(完整word版)高等數(shù)學(xué)二重積分講義試題答案

1、第七章多元函數(shù)積分學(xué) 7.1 二重積分(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、 在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問(wèn)題模型 I I:設(shè)有界閉區(qū)域D 二x,y) a 一 x 一 b, (x) _ y _ 2(x)其中i(x),2(x)在a,b上連續(xù)，f (x, y)在D上連續(xù)，則b-2(x)iif(x,y)d；丁二f(x,y)dxdy二dx f(x,y)dyDDa模型 IIII:設(shè)有界閉區(qū)域D =x, y)c 蘭 y 蘭 d, i(y)蘭 x其中i(y),2( y)在c,d上連續(xù)，在D上連續(xù)則iif(x,y)d；：=f(x,y)dxdy二dy f (x, y)dxDDc (y)關(guān)于二重積分的計(jì)算主要

2、根據(jù)模型I I 或模型 IIII，把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域D D如果既不符合模型 I I 中關(guān)于 D D 的要求，又不符合模型 IIII 中關(guān)于 D D的要求，那么就需要把 D D 分解成一些小區(qū)域， 使得每 一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型I I 或模型 IIII 中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和， 而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算。在直角坐標(biāo)系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過(guò) 來(lái)化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D D，然后根據(jù) D D 再把二重積分化為

3、另外一種順序的累次積分。二、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定二對(duì) 進(jìn)行積分，然后再對(duì) 二進(jìn)行積分，由于區(qū)域D D的不同類型，也有幾種常用的模型。模型 I I 設(shè)有界閉區(qū)域D J.(，巧：_ 二 _ 二 心 _-2其中(),：2(二)在，：上連續(xù)，f(x, y) = f( cosd si n71)在D上連續(xù)。則模型P吸日iif(x, y)d二二f ( cos, sin d d：-! f ( cos, si n) dDDa 9(8IIII 設(shè)有界閉區(qū)域D貝丫月)a e P, OWY蘭(0)其中l(wèi) 剌 fl)打V)在，訂上連續(xù),f(x, y)=f(

4、 cos = , si n二)在D上連續(xù)。X2!jf(x,y)d；-f(COST, sinv)ddv - dr f(COST, sinv) dDD0（乙）典型例題一、二重積分的計(jì)算2例 1 1 計(jì)算 jjjje edxdy，其中 D D 由 y=x,y=1y=x,y=1 和 y y 軸所圍區(qū)域D1 12 2解： 如果11 e dxdy = dx e* dyD0 x2那么先對(duì)ey求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分。i y2 2edxdy二dy edxD002這時(shí)先對(duì) x x 積分，e*e*當(dāng)作常數(shù)處理就可以了。原式i= =yedy0例 2 2 計(jì)算11y - x |dxdy|x|0勺空1

5、x2_ _解：原式= =Jdx jjx2- ydy + jjy x2dyAx221223=-3(X2-y2)232121| x |3dx(2 -32123dx 3 (y -x )23J325二x2)2dx= _ 32心dxy=0例 3 3 求I二(x2y2y)d二DX2+ y2乞4D:/2(x 1)2y-1解一：.I: I 11DD大圓D小圓D大圓y2+ y = ff Jx2十 yQ+0(對(duì)稱性)D大圓2二2=d 丁 r2dr = 一 二30 0ffD小圓37：2-2COS011. x2y2d匚0. r2drD小圓0=32_ 9ill x2y2yd =162)D9X2222解二：由積分區(qū)域?qū)ΨQ

6、性和被積函數(shù)的奇偶性可知I I .X2y2d；- 2I I.X2y2dcDD上原式=2 I JJ Jx2+ y2de + ”Jx2+y2db,D上1D上222n 2=2 JdJr2dY+Jd日J(rèn) r2dr00_2cos A-2_4416、116 “c=2|- n+(-)= = (3 兀-2)3399二、交換積分的順序2a2ax例 1 1 交換.dx . f (x, y)dy 的積分順序02 ax _x2解原式二.f (x, y)dxdyD其中 D D 由y =f2ax - x2和y二2ax以及D FUD2UD32y -2ax 解出x = -由2a_y =、2ax - x2解出 x = a 二

7、a2_ y2因此按另一順序把二重積分化為累次積分對(duì)三塊小區(qū)域得例 2 2 設(shè)f (y)連續(xù)，證明avavsin,貝 Vdxc o Sd,t】dxxf(y)00(a-x)(x-y)dyf(a)-f(O)證明：交換積分次序a ady f (y)0dx擰)+2o-JaaTa2y2原式二dyf (x, y)dx dy0a2a2a 2af(x,y)df (x, y)dx02aaa2-y2令x _aa2 - COStf(y)dy.是dt0-ycost22-f (y)dyf(a) f(0)0三、二重積分在幾何上的應(yīng)用1 1 求空間物體的體積例 1 1 求兩個(gè)底半徑為 R R 的正交圓柱面所圍立體的體積2 2 2 2 2 2解 設(shè)兩正交圓柱面的方程為x y二R和x z=R，它們所圍立體在第一卦限中的那部分體積Vi二.R2_x2dxdyD其中D為O_X_R, o_y_ R2-X2RR2Tx2R2因此Vi二dxR2x2dy二(R2-x2)dx = ? R30003而整個(gè)立體體積由對(duì)稱性可知V =8 V16R3例 2 2 求球面x2y2z2=4R2和圓柱面 x2 y2=2RX（R 0）所圍（包含原點(diǎn)那一部分）的體積解V,