淺談如何記憶數(shù)學(xué)定理和公式楊海軍

1、大家都知道數(shù)學(xué)中的定理和公式是反映數(shù)學(xué)対象的屬性之間的關(guān)系的，它們的應(yīng)用非常 廣泛，證明方法具有代表性，是否牢固記憶并靈活運(yùn)用，是能否學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)概念以及定理，公式是解題的理論和有力工具，只有概念清晰，定理公式熟悉，才 能有正確的思維基礎(chǔ)，形成推理論證的能力和運(yùn)算的技能技巧，但是，有的同學(xué)不重視概念 和定理公式的學(xué)習(xí)，概念模糊不清，定理公式一知半解，解題中胡套亂碰，致使思維混亂。 數(shù)學(xué)能力得不到提高。例如，在計(jì)算這個(gè)題目時(shí)(sinlo° +icoslo° ) 3,不少同學(xué)忽略了這個(gè)定理對(duì)于復(fù)數(shù)的 三角形形式可運(yùn)用的條件，錯(cuò)誤地得到(sinlo° +icos

2、lo° ) 3=sin30° +isin30° 的結(jié)果。又如，求經(jīng)過點(diǎn)p (7, 1/2)且切于橢圓x2 +4y2 =10的切線方程，有的同學(xué)不問卩點(diǎn) 在不在橢i員1上，便亂套切線公式而得到7x+2y=10的錯(cuò)誤結(jié)論。類似的錯(cuò)謀在高考試卷屮反映更突出。如高考屮出了一道“敘述并證明勾股定理”的 試題。有許多考生對(duì)長(zhǎng)樣一個(gè)應(yīng)用極為廣泛的重要的定理不會(huì)叔述，也不會(huì)推理，有人把勾 股定理敘述為：勾三股四弦五，推理中更是錯(cuò)誤百出，甚至連最棊本的邏輯關(guān)系也搞不清楚, 還出現(xiàn)循環(huán)論證的錯(cuò)謀。有人是這樣證明的i c2=a2+b2-2ab cosc乂 c=90° cosc

3、=0c2=a2+b2'還有人是這樣證明的：a=c sina,b=c cosa,°a2+b2=c2(sin2a4-cos2a)c2只要考生對(duì)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，特別是復(fù)合函數(shù)的利用求導(dǎo)法則記的清楚，可以順手寫 來(lái)：y,=2(cos x/3)(cosx/3)'(幕函數(shù)求導(dǎo)公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)=2 (cosx/3)(sinx/3)(x/3)，(余弦函數(shù)求導(dǎo)公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)=-2 cos x/3 sinx/3 (1/3 1)(一次函數(shù)求導(dǎo)公式)對(duì)于正弦函數(shù)的倍角公式也熟悉的話，馬上就可寫出最后結(jié)果：l/3sin2x/3.高考還出了一道“求(l+i) 20展開式中笫15

4、項(xiàng)的數(shù)值”的考題。如果你對(duì)于二項(xiàng)式 展開式的通項(xiàng)公式，幕函數(shù)的性質(zhì)，組合數(shù)的計(jì)算公式熟悉的話，可以順手寫來(lái)，遺憾的是, 這樣直接套用公式，法則的題口，得到滿分的考牛只占三分之一左右。因此，大家在學(xué)習(xí)中，一定要把重要的定理和公式記牢。冇的同學(xué)說(shuō)：“我的腦子笊，記不住”。我們說(shuō)記憶力不是天生就冇的，而是靠后天培 養(yǎng)的。青少年時(shí)代是一個(gè)人一生屮記憶力最強(qiáng)的時(shí)期，人家應(yīng)該發(fā)揮這個(gè)有時(shí)，多記憶一些 東西，因?yàn)橛洃浭侨祟惙e累知識(shí)，增加指揮的基本條件。我們知道記憶就是要和遺忘作斗爭(zhēng)。學(xué)了不用最容易忘記，經(jīng)常運(yùn)用自然而然就記住 了，重復(fù)是記憶之母，根據(jù)心理學(xué)家的研究，沒有八次重復(fù)，要想記住是不可能的。對(duì)于數(shù)

5、學(xué)這門科學(xué)，我認(rèn)為最好的記憶方法是在認(rèn)真閱讀教材，理解概念，弄清定理，公式的條件 和結(jié)論以及應(yīng)用范圍的基礎(chǔ)上，演算一定數(shù)雖:的習(xí)題，學(xué)數(shù)學(xué)不做題是不行的，做少了達(dá)不 到熟悉程度更談不上靈活應(yīng)用。平常我們說(shuō)熟能生巧就是這個(gè)意思，巧從熟來(lái)，熟從練中 來(lái)。當(dāng)然，我們也不要盲冃的多練，耍有冃的，有選擇，有計(jì)劃的進(jìn)行練習(xí)，通過練習(xí)加強(qiáng)記憶，摸索規(guī)律，總結(jié)方法。為了幫助人家培養(yǎng)記憶能力，下面介紹幾種記憶方法：1理解記憶法理解是記憶的基礎(chǔ)，只有理解了的東西才容易記住，不理解或者不大理解的東西，就 不容易記住，而且往往記錯(cuò)，比如，有些同淫在記憶纟h.合公式時(shí)，常常錯(cuò)記成 c,nn=pmnm!這是因?yàn)閷?duì)排列數(shù)和

6、組合數(shù)這些公式z間的內(nèi)在聯(lián)系缺乏正確認(rèn)識(shí)造成 的。弱國(guó)在學(xué)習(xí)屮能從排列和組合的意義明確p0；比cmn多一個(gè)將m個(gè)元素進(jìn)行排列 的問題，那么就有pmn=cmn m!, c,pmn/m!這樣理解地記憶就不會(huì)記錯(cuò)了。又如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式e 呦+d”)等比數(shù)列也冇此特點(diǎn)。nas” = * d(l-q").i 9只要掌握等差數(shù)列的“首末等距的倆項(xiàng)和相等啲性質(zhì)，在理解的基礎(chǔ)上，很容易記住 這個(gè)公式，即使一時(shí)忘記，也會(huì)很快順理推出。2.骨架記憶法數(shù)學(xué)中的公式，定理表面看雜亂無(wú)章，不容易記住，在復(fù)習(xí)中可以進(jìn)行歸類，揭示它 們的規(guī)律，放在一個(gè)“骨架”就容易記住，比如，止弦函數(shù)，余弦函數(shù)五個(gè)特殊

7、角的函數(shù)值：sin- = ,cos-=-,sin-=-32326 2等等很容易記混，我們可以把特姝角從小到大排列，把對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值按順序放在這個(gè)骨架里如f表角函數(shù)值071671471371正弦函數(shù)值vo72v3礎(chǔ)22222余弦函數(shù)值v4v372也vo22222從上表我們看到：正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值都是有統(tǒng)一的形式：1,根號(hào)內(nèi)的2數(shù)值對(duì)于正弦函數(shù)值來(lái)說(shuō)，順序顛倒過來(lái)，把鼓勵(lì)的特殊角的三角函數(shù)值來(lái)說(shuō)，順序是：0.1.2.3.4,而對(duì)余弦函數(shù)值來(lái)說(shuō)，順序恰好顛倒過來(lái)，把鼓勵(lì)的特殊的三角函數(shù)值放到了有規(guī)律性的骨架里就容易記憶了。人家知道，平面集合和立體集合屮，有關(guān)求面積，體積的公式很多，

8、鼓勵(lì)記憶十分不 方便，可以把這些公式的骨架記住，具體的公式則順理推岀，無(wú)論是面積公式、還是體積公 式都可以放到下而的骨架里：求積公式二系數(shù)乘以（底高）其中的系數(shù)只有1, 1/2, 1/3三種可能，從圖形的直觀上看上下一樣吋系數(shù)為1,上 下不一樣是求面積的系數(shù)為1/2,求體積的系數(shù)為1/3。例如正方形，由于圖形上卜不一樣，面積=1（底高）正方體，由于圖形上下一樣，側(cè)面積=1 （底高）這里的“底”是指底面周長(zhǎng)。又如，圓錐，由于圖形上下不一樣側(cè)面積=1/2 （底高）這里的“底”是底面周長(zhǎng)，高是斜高（母線）體積=1/2 （底高）由于梯形冇上，下底，所以這里的“底”指“上底和下底的和”正棱臺(tái)，由于圖形上

9、下不一樣，側(cè)血積=1/2這里的“底”指“上底周長(zhǎng)+下底周長(zhǎng)”，“高”指斜高，體積=1/3 （底高）這里的“底”指“上底面積+下底面積+”上，下底而積的比例屮項(xiàng)“3.想象記憶法。想彖直觀的感性認(rèn)識(shí)是記憶的基礎(chǔ)，因此，生活中的生動(dòng)事例以及只管圖彖都是記 憶的有力助手，抓住生活實(shí)例以及只管圖象進(jìn)行記憶，是很有效果的記憶方法。大家知道，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)不容易記住，我們可以借助支書函數(shù)的圖彖幫助記憶。支書函數(shù)的圖象，只有倆種情形：要不一撇要不一捺，而且被（0, 1）點(diǎn)各截成倆段，結(jié)合圖象容易記住：在a>l時(shí), 圖象是一撇，自然有x<0吋，0<y<l.在a<l吋圖彖是一捺，自然

10、有x>0吋候，0<yvl；x<0 時(shí),y>l,只要將圖象草草一畫，性質(zhì)馬上就擺在眼前，萬(wàn)無(wú)一失.secacscacota類似的，我們也可以通過圖象記憶對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)冇這樣一道題:設(shè)0<x<l,a>0,ahl, 比較丨loga(l-x) |的大小(要寫出比較過程)，在求解的過程求絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，就要利用対數(shù)函 數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷l(xiāng)oga(l-x)和loga(l+x)大于或者小于0的問題.許多同學(xué)由于記不住對(duì)數(shù)函數(shù) 的性質(zhì)而無(wú)法做出解答，或者得出錯(cuò)誤的結(jié)論如果腦子里有對(duì)數(shù)函數(shù)的圖彖或草草的把圖彖 異化，性質(zhì)馬上就百在眼前，于是立即可得:當(dāng)a>l時(shí)loga(

11、l-x)<0, loga(l+x)>0.s 0<a<l時(shí)候, loga( 1 -x)>0 loga( 1 +x)<0利用六邊形記憶同角三和函數(shù)的公式(1) 平方關(guān)系記映影部分(2) 倒數(shù)關(guān)系記對(duì)角線(3) 比值關(guān)系記左右旋轉(zhuǎn)4口訣記憶法某些數(shù)學(xué)公式具有共同規(guī)律，可以用精練準(zhǔn)確的語(yǔ)言編 成口訣進(jìn)行記憶三角學(xué)中的誘導(dǎo)公式，由6種三角函 數(shù),9種角的情況共推出9乘以6=54個(gè)公式，如果孤立的一個(gè)一個(gè)去記，是很困難的，人們編了一句口訣:單變雙不變，符號(hào)看象限也有說(shuō)：奇變 偶不變，符號(hào)看象限。如:cos(龍 + a) = -cos6zcot(270° +a)

12、 = -tana.sec(270° +a) = csca,csc(270°+a) = -seca這就容易多了.cos(龍一 a) = -coscifcot(270° +a) = -tana.判斷符號(hào)有：一正二正弦，三切i川余弦tan(-6z)= -tancz對(duì)數(shù)值計(jì)算法則，可概括為如下口訣記憶取對(duì)數(shù):已知真樹求對(duì)數(shù)，首樹尾數(shù)分別求，根據(jù)位數(shù)定首樹，再用數(shù)表杳尾數(shù).取反對(duì)數(shù):己知對(duì)數(shù)求真數(shù)，定數(shù)定位倆步走，先川數(shù)表查數(shù)字，再用首數(shù)定位數(shù).這樣可以較快的把運(yùn)算法則記住，在應(yīng)用時(shí)口訣伴以必要的理解，就能取得很好的效來(lái). 利用c軸幫助記憶圓錐曲線的離心率，其口訣位e為零，

13、是正圓，零到1,是橢圓e為1拋物線,人于1,雙曲線.5,特征記憶法抓住公式形式上的幾個(gè)特征進(jìn)行記憶，可以避免相混.大家知道，和差化積四個(gè)公式很不好記，容易混淆，可以抓住他們的特征進(jìn)行記憶：b + esin()+sing 二 2sin?e-0coscos 29+00 -0a 22sin()-sin <t>二2cossin8+e e -022cos 0 -cos <l>=-2sinsin 公式左邊為正弦，差,余弦和，差，即同名正，余弦z和，差正弦和差化積為正余弦交叉z,和為余弦z積，差為正弦之積.(3)和角之半在前，差角之半再后，正弦和差化積余弦和化積的系數(shù)為正號(hào)，余弦差化

14、積 的系數(shù)為負(fù)號(hào)：丄cos a cosb 二 2 cos ( a + 0 ) +cos ( a - 0 )cos a sin bsin (a + 3 )-sin( a -b)sin a sin b 二一？ cos( a +b )-cos( a - 3 )丄sin a cos 3 sin( a + b )+sin( a - 3 )通過觀察我們發(fā)現(xiàn):前面?zhèn)z個(gè)公式是等效的，只需記住一個(gè)就可以了，因此可省去一個(gè)，其余三 個(gè)公式可以改寫成下而的形式：丄丄"2"2sin a cos b二sin( a 一 b)+sin(a + b)cos a cos b 二cos ( a - b )+cos