一圓為背景的相似三角形計算與證明教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載授課時間第周年月日星期序號主備人復(fù)備人課題專題提升：以圓為背景的相似三角形的計算與證明備課時間復(fù)備時間組長簽字教學(xué)目標1、訓(xùn)練學(xué)生相似三角形判定定理與性質(zhì)圓的性質(zhì)的靈活應(yīng)用2、能運用圓的性質(zhì)證明和計算相似三角形的一些實際問題. 教學(xué)重點相似三角形判定定理與性質(zhì)的靈活應(yīng)用，圓中與角度有關(guān)性質(zhì)的運用教學(xué)難點準確利用圓的性質(zhì)證明相似三角形和與相似有關(guān)的計算教學(xué)過程相似三角形與圓綜合探究題，綜合性強，有一定的難度，有時還會作為“壓軸題”，解此類題通常需要熟練掌握相似三角形與圓相關(guān)的基本知識和基本技能，求解時注意運用有關(guān)性質(zhì)，進行綜合、分析、探究解題思路【教材原型】如圖 z131，db

2、為半圓的直徑，a 為 bd延長線上的一點，ac 切半圓于點e，bc ac于點 c，交半圓于點f. 已知 ac 12，bc 9，求 ao的長( 浙教版九下p44作業(yè)題第5 題 ) 解：如答圖，連結(jié)oe ，設(shè)o 的半徑是r ，則 oe ob r.在 rtacb中，由勾股定理得 abac2 bc2 15. ac切半圓 o于 e ，oe ac ， oea 90 c， oe bc ， aeo acb ，oebcaoab，r915r15，解得 r458， ao ab ob 15r758. 【思想方法】利用圓的切線垂直于過切點的半徑構(gòu)造直角三角形，從而得到相似三角形，利用比例線段求ao的長【中考變形】120

3、15貴州 如圖 z132，在 rtacb中， acb 90，點 o是 ac邊上的一點，以o為圓心， oc為半徑的圓與ab相切于點 d，連結(jié) od.(1) 求證： ado acb ；(2) 若o 的半徑為1，求證： ac ad bc.學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明： (1) ab 是o 的切線， od ab ， cado 90， aa，ado acb ；(2) 由(1) 知ado acb. adacodbc， ad bc ac od ， od 1， ac ad bc.22014 棗莊 如圖 z133，a為 o外一點， ab切 o于點 b，ao交 o于 c，cd ob于 e，交 o于點 d ，連結(jié) od ，

4、若 ab 12，ac 8. (1) 求 od的長；(2) 求 cd的長解： (1) ab切 o于點 b， ab ob ， oba是直角三角形，又ab12，ac 8，由勾股定理得ob2 ab2oa2 ，即 od2 122(od8)2 ，解得 od 5；(2 (2) cd ob ， ab ob ， ecab ，ecabocoa，即ec12513， ec 6013，又 cd ob ，cd 2ec 12013. 2015懷化 如圖 z134，在 rtabc中， acb 90， e是 bc的中點，以ac為直徑的o與 ab邊交于點 d，連結(jié) de.(1) 求證： abc cbd ； (2) 求證：直線de

5、是o的切線證明： (1) ac 為o 的直徑， adc 90， bdc 90，又 acb 90，acb bdc ，又 bb， abc cbd ；(2) 連結(jié) do ，如答圖， bdc 90， e為 bc的中點， de ce be， edc ecd ，又od oc ， odc ocd ，而 ocd dce acb 90， edc odc 90即edo 90， de od ，de與o 相切如圖 z13 5，已知 ab是o 的直徑， bc ab ，連結(jié)oc ，弦 ad oc ，直線cd交 ba的延長線于點 e.(1) 求證：直線cd是o 的切線； (2) 若 de 2bc ，求 ad oc的值學(xué)習(xí)必

6、備歡迎下載解： (1) 證明：如答圖，連結(jié)do.ad oc ， dao cob ，ado cod. oa od ， dao ado ， cod cob.又co co ，od ob ， cod cob ， cdo cbo 90，即od cd.又點d在 o上，直線cd是o 的切線；(2) 由(1) 知cod cob ， cd cb.de 2bc ， de 2cd.ad oc ， eda eco ，adocdecedede cd23. 2014東營 如圖 z136，ab是o 的直徑， od垂直于弦ac于點 e，且交o于點 d.f是為 ba延長線上一點，若 cdb bfd. (1) 求證： fd是o

7、的一條切線；(2) 若 ab 10，ac 8，求 df的長解： (1) 證明： cdb bfd ，cdb cab ， bfd cab ，fd ac ，od垂直于弦 ac ，od fd ，fd 是圓 o的一條切線；(2) ab是o 的直徑， ab 10， acb 90，半徑oa ob od 5，在 rtabc中，ab 10，ac 8，由勾股定理得bc 6， od ac ， ae ce 12ac 4， oa ob ， oe12bc 3， fdae ， oae ofd ，fdaeodoe， fd odoeae 534203. df的長為203. 2015湖北改編 如圖 z137，ab是 o的直徑，點

8、c 為o 上一點， ae和過點 c的切線互相垂直，垂足為e，ae交o 于點 d，直線 ec交 ab的延長線于點p，連結(jié) ac ，bc ，pb pc 12.(1) 求證： ac平分 bad ；(2) 探究線段pb ，ab之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由學(xué)習(xí)必備歡迎下載解： (1) 證明：如答圖，連結(jié)oc ，pe是o 的切線， oc pe ，ae pe ，oc ae ，dac oca ，oa oc ， oca oac ， dac oac ，ac平分 bad ；(2) 線段 pb，ab之間的數(shù)量關(guān)系為ab 3pb.理由： ab 是o 的直徑，acb 90，bac abc 90， ob oc ， ocb a

9、bc ， pcb ocb90， pcb pac ，p 是公共角， pcb pac ， pcpapbpc，pc2 pb pa ，pb pc 12， pc2pb ， pa 4pb， ab 3pb. 2014達州 如圖 z138，直線 pq與o 相交于點a， b，bc是o 的直徑， bd平分 cbq交o 于點 d，過點 d作 de pq ，垂足為e. (1) 求證： de與o 相切；(2) 連結(jié) ad，已知 bc 10，be 2，求 sin bad的值解： (1) 證明：連結(jié)od ，如答圖， bd 平分 cbq交o 于點 d， cbd qbd ，obod ， obd odb odb qbd ，od

10、bq ，de pq ，od de ，de與o相切；(2) 如答圖，連結(jié)cd ， bc是o 的直徑， bdc 90， de ab ，bed 90，cbd qbd ，rtbcd bde ，bdbebcbd，即 bd2 bc be 20， bd 25. 在 rt bcd中， sin cbdbc55， bad c， sin bad sin c55. 2014遂寧 已知：如圖z139， o的直徑 ab垂直于弦cd ，過點 c 的切線與直徑ab學(xué)習(xí)必備歡迎下載的延長線相交于點p，連結(jié) pd. (1) 求證： pd是o 的切線；(2) 求證： pd2 pb pa ；(3) 若 pd 4，tan cdb 12

11、，求直徑 ab的長解： (1) 證明：連結(jié)od ，oc ，pc是o 的切線，oc pc ， ocp 90. 直 徑ab cd ，o ，p是 cd垂直平分線上的點，od oc ， pd pc ， op op ，odp ocp ，odp ocp 90， pd 是o 的切線；(2) pd是o 的切線， pdb a，又 dpb apd ， dpb apd ，pd papb pd ， pd2 pb pa ；又 tan cdb 12， tan abdad12dpb apd ，pd papb pd bd da 12，又 pd 4，pa 8，pb 2，ab 6. 【中考預(yù)測】如圖 z1310，在 abc中，

12、abc 90，邊ac的垂直平分線de交 bc于點 d，交 ac于點 e，連結(jié) be. (1) 若c30，求證：be是 dec外接圓的切線；解： (1) 如答圖，取cd的中點 o，連結(jié) oe. 點 e為 rtabc斜邊 ac的中點，be 12ac ae. aabe 90 c903060.oe oc ，oec c30.beo 180 aeb oec 90，即 be oe.學(xué)習(xí)必備歡迎下載又oe為o 的半徑，be是 dec外接圓的切線；(2) 設(shè) cd的長為 x，則 bc x 1. be 3，點 e為 rtabc斜邊 ac的中點，ec be 3，ac23， dec abc90. ecd bca ，

13、ced cba. cecbcdca，即3x1x23. x2 x60 x2 或 x 3(不合題意，舍去) 即dec外接圓的直徑為2. 作業(yè)1已知o的半徑為35厘米，o的半徑為5 厘米o與o相交于點d、e若兩圓的公共弦de的長是 6 厘米 （圓心o、o在公共弦de的兩側(cè)）， 則兩圓的圓心距oo的長為（）（ a）2 厘米（b） 10 厘米（c） 2厘米或 10 厘米（ d）4 厘米2如圖， 兩個等圓o和o的兩條切線oa、ob，a、b是切點， 則aob等于（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ a ）30（b）45（c）60（d）903如圖，在abc中，bac90，abac2，以ab為直徑的圓交bc于d，則圖中陰影部

14、分的面積為（）（ a ）1 （ b）2 （c）1+4（d）244已知圓的內(nèi)接正六邊形的周長為18，那么圓的面積為（）（ a ）18（ b）9（c）6（d）35、如圖 abc是等邊三角形，被一平行于bc的矩形所截 ab 被截成三等分則圖中陰影部分的面積是 abc 的面積的（）6已知，如圖，以abc的邊ab作直徑的o，分別并ac、bc于點d、e，弦fgab，scdesabc14，de5cm，fg 8cm，求梯形afgb的面積7如圖，在兩個半圓中，大圓的弦mn與小圓相切，d為切點，且mnab，mna，on、cd分別為兩圓的半徑，求陰影部分的面積學(xué)習(xí)必備歡迎下載9如圖，在直角梯形abcd中，abcd，90bo，ab=ad，bad的平分線交bc于e