線性代數(shù)復(fù)習(xí)

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)題11105. D2112第一章 行列式, Aij 為 D 中 i, j 元素的代數(shù)余子式，求1321行列式的概念與性質(zhì)12111. 確定 i, j ，使 6 元排列 2i 316 j 為奇排列 .A21A22A23A24 .2.當(dāng) i， j時(shí)a11a2 j a33a4 i 為 4 階行列式 Daij 4 中的一項(xiàng)。3.寫出 4 階行列式中含有a13 a21 的項(xiàng) .1116. A234 ， Aij 為 A 中 i, j元素的代數(shù)余子式，求 A31 A32 A335674. 寫出 4 階行列式中含有 aa a34的項(xiàng) .1323大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算行列式000a1n00a2n 101.N0

2、00an1000111112342. D49；1161827642aLaa2La3. D n =；M M OMaaL22008198619644. 2009 1987 1965 ；2010 1988 19661a1a2a35.a11 a2a3；a1a21 a3a1a2Lan6. Dna1a2LanLLLLa1a2Lan大學(xué)數(shù)學(xué)第二章 矩陣及其運(yùn)算1200矩陣基本運(yùn)算4. A2, B011, f ( x) = x3 - 2x + 5 ，求 f ( A) 及 f (B)320301030011.已知A1, B121，且X+A=（2B- X）,212求 X .1,2,1T, 求T，TT 101.2.

3、a = ()a aaa(a a )1011105.設(shè)A011，B012 , 求（1）AB ，（2）BA ；（ 3）AT BT .111023a11a12a13xa11a12b1x3. x y z a21a22a23y； x y 1 a12a22b2y .a31a32a33zb1b2c 1大學(xué)數(shù)學(xué)1210, AP P ，求 An方陣與行列式，方陣的伴隨矩陣6. P4,2AO101. 已知 A是3階方陣,且 A2, 計(jì)算 (1)2A ；(2)A A ；(3).E2A7. A 是 n 階方陣 , 問 ( A + B)( A - B) = A2 - B2 成立嗎？為什么？8A, B為 n 階對(duì)稱陣，證

4、明AB是對(duì)稱陣的充分必要條件為AB BA。、設(shè)2. A是3階方陣, B是 2階方陣,且 A2 AO2, B 1，求； 2A*O3B9. 設(shè) n 維列向量 a 滿足 a T a =1， B = E + 2a a T , C = E - a a T ,2證明： 1） B 是對(duì)稱矩陣；2） BC E.大學(xué)數(shù)學(xué)3.設(shè) A(aij )3 3 ，若 Aa ，求 A A* ；可逆矩陣1.命題： A, B,C 都是 n 階方陣，滿足AB AC,且A可逆，則B C1命題 2： A, B, C 都是 n 階方陣，滿足 ABAC,且AO，則 BC哪個(gè)命題成立？為什么？4.Aaij, B bij 都是 n 階方陣，問

5、 A Baijbij 與111000ABaijbij 哪個(gè)成立？哪個(gè)不成立？121002.求矩陣 A 的逆矩陣：（ 1） A100；（2） A02311100012大學(xué)數(shù)學(xué)證明矩陣可逆第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1. 設(shè) A 是 n 階方陣 , 且滿足 A25A E O, 利用定義證明 : A3E 可逆，11112311.設(shè)A100, B234,求矩陣 X 使得 AX B.并求A3E .1111432. 設(shè) A 是 n 階方陣 , 且滿足 A2AEO , 利用定義證明 : A2E 可逆，1并求A2E.3.A滿足A22A3EO，證明A 3E,E 3A都可逆，并求其1設(shè) n 階方陣逆矩陣。2

6、. 設(shè) A,B 滿足 ABA2BA E,其中 A2,求B14.設(shè) A 是 n 階方陣 , 且 AkO （ k 為正整數(shù)），利用定義證明： EA 可逆，且1L Ak 1EAEAA2大學(xué)數(shù)學(xué)100313.設(shè) A 1XA6A XA,其中A00，求 X.40017114.已知 A11，討論為何值時(shí)（ 1） R( A) 1;(2)11R( A) 2;(3)R( A)3 .（ ）討論 n 元非齊次線性方程組Am n xn 1bm 1，當(dāng) mn 時(shí)解的可能情況；5. 1（ 2）討論 n 元齊次線性方程組Am n xn 1bm 1 ，當(dāng) mn 時(shí)解的可能情況.（ 3）命題 1： n 元齊次線性方程組Ax 0

7、只有零解，則 n 元非齊次線性方程組 Ax b 有唯一解；命題 2： n 元非齊次線性方程組 Axb 有唯一解，則 n 元齊次線性方程組Ax 0 只有零解。這兩個(gè)命題是否都正確？為什么？大學(xué)數(shù)學(xué)x2x3x5x60,x13x2x3x43x50,6. 求方程組2x3x46x53x6的基礎(chǔ)解系和通解x10,x15x23x3x4x52x60.x12x23x34x40,2x13x24x35x40,7. 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解3x14x25x36x40,4x15x26x37x40.2x1x23x31,8. 求非齊次線性方程組4x12x25x34, 的通解6x13x28x35.9. 討論 a 取何

8、值時(shí)，下面線性方程組： （1）有惟一解；（ 2）沒有解；（ 3）有無窮多個(gè)解？并在有解時(shí)求解 .(a1)x1x2x30,x1( a1)x2x33,x1x2(a1)x3a.大學(xué)數(shù)學(xué)10. 討論 a, b 取何值時(shí) , 下面線性方程組有解, 并在有解的情況下求其通解 .第四章 向量組的線性相關(guān)性x1x2x3 x401.在向量組 a1 ,a2 , a3 , a4 ,a5 中，證明：若 a2 , a3 , a4 線性相關(guān)， 則 a1, a2 ,a3 , a4 , a5x22x32x41線性相關(guān)x2(a3)x32x4b3x12x2x3ax412 設(shè) b1a12a2Lnas,L ,bs 1a12a2 ,

9、bsa1 ，且 向量組a1, a2 ,L , as 線性無關(guān)，證明向量組b1, b2 ,L , bs 線性無關(guān)。3.設(shè)1 , 2 ,3 線性無關(guān)，且11t2 , 22t3 , 33t1 ，討論 t 為何值時(shí)1,2 , 3 線性無關(guān)， t 為何值時(shí)1 ,2 ,3 線性相關(guān) .大學(xué)數(shù)學(xué)4. 求下面向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并用其線性表示向量組中其余向.6. 設(shè)(1,2,7) T ，1(2, ,5 )T, 2 ( , 1, 2 )T, 3 ( 1,1,2)T ，量討論（ 1） 為何值時(shí)，不能由 a1 , a 2 , a 3 線性表示？T(4, 1, 5, 6)T, 3(1, 3, 4, 7)T

10、, 4(2,1, 1,0)T1 (1,2,1,3) , 2（ 2）為何值時(shí)，能由 a 1, a 2 ,a 3唯一的線性表示？（ 3）為何值時(shí)，能由 a 1, a 2 , a3線性表示，但表示方法不唯一？并求一般表達(dá)式5. 求下列矩陣的秩和列向量組的極大線性無關(guān)組，并用其表示向量組中其余向量 .7 設(shè)1,0,0,3TT1111101, 22,1, 1,2 , 3 (3,2, a 3,1)T , 4 (3,2, 2,a)T ,(1,1,b 1,1)T ，討論：101122（ 1） a,b 為何值時(shí)，不能由 a1 , a2 ,a 3 , a 4 線性表示？A0020.11（ 2） a,b 為何值時(shí)，

11、能由 a1 ,a 2 ,a 3,a 4唯一的線性表示？110233（ 3） a,b 為何值時(shí)，能由 a1 ,a 2 ,a 3,a 4線性表示，但表示方法不唯一？大學(xué)數(shù)學(xué)9.設(shè)(0, k , k2 )T可由 1 (1 k,1,1)T , 2 (1,1 k,1)T , 3 (1,1,1 k )T2. 若 n 維非零向量組 a1 , a 2 , a 3 正交，證明 a 1, a 2 , a3 線性無關(guān)。唯一的線性表示，求k 滿足的條件 .3. 設(shè) 3 階方陣 A 有特征值 1,1,2 ，求（ 1） A3A 2E 的特征值；（2） A 1的特征值；（ 3） 2A 1E 的特征值 .第五章相似矩陣1. 設(shè)(1,1,0)T ,( ,1,1)T , （ 1）求使得 ,正交；（ 2）求一個(gè)單位向量，使,兩兩正交 .大學(xué)數(shù)學(xué)4. 已知 3 階方陣 A 的特征值為 4, 2, 1 ，求 (1) A ；（ 2） A2A E；(3)A 1220的特征值；（ 4） A 1A* ( 其中 A* 為 A的伴隨矩陣 ).6.設(shè)A 821