(新教材)2020新人教A版高中數(shù)學必修第二冊同步學案：8.5.1直線與直線平行Word版含答案

1、A. 30 & 5 空間直線、平面的平行 8. 5.1 直線與直線平行 問題導學 預習教材 P133 P135 的內(nèi)容，思考以下問題: 1 基本事實 4 的內(nèi)容是什么? 2 .定理的內(nèi)容是什么？ 1 基本事實 4 平行于同一條直線的兩條直線平彳這一性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性. 符號表示: a II b I I? a II c. b I c| 2.定理 如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補. 名師點撥 . . . . 定理實質(zhì)上是由如下兩個結(jié)論組合成的：若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行 且方向都相同（或方向都相反），則這兩個角相等；若一個角的兩邊與另一個角的

2、兩邊分別平 行，有一組對應邊方向相同，另一組對應邊方向相反，則這兩個角互補. .自球檢測F 判斷（正確的打“V”，錯誤的打“X” ） （1）如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等. （ ） 如果兩個角相等，則它們的邊互相平行. （ ） 答案：X X 秒 已知 AB II PQ，BC II QR，若/ ABC= 30，則/ PQR 等于（考點 學習目標 核心素養(yǎng) 基本事實 4 理解基本事實 4，并會用它解決兩直線平行 問題 直觀想象、 邏輯推理 定理 理解定理的內(nèi)容，套用定理解決角相等或 互補問題 直觀想象、 邏輯推理 硏讀導學蛙直* 預習眾* C. 150 D .以上結(jié)論都不對

3、 答案：B 在長方體 ABCD-A B C D中，與 AD 平行的棱有 _ （填寫所有符合條件的棱） U 答案：A DB C , BC探究案， 解惑：探究-案破. 例 J 如圖，E, F 分別是長方體 ABCD-AIBICIDI的棱 AiA, CiC 的中點求證：四邊形 BiEDF 為平行四邊形. 【證明】 如圖所示，取 DDI的中點 Q,連接 EQ , QCi. 因為 E 是 AAI的中點，所以 EQAiDi. 因為在矩形 AiBiCiDi中，AiDi丿 BiCi, 所以 EQBiCi, 所以四邊形 EQCiBi為平行四邊形，所以 BiE 乜 CiQ. 又 Q , F 分別是 DID , C

4、IC 的中點, 所以 QDCiF, 所以四邊形 DQCIF 為平行四邊形， 所以 CiQ 衛(wèi) FD. 又 BIEJLCIQ，所以 BiEJLFD , 故四邊形 BiEDF 為平行四邊形. 證明空間中兩條直線平行的方法 (i)利用平面幾何的知識(三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比 例定理等)來證明.探究點 基本事實的 證明：如圖所示，在正方體 ABCD-AIBICIDI中，取棱 BBi的中點 G,連接 CIG , EG. 因為 E, G 分別為棱 AAI, BBI的中點, 所以 EG 乜 AiBi. 又 AiBiCiDi，所以 EGCiDi, 從而四邊形 EGCiDi為平行

5、四邊形, 所以 DiE 乜 CiG. 因為 F, G 分別為棱 CCI, BBi的中點，所以 CiFBG，從而四邊形 BGCiF 為平行四邊 形，所以 BF 衛(wèi) CiG, 又 DiECiG，所以 DiEBF , 從而四邊形J5 不妨設(shè)正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱長為 a，易知 BE = BF = a, 故平行四邊形 EBFDi是菱形. 探究點 定理的應用 如圖所示，不共面的三條射線 OA, OB, OC,點 Ai, Bi, Ci分別是 OA, OB, OC 上的點，且 OAi = OBi = 求證： AiBiCiSA ABC. 利用基本事實 4 即找到一條直線 c,使得 a / c,

6、同時 b/ c,由基本事實 4 得到 a/ b. 如圖，已知 E, F 分別是正方體 ABCD-AIBICIDI的棱 AAi, CCi的中點, 求證：四邊形 EBFDi是菱形. G A | C 【證明】 在厶 OAB 中，因為|AJ = OB1,所以 A1B1 /AB. OA OB 同理可證 A1C1/AC, B1C1/BG 所以/ C1A1B1 = / CAB, ZA1B1C1=Z ABC. 所以 A1B1C1 s公 BC. 規(guī)I律方冊 運用定理判定兩個角是相等還是互補的途徑有兩種：一是判定兩個角的方向是否相同; 二是判定這兩個角是否都為銳角或都為鈍角，若都為銳角或都為鈍角則相等，反之則互補

7、. 如圖，三棱柱 ABC-A1B1C1中，M，N，P 分別為 AA1, BB1, CC1的中點.求 證：/ MC1N = Z APB. 證明：因為 N , P 分別是 BB1, CC1的中點，所以 BNC1P,所以四邊形 BPC1N 為平行四 邊形，所以 C1N/BP同理可證 C1M /AP, 又/MC1N 與/APB 方向相同，所以/ MC1N =/APB. 三點，A, B, C, D, E 分別為 AD , DB , BE, EC, CF 的中點.求證：/ ABC =Z C D E .測評案丁 1. 如圖，長方體 ABCD-A1B1C1D1中，M 是 AD 的中點，N 是 B1C1 的中點

8、，求證：CM / A1N. 1 證明：取 A1D1的中點 P,連接 C1P, MP,貝 U A1P = -A1D1.又 N 為 B1C1 的中點，B1CA1D1, n / 所以 GN 乜 PA1，四邊形 FA1NC1為平行四邊形，A1N /GP. 又由 FM 衛(wèi) DD1 衛(wèi) CC1, 得 C1F /CM.所以 CM / A1N. 2 .如圖，已知直線 a, b 為異面直線, A, B, C 為直線 a 上三點, D, E, F 為直線 b 上 fi 證明：因為A： B 分別是 AD, DB 的中點，所以 AB/ a, 同理 CD / a, BC /, D E /，所以 AB/ C D, BC

9、D E 又/ABC 的兩邊和/CDE 的兩邊的方向都相同, 所以/ A B C = / C D E A 基礎(chǔ)達標 1.下列結(jié)論中正確的是（ ） 在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；平行于同一條直線的兩條直線平 行；一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；空間中有四條直 線 a, b, c, d，如果 a/ b, c/ d,且 a/ d,那么 b/ c. A . B . C. D . 解析：選 B.錯，可以異面. 正確.錯誤，和另一條可以異面. 正確，由平行線 的傳遞性可知. 2. 下列命題中，正確的有（ ） 如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

10、 如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角 （或直角） 相等； 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補； 如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行. A . 1 個 B . 2 個 C. 3 個 D . 4 個 解析：選 B.由等角定理可知：對于這兩個角可能相等，也可能互補； 對于顯然正確.對于如圖，ZDDiCi與/DADi的兩邊 DiCi丄 ADi, AD 應用泉丁 丄 DiD，而這兩個角不相等，也不互補，所以該命題錯誤；由基本事實 4 知命題正確.所以是正確的. 3若/ AOB = Z A1O1B1且 OA/ O1A1,

11、OA 與 OiAi的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是 （ ） A OB / O1B1且方向相同 B OB/ OiBi C. OB 與 OiBi不平行 D . OB 與 OiBi不一定平行 解析：選 D.OB 與 OiBi不一定平行，反例如圖. A. 3 條 C. 5 條 解析：選 B.由于 E, F 分別是 BiO , CiO 的中點，故 EF / BiCi,因為和棱 BiCi平行的棱 還有 3 條：AD , BC, AiDi，所以共有 4 條. 6 .空間中有兩個角 a, 3，且角a、3的兩邊分別平行.若 a= 60，貝 U 3 _ 解析：因為a與3兩邊對應平行，但方向不確定， 所以a與3相等

12、或互補. 4.如圖，a A 3 = I, a? a , b? 3 下結(jié)論中正確的是（ ） A . a, b 都與 1 平行 B. a, b 中至多有一條與 I平行 C. a, b 都與 1 相交 D. a, b 中至多有一條與 I相交 根據(jù)基本事實 4,有 a / b,這與 a, b 為異面直線矛盾, 故 a, b 中至多有一條與 I平行. 5 如圖所示，在長方體木塊 中與 EF 平行的有（ ） ACi中，, 分解析：選 B.如果 a，b 都與 I平行, ,且 a, 答案：60?；?i20 7.如圖，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，BD 和 BiDi分別是正方形 ABCD 和AiBiC

13、iDi的對角線， (1) / DBC 的兩邊與 _ 的兩邊分別平行且方向相同； (2) / DBC 的兩邊與 _ 的兩邊分別平行且方向相反. 解析：因為 BiDi/BD, BiCi/BC 且方向相同，所以 / DBC 的兩邊與/ DiBiCi的兩邊 分別平行且方向相同. (2)BiDi /BD, DiAi /BC 且方向相反，所以/ DBC 的兩邊與/ BiDiAi的兩邊分別平行且方 向相反. RS 是平行直線的圖是 _ (填序號). 解析：結(jié)合基本事實 4 可知，均是平行直線，中 RS 和 PQ 相交，是異面直線. 答案： 9. 如圖，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，M , Mi分別

14、是棱 AD 和 AiDi的 中占 I 八、 求證：四邊形 BBiMiM 為平行四邊形； (2)/ BMC = Z BiMiCi. 證明：因為在正方形 ADDiAi中，M , Mi分別為 AD , AiDi的中點， 所以 MMiAAi. 又因為 AAiBBi, 所以 MMi/BBi , 且 MM i= BBi. 所以四邊形 BBiMiM 為平行四邊形. 由知四邊形 BBiMiM 為平行四邊形, 答案：(i) / DiBiCi (2) / BiDiAi 8.如圖，點 P, Q, R, S 分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線 PQ 與 所以 BiMi/BM. 同理可得四邊形 CCiMi

15、M 為平行四邊形, 所以 CiMi /CM. 由平面幾何知識可知，/ BMC 和/BiMiCi都是銳角, 所以/BMC = Z BiMiCi. iO.如圖，已知在棱長為 a 的正方體 ABCD-AiBiCiDi中，M, N 分別是棱 CD , AD 的中 占 八、 求證：四邊形 MNAiCi是梯形； (2)/ DNM =/ DiAiCi. 證明：(i)如圖，連接 AC,因為在 ACD 中，M , N 分別是 CD, AD 的中點，所以 MN 是厶 ACD 的中位線， i 所以 MN / AC, MN = 2AC. 由正方體的性質(zhì)得： AC / AiCi, AC = AiCi. i 所以 MN

16、/ AiCi，且 MN = 2AiCi，即 MN 工 AiCi, 所以四邊形 MNAiCi是梯形. (2)由(i)可知 MN / AiCi. 又因為 ND / AiDi，所以/ DNM 與/ DiAiCi相等或互補. 而/ DNM 與/ DiAiCi均為銳角， 所以 / DNM = / DiAiCi. B 能力提升 ii. 如圖所示，在四面體 ABCD 中，M , N , P, Q, E 分別是 AB, BC, CD , AD, AC 的 中點，則下列說法不正確的是 ( )8 A . M , N, P, Q 四點共面 B. Z QME = Z CBD C. BCDs MEQ D .四邊形 MN

17、PQ 為矩形 解析：選 D.由條件易得 MQ / BD , ME /BC, QE/CD , NP/BD，所以 MQ / NP.對于 A, 由 MQ / NP，得 M , N, P, Q 四點共面，故 A 正確；對于 B，根據(jù)定理，得Z QME = Z CBD , 故 B 正確；對于 C,由定理知 Z QME = Z CBD , ZMEQ = Z BCD，貝 U BCDMEQ，故 C 正確；對于 D，沒有充分理由推證四邊形 MNPQ 為矩形，故 D 不正確. 12. 如圖所示，E, F, G , H 分別是空間四邊形 ABCD 各邊 AB, BC, CD, DA 的中點，若 BD = 2, AC

18、= 4,則四邊形 EFGH 的周長為 _ . 解析：因為 E, H 分別是空間四邊形 ABCD 中的邊 AB , DA 的中點， 1 所以 EH / BD , 且 EH = ?BD , 同理 FG / BD，且 FG = |BD. 1 1 所以 EH = FG = BD = 1，同理 EF = GH = AC = 2, 所以四邊形 EFGH 的周長為 6. 答案：6 13. （2019 麗水檢測）一個正方體紙盒展開后如圖所示， 在原正方體紙盒中 有如下結(jié)論： AB / CM :EF 與 MN 是異面直線； MN / CD. 以上結(jié)論中正確的序號為 _ . EF 與 MN 是異面直 14. 如圖，在空間四邊形 ABCD 中，E, H 分別是 AB, AD 的中點， CF CG 2 解析：答案： F,G 分別是 CB,CD 上的點，且 CB = CD = 3,若 BD = 6 cm,梯形 EFGH 的面積為 28 cm2,求平行