。所以，所求方程為。（ 2）由已知條件可得解之可得由得，分別討論（ p,q ） =(0,0)， (1,0)， (1 ,0) ， (0,1)， (2,1)， (2 ,1) 或(0,1 ) 。于是，得以下七個方程，2x2x120 ， x21 0 ，其中 x10 無實(shí)數(shù)根，舍去。其余六個方程均為所求。3. 證明等式或不等式根據(jù)韋達(dá)定理（或逆定理）及判別式，可以證明某些恒等式或不等式。例 4 已知 a， b， c 為實(shí)數(shù)，且滿足條件：，求證a=b。證明

4、由已知得，。根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理知，以a， b 為根的關(guān)于x 的實(shí)系數(shù)一元二次方程為由 a， b 為實(shí)數(shù)知此方程有實(shí)根。 c2。0 ，故 c=0，從而。這表明有兩個相等實(shí)根，即有a=b。說明由“不等導(dǎo)出相等”是一種獨(dú)特的解題技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即 a=b。此方法較第一種煩瑣，且需一定的跳躍性思維。4. 研究方程根的情況將韋達(dá)定理和判別式定理相結(jié)合，可以研究二次方程根的符號、區(qū)間分布、整數(shù)性等。 關(guān)于方程的實(shí)根符號判定有下述定理：方程有二正根， ab<0， ac>0 ；方程有二負(fù)根， ab>0， ac>0 ；方程有異號二根， ac<0 ；方程兩根

5、均為“ 0”， b=c=0，； 例 5 設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件，試求實(shí)數(shù)a 的范圍。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。思路設(shè)方程二根分別為，則二根均大于1 等價于和同時為正；一根大于 1，另一根小于是等價于和異號。解 設(shè)此方程的二根為，則，。方程二根均大于1 的條件為解之得7a3方程二根中一個大于1，另一個小于1 的條件為4a24(6a)0,( x11)(x 21)6a(2a)10.解之得。a7 。說明此例屬于二次方程實(shí)根的分布問題，注意命題轉(zhuǎn)換的等價性；解題過程中涉及二次不等式的解法，請參照后繼相關(guān)內(nèi)容。此例若用二次函數(shù)知識求解，則解題過程極為簡便。5. 求參數(shù)的值與解方程

6、韋達(dá)定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程（組）中也有著許多巧妙的應(yīng)用。 例 6 解方程。解：原方程可變形為。令，。則,。由韋達(dá)定理逆定理知，以a，b 為根的一元二次方程是。解得，。即 a=8 或 a=9?；蛲ㄟ^求解 x 結(jié)果相同，且嚴(yán)謹(jǐn)。，（舍去）。解之得，。此種方法應(yīng)檢驗(yàn)：是或否成立本周強(qiáng)化練習(xí)：a 級 1. 若 k 為正整數(shù)，且方程有兩個不等的正整數(shù)根，則k 的值為 。 2. 若，則 。 3 . 已知和是方程的二實(shí)根，則 。 4. 已知方程（ m為整數(shù)）有兩個不等的正整數(shù)根，求m的值。級 5. 已知：和為方程及方程的實(shí)根，其中 n 為正奇數(shù)，且。求證：，是方程的實(shí)根。 6. 已知關(guān)于 x 的方程的二實(shí)根和滿足，試求 k的 值 。 參考答案1 2提示：原方程即，所以，由知k=1，2， 3， 5， 11；由知 k=2 ，3，4，7。所以 k=2， 3，但 k=3 時原方程有二相等正整數(shù)根，不合題意。故k=2 。2提示：由 x，y 為方程的二根，知，。于。提示：由，知，3 214設(shè)二個不等的正整數(shù)根為，由韋達(dá)定理，有消去 m，得。即。則且。，。故。5由韋達(dá)定理有