關(guān)于常微分方程的發(fā)展及其應(yīng)用的探悉

1、關(guān)于常微分方程的發(fā)展及其應(yīng)用的探悉姓 名： 佳木斯大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2015年6月 摘 要 常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一常微分方程的形成與發(fā)展與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域本篇文章從常微分方程的產(chǎn)生背景談起，分四個(gè)時(shí)期介紹其發(fā)展過(guò)程文章從常微分方程的產(chǎn)生背景、發(fā)展、應(yīng)用等方面出發(fā)，系統(tǒng)地介紹常微分方程的發(fā)展史及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要意義 關(guān)鍵詞: 常微分方程；發(fā)展；應(yīng)用Abst

2、ractOrdinary differential equation is the 17th century with the birth of calculus and a strong theoretical and one of the widely applied mathematics. The formation and development of ordinary differential equations with mechanics, astronomy, physics and other closely related to the development of sc

3、ience and technology, The current development of the computer for the application of ordinary differential equation and the theoretical research provides a very powerful tool. The theory and methods of ordinary differential equation is not only widely used in natural science, And more and more appli

4、ed in various fields of social science.This article from the background of ordinary differential equations, Point four periods to introduce its developing process. From the background of ordinary differential equation, development, application, etc, Systematically introduce the history of ordinary d

5、ifferential equation and its application in the important significance in the development of mathematics. Keywords: Ordinary differential equation; develop; application目 錄摘 要Abstract第1章 緒論第2章 常微分方程的發(fā)展史 2.1常微分方程的產(chǎn)生背景 2.2常微分方程的發(fā)展2.2.1常微分方程經(jīng)典階段2.2.2常微分方程適定性理論階段2.2.3常微分方程解析理論階段2.2.4常微分方程定性理論階段第3章 常微分方程的

6、應(yīng)用3.1在物理學(xué)中的應(yīng)用3.2在生物學(xué)中的應(yīng)用3.3在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用結(jié)論參考文獻(xiàn)致謝附錄1附錄2第1章 緒論常微分方程是一個(gè)有長(zhǎng)期歷史，而又正在不斷發(fā)展的學(xué)科；是一個(gè)既有理論研究意義，又有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科；是一個(gè)既得力于其他數(shù)學(xué)分支的支持，又為其他數(shù)學(xué)分支服務(wù)的學(xué)科；是一個(gè)表現(xiàn)客觀自然規(guī)律的工具學(xué)科，又是一個(gè)數(shù)學(xué)可以為實(shí)際服務(wù)的學(xué)科常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一，常微分方程的形成與發(fā)展是與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及其他自然科學(xué)技術(shù)的發(fā)展相互促進(jìn)和相互推動(dòng)的，數(shù)學(xué)的其他分支的發(fā)展如復(fù)變函數(shù)、李群、拓?fù)鋵W(xué)等都給常微分方程的發(fā)展以深刻的影響當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)

7、展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域如自動(dòng)控制，化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等，這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解所以說(shuō)，應(yīng)用常微分方程的理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是它的現(xiàn)有理論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善所以，研究常微分方程的發(fā)展及應(yīng)用有重要的意義 第2章 常微分方程的發(fā)展史2.1 常微分方程的產(chǎn)生背景隨著微積分的建立，微分方程理論也發(fā)展起來(lái)了牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分是不嚴(yán)格的，在生產(chǎn)力的提高迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科發(fā)展的前提下，18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們一方

8、面努力探索微積分嚴(yán)格化的途徑，一方面往往又在應(yīng)用上大膽前進(jìn)，大大地?cái)U(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍尤其是微積分與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，極大地拓展了微積分的應(yīng)用范圍，并促進(jìn)了微積分的萌芽微積分產(chǎn)生的一個(gè)重要?jiǎng)右騺?lái)自于人們探求物質(zhì)世界運(yùn)動(dòng)規(guī)律的需求，如聲學(xué)、流體力學(xué)、電磁學(xué)、幾何學(xué)等一般地，事物的規(guī)律很難完全靠實(shí)驗(yàn)觀測(cè)認(rèn)識(shí)清楚，因?yàn)槿藗儾豢赡苡^測(cè)到所有運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，但是運(yùn)動(dòng)又的確服從一定的客觀規(guī)律，把這個(gè)規(guī)律的式子用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)寫下來(lái)就是微分方程這就給我們提供了一種研究問(wèn)題的新思路，先寫出能表示運(yùn)動(dòng)關(guān)系的微分方程，然后通過(guò)對(duì)微分方程的求解來(lái)確定各個(gè)研究因素之間的關(guān)系，進(jìn)而弄清楚變量之間的規(guī)律和動(dòng)力學(xué)行為如電磁學(xué)提出了

9、著名的拉普拉斯方程，光學(xué)和聲學(xué)提出了波動(dòng)方程，熱學(xué)提出了熱傳導(dǎo)方程，量子力學(xué)中提出了薛定諤方程等等常微分方程是伴隨著微積分發(fā)展起來(lái)的，微積分是它的母體，生產(chǎn)生活實(shí)踐是它生命的源泉300年來(lái)，常微分方程誕生于數(shù)學(xué)與自然科學(xué)進(jìn)行嶄新結(jié)合的16、17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨都處理過(guò)與常微分方程有關(guān)的問(wèn)題成長(zhǎng)于生產(chǎn)實(shí)踐和數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)程，表現(xiàn)出強(qiáng)大的生命力和活力，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，在日常生活和生產(chǎn)中起著十分重要的作用如伽利略首先對(duì)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)研究，首創(chuàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)方法，并通過(guò)對(duì)落體和拋體等簡(jiǎn)單問(wèn)題的研究，探索力與運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律，發(fā)展了足以描述質(zhì)點(diǎn)加速度運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)理論牛頓則第一個(gè)大量運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)系統(tǒng)

10、整理物理理論，他總結(jié)、闡明和推廣了伽利略的動(dòng)力學(xué)定理1687年，牛頓在原理中建立了太陽(yáng)系行星的運(yùn)動(dòng)方程，這是常微分方程實(shí)際應(yīng)用的第一次歷史性成功常微分方程從此成為研究天文、物理、航海等方面的工具2.2 常微分方程的發(fā)展 常微分方程的形成與發(fā)展和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響對(duì)常微分方程來(lái)講，它的發(fā)展主要經(jīng)歷了經(jīng)典、適定性理論、解析理論和定性理論四個(gè)主要的階段，其標(biāo)志主要為求微分方程的通解，利普希茨條件的提出和李雅普諾夫的微分方程穩(wěn)定性理論的建立2.2.1 常微分方程經(jīng)典階段這一階段

11、以通解為主要研究?jī)?nèi)容，就像微積分在17世紀(jì)后期與18世紀(jì)前期的著作一樣，常微分方程最早的著作出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們彼此的通信中而且通信中所提到的解法可能僅僅是對(duì)某個(gè)特例的說(shuō)明，所以現(xiàn)在很難確切地說(shuō)是誰(shuí)首先得到某些概念或結(jié)論的1676年，萊布尼茨在給牛頓的信中第一次提出“微分方程”這個(gè)數(shù)學(xué)名詞常微分方程是由人類生產(chǎn)實(shí)踐的需要而產(chǎn)生的，其皺形的出現(xiàn)甚至比微積分的發(fā)明還早納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)，伽利略研究自由落體運(yùn)動(dòng)，笛卡爾在光學(xué)問(wèn)題中由切線性質(zhì)定出鏡面的形狀等等，實(shí)際上都需要建立和求解微分方程，牛頓和萊布尼茨在建立微分方程與積分運(yùn)算時(shí)就指出了他們的互逆性實(shí)際上是解決了最簡(jiǎn)單的微分方程的求解問(wèn)題此外，牛頓、萊布尼茨

12、也都用無(wú)窮級(jí)數(shù)和特定系數(shù)法解出了某些初等微分方程最早用分離變量法求解微分方程的是萊布尼茨，他用這種方法解決了形的方程，因?yàn)橹灰阉鼘懗删驮趦蛇呥M(jìn)行積分但萊布尼茨并沒(méi)有建立一般的方法，1691年他把自己在這方面的工作寫信告訴了荷蘭科學(xué)家惠更斯，同年他又解出了一階齊次方程，他令代入方程就可以使變量分離1693年惠更斯在教師學(xué)報(bào)中明確提到了微分方程，而萊布尼茨同年則在另一家雜志的另一篇文章中，稱微分方程為特征三角形的邊的函數(shù)，并給出了線性方程的通解表達(dá)式：其中是任意常數(shù)1740年歐拉用自變量代換，把歐拉方程線性化而求的通解，其中是常數(shù) 通解與特解的概念是1743年歐拉定義的，同時(shí)歐拉還給出恰當(dāng)方程的

13、解法和常系數(shù)線性齊次方程的特征根解法微分方程的解有時(shí)也稱該方程的積分，因?yàn)榍笪⒎址匠探獾膯?wèn)題在某種意義上正是普通積分問(wèn)題的一種推廣1694年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰伯努利在教師學(xué)報(bào)上對(duì)分離變量法與齊次方程的求解做了更加完整的說(shuō)明他的哥哥雅科布伯努利發(fā)表了關(guān)于等時(shí)問(wèn)題的解答，雖然萊布尼茨已經(jīng)給出了這個(gè)問(wèn)題的一個(gè)分析解微分方程教材中所見(jiàn)到的伯努利方程（為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù))，最初就是雅科布伯努利于1695年提出的1696年萊布尼茨證明：利用變量替換，可以將方程化為線性方程（與的一次方程），同年，雅科布伯努利實(shí)際上用分離變量法解決了這一方程，約翰伯努利給出了另一種解法，還提出了常系數(shù)微分方程的解法17世紀(jì)到

14、18世紀(jì)是常微分方程發(fā)展的經(jīng)典理論階段，以求通解為主要研究?jī)?nèi)容在這一階段，還出現(xiàn)了許多精彩的成果例如1694年，萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了方程解族的包絡(luò)1718年泰勒提出奇解的概念，克萊羅和歐拉對(duì)奇解進(jìn)行了全面研究，給出從微分方程本身求得奇解的方法，參加奇解研究的數(shù)學(xué)家還有拉格朗日、凱萊和達(dá)布等人2.2.2 常微分方程適定性理論階段19世紀(jì)初期和中期是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)變時(shí)期群的概念、復(fù)變函數(shù)的開(kāi)創(chuàng)等都在這個(gè)時(shí)期，常微分方程深受這些新概念和新方法的影響，進(jìn)入了它發(fā)展的第二個(gè)階段，這一階段主要以定解問(wèn)題的適定性理論為研究?jī)?nèi)容，1685年，偉大的數(shù)學(xué)家萊布尼茨向數(shù)學(xué)界推出求解方程（里卡蒂方程的特例）的通解的

15、挑戰(zhàn)性問(wèn)題，且直言自己研究多年未果這個(gè)方程雖形式簡(jiǎn)單，但經(jīng)多年幾代數(shù)學(xué)家的全力沖擊仍不得其解1841年法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾證明了意大利數(shù)學(xué)家里卡蒂1724年提出的里卡蒂方程的解一般不能通過(guò)初等函數(shù)的積分來(lái)表達(dá)，從而讓大家明白了不是什么方程的通解都可以用積分手段求出的，能有初等解法的微分方程是很有限的，這就促使人們尋求別的方法研究微分方程的問(wèn)題里卡蒂方程的研究迫使人們另辟蹊徑，考慮不借助于解的表達(dá)式而從方程本身的特點(diǎn)去推斷其解的性質(zhì)（周期性、有界性、穩(wěn)定性等），以及尋求各種近似求解的方法，從而導(dǎo)致微分方程理論的研究進(jìn)入了一個(gè)多樣化的發(fā)展時(shí)期在物理、力學(xué)上所提出的微分方程問(wèn)題，大都要求滿足某種附加條件

16、的特解，即所謂定解問(wèn)題的解這樣，人們開(kāi)始改變了原來(lái)的想法，不去求通解，而從事定解問(wèn)題的研究，人們從求通解的熱潮轉(zhuǎn)向研究常微分方程定解問(wèn)題的適定性理論18世紀(jì)以后不斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問(wèn)題，迫使數(shù)學(xué)家們轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥?wèn)題的思考常微分方程理論研究中的一個(gè)基本問(wèn)題是微分方程是否有解存在？如果有解存在，其解是否唯一？這個(gè)問(wèn)題的解決不僅可以使數(shù)學(xué)家避免對(duì)一些根本無(wú)解的方程作無(wú)謂的研究，而且直接影響并得出了微分方程的基本理論這些基本理論包括：解的存在及唯一性，延展性，解的整體存在性，解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性等19世紀(jì)20年代，柯西建立了柯西問(wèn)題解的存在唯一性定理1873年，德國(guó)數(shù)學(xué)家利

17、普希茨提出著名的“利普希茨條件”對(duì)柯西的解存在唯一性定理作了改進(jìn)1838年，劉維爾在研究熱傳導(dǎo)方程時(shí)提出了逐步逼近法，1890年，皮卡給出了逐步逼近法的普遍形式，并逐漸形成了微分方程的一般理論在微分方程理論中，逐步逼近法是比較經(jīng)典的方法最早，柯西、利普希茨等曾使用這種方法解決某些特殊類型方程解的存在性問(wèn)題1893年，皮卡把這一方法應(yīng)用到一般非線性微分方程上，因而又被稱為皮卡逐步逼近法，建立了解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理是微分方程理論研究中最重要的基本問(wèn)題，是微分方程理論研究的基礎(chǔ)從柯西起，對(duì)唯一性問(wèn)題的研究已有非常之多，條件也是多種多樣1993年，阿格沃爾對(duì)解的存在唯一性問(wèn)題的研究結(jié)果

18、作了全面系統(tǒng)的總結(jié)，對(duì)各種不同的判據(jù)作了詳盡的分析比較，為此問(wèn)題的進(jìn)一步研究提供了必要的思路直到現(xiàn)在，解的存在唯一性問(wèn)題仍是常微分方程理論中非常重要的一個(gè)研究課題常微分方程初值問(wèn)題的解的存在性的研究，有力的推動(dòng)了人們對(duì)各種方程的求解和探索1833年，斯圖姆首先著手研究二階方程的邊值問(wèn)題，1836年至1837年間，他給出了具有變系數(shù)的齊次線性二階常微分方程在給定條件下具有非零解的條件同一時(shí)期，斯圖姆和劉維爾還開(kāi)創(chuàng)了邊值問(wèn)題和特征值問(wèn)題，在近代物理和工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用，并且構(gòu)成了常微分方程的一個(gè)重要的分支，即二階線性方程的邊值問(wèn)題和振動(dòng)理論這一階段主要以定解問(wèn)題的適定性理論為研究?jī)?nèi)容，研究了初

19、值問(wèn)題解的存在性，初值問(wèn)題解的唯一性，邊值問(wèn)題等2.2.3 常微分方程解析理論階段 19世紀(jì)為常微分方程發(fā)展的解析理論階段，這一階段的主要成果是微分方程的解析理論，運(yùn)用冪級(jí)數(shù)和廣義冪級(jí)數(shù)法，求出一些重要的二階線性方程的級(jí)數(shù)解，并得到極其重要的一些特殊函數(shù) 1816年貝塞爾研究行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，開(kāi)始系統(tǒng)的研究貝塞爾方程這個(gè)方程的特殊情形早在1703年雅科布伯努利給萊布尼茨的信中就已提到后來(lái)丹尼爾伯努利、歐拉、傅里葉和泊松也都討論過(guò)這一方程對(duì)每個(gè)，貝塞爾得到了此方程存在的兩個(gè)獨(dú)立的基本解，記作和，稱為第一類貝塞爾函數(shù)或階貝塞爾函數(shù)，稱為第二類貝塞爾函數(shù)或階貝塞爾函數(shù)初等函數(shù)之外的函數(shù)稱為特殊函數(shù)貝塞爾函

20、數(shù)就是特別重要的特殊函數(shù)之一，貝塞爾求得貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解令貝塞爾方程有形如的級(jí)數(shù)解，代入貝塞爾方程得到，且得到了系數(shù)的遞推公式，進(jìn)而得到了系數(shù)的表達(dá)式，1818年，貝塞爾證明了有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)1824年，貝塞爾給出了遞推公式后來(lái)有眾多數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家得出貝塞爾函數(shù)的數(shù)以百計(jì)的關(guān)系式和表達(dá)式1944年，劍橋大學(xué)出版了G.N.Watson的巨著貝塞爾函數(shù)教程，是貝塞爾函數(shù)研究成果的集成由此可見(jiàn)，貝塞爾為微分方程解析理論做出了巨大貢獻(xiàn)在解析理論中另一個(gè)極重要的內(nèi)容是勒讓德方程的級(jí)數(shù)解和勒讓德多項(xiàng)式方面的成果1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒讓德方程給出了冪級(jí)數(shù)形式的解與此同時(shí)，厄米特研究

21、了方程：，得到了其冪級(jí)數(shù)解，當(dāng)是非負(fù)偶數(shù)即為著名的厄米特多項(xiàng)式切比雪夫在研究方程（是常數(shù)）時(shí)，得出時(shí)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解（基本解），且證明當(dāng)是非負(fù)整數(shù)時(shí)，此方程有一個(gè)解為次多項(xiàng)式，此多項(xiàng)式即為著名的切比雪夫多項(xiàng)式另外，在常微分方程的解析理論研究中，也有數(shù)學(xué)家高斯的成果1821年，他研究了高斯幾何方程得到級(jí)數(shù)解這個(gè)級(jí)數(shù)稱為超幾何級(jí)數(shù)同時(shí)他還建立了公式并指出對(duì)的不同值，此級(jí)數(shù)包括了幾乎所有的初等函數(shù)和類似貝塞爾函數(shù)的特征函數(shù)19世紀(jì)方程解析理論中一個(gè)重點(diǎn)成果是關(guān)于奇點(diǎn)的富克斯理論，他看到著名的貝塞爾方程，勒讓德方程和高斯幾何方程等，如果表示成形如的形式，則系數(shù)有奇異性，于是富克斯深入研究這種齊次線性方

22、程在奇異點(diǎn)鄰域內(nèi)解的性質(zhì)他把改成在復(fù)平面上討論此種方程，得出許多成果隨后，經(jīng)斯圖姆和劉維爾各自相應(yīng)的研究，豐富了方程解析理論的內(nèi)容1877年希爾研究二階方程，其中以為周期的偶函數(shù)，用他研究的結(jié)論證實(shí)月球近地點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是周期性的，開(kāi)創(chuàng)了周期系數(shù)方程的研究，龐加萊也參與了希爾方程的研究，并在希爾工作的啟發(fā)下，龐加萊為支配行星運(yùn)動(dòng)以及行星和衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性的微分方程的周期解的研究開(kāi)辟了一條新的途徑，開(kāi)創(chuàng)了微分方程定性研究的新時(shí)代2.2.4 常微分方程定性理論階段早在19世紀(jì)，龐加萊開(kāi)創(chuàng)了微分方程定性理論研究，李雅普諾夫則開(kāi)創(chuàng)了微分方程運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論的研究穩(wěn)定性問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是考察系統(tǒng)由初始狀態(tài)擾動(dòng)引起的受擾

23、運(yùn)動(dòng)能否趨近或返回到原平衡狀態(tài)而平衡狀態(tài)是，若存在狀態(tài)向量，對(duì)所有的，都有成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，如果，且非奇異，則原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)到了20世紀(jì)是微分方程的定性理論階段自從1841年劉維爾證明里卡蒂方程不存在初等函數(shù)積分表示的解之后，研究方程的方法有了明顯變化，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始從方程本身（不求解）直接討論解的性質(zhì)法國(guó)數(shù)學(xué)家們研究的三體問(wèn)題就不能用已知函數(shù)解出，從而運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題就不可能通過(guò)考察解的性態(tài)而得到龐加萊終于找到了從方程本身找出答案的訣竅，1881年到1886年，他在Jour,de Math雜志上用同一標(biāo)題關(guān)于由微分方程確定的曲線的報(bào)告發(fā)表了四篇論文，他說(shuō)“要解答的問(wèn)題是動(dòng)點(diǎn)

24、是否描出一條閉曲線？它是否永遠(yuǎn)逗留在平面某一部分內(nèi)部？換句話說(shuō)，并且用天文學(xué)的話來(lái)說(shuō)，我們要問(wèn)軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的？從1881年起，龐加萊獨(dú)創(chuàng)出常微分方程的定性理論，定性理論的實(shí)質(zhì)是在不求解的情況下，直接考察微分方程的系數(shù)和方程本身的結(jié)構(gòu)，從而研究解的性質(zhì)（如曲線的形狀、結(jié)構(gòu)和趨勢(shì)等等）此后，為了尋求只通過(guò)考察微分方程本身就可以回答關(guān)于穩(wěn)定性等問(wèn)題的方法，他從非線性方程出發(fā)，發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點(diǎn)起關(guān)鍵作用，并把奇點(diǎn)分為四類（焦點(diǎn)，鞍點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)，中心），討論了解在各種奇點(diǎn)附近的性狀，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了一些與描述滿足微分方程的解曲線有關(guān)的重要的閉曲線如無(wú)接觸環(huán)，極限環(huán)等，同時(shí)，龐加萊關(guān)于常微分方程定性理

25、論的一系列課題，成為動(dòng)力系統(tǒng)理論的開(kāi)端美國(guó)數(shù)學(xué)家伯克霍夫以三體問(wèn)題為背景，擴(kuò)展了動(dòng)力系統(tǒng)的研究另一位常微分方程定性理論的主要?jiǎng)?chuàng)始人是挪威數(shù)學(xué)家班迪克遜從1900年起，他開(kāi)始從事由龐加萊開(kāi)創(chuàng)的微分方程軌線的拓?fù)湫再|(zhì)的研究工作，1901年發(fā)表著名論文由微分方程定義的曲線常微分方程定性理論中另一個(gè)重要領(lǐng)域是1892年由俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫創(chuàng)立的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論1892年李雅普諾夫的博士論文關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題給出了判定運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的普遍的數(shù)學(xué)方法與理論基礎(chǔ)關(guān)于李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性和伯克霍夫意義下的極限集的表現(xiàn)形式是多姿多彩的到1937年數(shù)學(xué)家龐特里亞金提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論就其性質(zhì)而言

26、屬于結(jié)構(gòu)力學(xué)的一個(gè)分支，其發(fā)展過(guò)程與金屬結(jié)構(gòu)工程的發(fā)展息息相關(guān)例如在各類鋼結(jié)構(gòu)中，都會(huì)遇到穩(wěn)定問(wèn)題，而任何結(jié)構(gòu)體系在荷載作用下都應(yīng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，否則偶然的擾動(dòng)都可能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過(guò)大的變形而失穩(wěn)同時(shí)他嚴(yán)格證明了其充要條件，使動(dòng)力系統(tǒng)的研究向大范圍轉(zhuǎn)化20世紀(jì)中期以后是常微分方程的定性理論階段，這一階段主要以定性和穩(wěn)定性理論為研究?jī)?nèi)容，龐加萊開(kāi)創(chuàng)了常微分方程的定性理論，李雅普諾夫則在龐加萊定性分析的基礎(chǔ)上，開(kāi)創(chuàng)了常微分方程的穩(wěn)定性理論，將龐加萊關(guān)于奇點(diǎn)附近積分曲線隨時(shí)間變化的定性研究進(jìn)一步完善和發(fā)展了定性理論總之，微分方程是一門十分有用又十分有魅力的學(xué)科，自1693年微分方程概念的提出到動(dòng)力系統(tǒng)

27、的長(zhǎng)足發(fā)展，常微分方程經(jīng)歷漫長(zhǎng)而又迅速的發(fā)展，極大豐富了數(shù)學(xué)家園的內(nèi)容隨著社會(huì)技術(shù)的發(fā)展和需求，微分方程會(huì)有更大的發(fā)展，比如偏微分方程的迅速發(fā)展第3章 常微分方程的應(yīng)用 常微分方程的應(yīng)用十分廣泛，無(wú)論是在工程技術(shù)、自動(dòng)控制理論、物理等自然科學(xué)領(lǐng)域，還是在經(jīng)濟(jì)、金融、保險(xiǎn)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域它不僅可以描述某些實(shí)際問(wèn)題的演化規(guī)律，而且可以明確解釋在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象產(chǎn)生的原因同時(shí)可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題物理中許多涉及變力的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，如受與速度成比例空氣的阻力時(shí)的落體運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題，很多可以用常微分方程求解因此，我們常利用這些規(guī)律對(duì)某些實(shí)際問(wèn)題列出微分方程，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模

28、型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.本部分將舉出常微分方程在物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用3.1 在物理學(xué)中的應(yīng)用 例3.1.1 包含電阻、電感、電容及電源的電路稱為電路，電路是電子電路的基礎(chǔ)根據(jù)電學(xué)知識(shí)，電流經(jīng)過(guò)，的電壓降分別為,和，其中為電量，它與電流的關(guān)系為，根據(jù)基爾霍夫第二定律：在閉合回路中，所以支路上的電壓的代數(shù)和等于零假設(shè)，為常數(shù)，電源電壓是時(shí)間的已知函數(shù)當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)有關(guān)系式，微分上式，代入，便得到以時(shí)間為自變量、電流為未知函數(shù)的常微分方程當(dāng)電源電壓是常數(shù)時(shí)，上述微分方程變?yōu)槿邕€有，微分方程進(jìn)一步化簡(jiǎn)為3.2 在生物學(xué)中的應(yīng)用 例 3.2.1 生物學(xué)中的SIR傳染病模型：假設(shè)傳染病傳播期間其地區(qū)總

29、人數(shù)不變，為常數(shù)開(kāi)始時(shí)染病人數(shù)為，在時(shí)刻的健康人數(shù)為，染病人數(shù)為傳染系數(shù)為，在時(shí)刻的愈后免疫人數(shù)為，治愈率為，可得，由上三式可消去，得，SIR模型曾被克馬克等用于檢驗(yàn)本世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫，其理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合3.3 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一個(gè)公司的資產(chǎn)運(yùn)營(yíng)可以被看作有兩個(gè)方面的作用一方面，它的資產(chǎn)可以像銀行存款一樣獲得利息（盈?。?，另一方面還要用于發(fā)放職工工資用表示該公司的初始資產(chǎn)，若用表示時(shí)某公司的凈資產(chǎn)，則就表示凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率，凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率=利息盈?。ㄔ鲩L(zhǎng)）的速率-工資支付速率 例 3.3.1 某公司年凈資產(chǎn)有（單位：百萬(wàn)元），并且資產(chǎn)以每年5%的速度增長(zhǎng)，同時(shí)該公司每年要以200百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資（1）給出描述凈資產(chǎn)的微分方程；（2）假設(shè)初始凈資產(chǎn)為，求解方程；（3）當(dāng)=3000,4000,5000三種情況下的變化特點(diǎn)解：（1）根據(jù)：凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率=利息盈?。ㄔ鲩L(zhǎng)）的速率-工資支付速率得，=0.05（）這就是該公司的凈資產(chǎn)所滿足的微分方程（2）分離變量得， ln =4000+由于 時(shí)，得所以，該公司凈資產(chǎn)表達(dá)式為：（3）若=4000，則=4000為平衡解；=5000 =，公司凈資產(chǎn)將不斷增長(zhǎng)；=3000 =4000，公司凈資產(chǎn)將不斷減少例3.3.2 某商品的需求量對(duì)價(jià)格的彈性為，若該商品的最大需求量為120