高三數(shù)學(xué)概念方法題型易誤點(diǎn)總結(jié)（六）

1、高三數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點(diǎn)總結(jié)(六)班級(jí)姓名六、不等式1、不等式的性質(zhì)：(1 )同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a>b,c>d ,則 a + c > b + d (若a> h,c<d ,則a-c>h-d ),但異向不等式不可以相加；同向不 等式不可以相減；(2) 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可 以相除，但不能相乘：若a > b > 0, c > d > 0 ,則ac > bd (若d > b > 0,0 v c v ，則 a b、c d(3) 左右同正不等式：兩邊可以同

2、時(shí)乘方或開(kāi)方：若a>b>0f則a11 > bn或 麗咖；(4)若ab>0f a>b,則丄v丄；高考數(shù)學(xué)模擬試題分類(lèi)解析一第a h六章不等式若ab<0f a>b,則丄>丄。a b如(1 )對(duì)于實(shí)數(shù)ci,b,c中，給岀下列命題：若a > b,貝ijac? abe?；若ac? >力,則° > b :若g <b < 0,則a2 > ab>b2 ;若a <b <0,則丄 <: a b若 a <b <0,貝！j 仝 > 纟；若 a <b <0,貝！> b

3、 :若 c > a> b>0,貝 o " > 方; ahc-a c-h若丄丄，則a>0,b<0o其中正確的命題是a b答：正確的命題有解:(2)已知一 lwx+ysl, l<x-y <3 ,則3兀一y的取值范圍是;1° il3x- y = m(x+ y) + n(x-y) = (m + n)x + (m-n) ym + /2 = 3/ 1 < x-y < 3,/ 2 < 2(x-< 6相力口得：l<3x-y<7又lsx+ysl3x-ye 1,7;2°線(xiàn)性規(guī)劃法11<x-<

4、;3l,zmax=7.i己z = 3x y則由畫(huà)圖得：/. zg 1,7(3)已知dbc,且 q + /? + c = 0,則£ 的取 a織°，一爪 呢(2,-1)值范圍是;c解：t q > b > c + b + c = 0, a > 0, c v 0, 一 v 0 ;a a >b.b = -a-c,:. a>-a-cb > c.:. -a - c > c.£>-2； ac1va2綜合得:-a2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手 段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)

5、幕的代數(shù)式）；（3）分析法;（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中 間量或放縮法；（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）設(shè)a0且a h 1,/> 0 ,比較丄log和log“七乜的大??；解:/ t > 0,> yft2 0 v a v 1 時(shí)，-log t > log“ :丄 1(1/ +1。>1 時(shí)，-logrt/<log£，1 2當(dāng)且僅當(dāng)/ = 1時(shí)等號(hào)成立.（等號(hào)在/ = 1時(shí)成立）.2 2(2) 設(shè)a2, = d + q = 2a +4a2,試比較 pq 的大小;<7-2

6、解：/ a > 2,. a - 2 > 0, > 0 a 2p = a + = (°-2) + 2 > 4a-2a-2q = 2a2+4a2 = 2一("一駅+2 < 22 = 4p> q.(3) 比較1 + log, 3與2log, 2(x > 0且兀h 1)的大??；4 解：1 + logi 3 = log, (3兀),21og 2 = log, 4 由 3x>4得：x> 4 .*.x>時(shí)，1 + logv3> 2logv 24 x = - b寸，1 + logv 3 = 2 log v 241 <x

7、< b寸，1 + logv3< 2logv 20 < x < 1b 寸，1 + logv 3 > 2 logv 2.3. 利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定 積最大，積定和最小”這17字方針。如 （1） 下 列 命 題 中 正 確 的 是（ ）1v2 +3a、y = x + -的最小值是2b、y =二:十的最小值是2c、y = 2-3x-彳（工>0）的最大值是2-4石d、y = 2-3x-纟（工>0）的最小值是2-m ;x答：c正確.(2)若x+2y = l,則2x+4v的最小值是 解：2a' + 4v >2

8、72 = 2722x = 4vx+2y=1x+2y即 x = j_,y =丄時(shí)，取得最小值24（3）正數(shù)九y滿(mǎn)足x + 2y = l,則-的最小值為x y解：1。（1的代換）丄+丄=注+沁=勺+蘭+ 3»3 + 2血* y2y_£% y兀+2y = 1當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)y *x = v2 1 近時(shí)，取得最小值3 + 2a/2.'=1一2° (三角代換)令 x = cos2 0.2y = sin2 0. 0k 9ke z< 2則 1 + 1 = sec22csc2 3 = 3 + tan2 + 2cot2 > 3 + 2>/2當(dāng)且僅當(dāng)tai?

9、& = 2cot20時(shí)，取得最小值3 + 2©4. 常用不等式有：（d據(jù)目標(biāo)不等式左右的ab運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；（2）日、6、ce r, 6f2 + z?2 4- c2 > ab beca （當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 時(shí)， 取等號(hào)）；（3）若°>b>0,加>0,則2<也（糖水的濃度問(wèn)題）。a am如如果正數(shù)a、b滿(mǎn)足ab = a + b + 3 ,則ab的取值范圍是 解：9 ah = a + h + 3> 2fah + 3:.4ab>x4ab<-i （不可能）/. ab>9當(dāng) a = b 時(shí)，等號(hào)成立，/. ab

10、e 9,+x）5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是: 作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然 后作出結(jié)論。）.常用的放縮技巧有：-=j<4<-=-n n + 1“（n + 1） n n（n-l） n-1 nyj k + + k "lyfk yj k + yk如(1)已知abc,求證：a2b + b2c + c2a > ab -bc +ca ; 證：a2b4-b2c + c26f) -ab2 +bc2 + ca2) = tz2 (/?-c) + /?2 (c-6f) + c2 (a-b)=a2 (b-c)

11、 +戻(c-/?) + (/?-6z) + c2 (a_b)= (z?-c)(6f2 -/?2) +(6z-z?)(c2 -z?2)=(a _ b) (b _ c) (a + b _ b _ c)=(a_b)(b_c)(a_c)d >z?> c,上式大于零成立，得證.(2) 已知 a,b,cw r ,求證：a2h2 +/?2c2 -c2a2 > ahc(a-b + c): i£: a2b2 + b2c2 > 2ab2cb2c2 -c2a2 > labc1c2cr a1 b2 > 2a2bc相加得：a2b2 +/?2c2 +c2a2 habc(a+b

12、 + c).(3) 已 a9h9x, ye r+ , il>,x> y , 求證： 兀 >a b "x + a y + bv=>o o > >1 - b y> >1 一 q x廠(chǎng) lq<a<b=>->a b , a , b1 1 => < =>1 + <1 + 0<<% y x y兀y若 a > b c 是不全相等的正數(shù)，求證：i a + b . b + c . c + c . 7.lg 二一 + lgp- + lg 二一>lgo + lgz? + lgc;證：t

13、a,b,c為不全相等的正數(shù)，a + b > ahc > fhc,c + a > j石等號(hào)不同時(shí)成 2 2 2立.三式相乘得:a + b b + c c + q.> abc兩邊同取常用對(duì)數(shù)得：lg+ lg牛£ + lg c ；d > lg g + lg方+ lg c(5) 已知a,b,cw r ,求證：a2b2 + b2c2 +c2a2 >abc(a + b+c);(6) 若 77 n",求證：j(“ + l)2 +1 (咒 + 1) v +1 川；證：(分析法)只要證 js + 1+1 vj/ + 1 + 1證：(m + 1)2 + 1&

14、lt;m2 + 1 + 1 + 2aa? + 1只要證 2n < 2>/h2 + 1即證z?2</r + l而上式恒成立，原不等式得證.(7)已知|d胡糾，求證：ud也§凹土也； a-h a + h> ab _ 囚問(wèn)-問(wèn)(8)求證：1+4+422321_n- n(n<14- 1+即證 a + b<對(duì)+制,又 a-b> a綜合得:a-h業(yè)也.(媒介法)d + + a<2。rrr 11rt n-l)ni 11*. 1 h h- + 2232(讓2)2丿= 2-n<2.得證.(放縮法，裂項(xiàng)相消)6簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步

15、驟是：(1)分解成若干個(gè)一 次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一次因式的 根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線(xiàn)；并注意奇穿過(guò)偶彈回； (3)根據(jù)曲線(xiàn)顯現(xiàn)/(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集。如(1)解不等式(兀一 1)("2)2 20。； 解：由序軸標(biāo)根法得原不等式的解集為：xx> 1, orx = -2.(2)不等式(x-2)vx2-2x-3>0的解集是解：原不等式等價(jià)于不等式組u 3)x-2>0x2-2x-3>0x>2x>3,orx<-l綜合得：原不等式解集為 xx>3或兀=一1 .(3

16、)設(shè)函數(shù)/(兀)、g(x)的定義域都是r,且/(%)>0的解集為x|l<x<2, g(x)» 0的解集為0 ,則不等式/(%) g(x) > 0的解集為;解：f(x)g(x) > 0等價(jià)于/. xg 0 ;或xx< i.or.x>2.(4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2/_9jc + gv0 (解集非空)的每一個(gè)兀的值 至少滿(mǎn)足不等式x2-4x + 3<0和亍-6x + 8<0中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)°的取值范圍是m：庁己不等式兀+ dvo,f_4x + 3vo,x2_6兀+ 8vo的解集分別為a、b、c,則依題意有：au(buc).

17、而 b = x| 1 v 兀 v3,c = x| 2 v 兀 v4/. i5uc = a：11 < x<4.記 /(兀)=2兀2_9jc + q由 /(l)>0<:z>7;由f<9、<0 有：6z< 綜合得：aea8l 8丿7分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通 分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根 法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如(1)解不等式,i v-1;a:2-2x-3解：原不等式可化為 x3x+2<o 即 對(duì)一2兀一3(x _1

18、)(兀_2) =0 (x-3)(x + l)由序軸標(biāo)根法得：x|-l <x< l,2<x<3.(2)關(guān)于x的不等式ax-b> 0的解集為(l,+oo),則關(guān)于*的不等式竺土2>o x 2 的解集為.解：由已知 a = b>of竺土2>0 即為 d(e)0x 2x 2不等式的解集為 xx<-,or,x>2.8. 絕對(duì)值不等式的解法：(1)分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)：3 |如解不等式|2-x|> 2-|x + -|;4 2i3i2解：r.x<-h+，原不等式可化>為：2-x>2 + x + -,1 qa2

19、°. vxs?時(shí)，原不等式可彳匕為：2一x>2- x + -，/.x>-2,2 34i 2丿1<8v兀5 ;2 3q2/1、3°.x>-時(shí)，原不等式可化為：一2 +二-兀+ ，/.x>23 4i2丿8兀 > 3綜合得原不等式的解集為/?.(2) 利用絕對(duì)值的定義；(3) 數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x| + |x-l|>3解：原不等式表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到兩定點(diǎn)0和1的距離之和大于3,直觀(guān)可知原不等式解集為： xx<-,or,x>2.(4)兩邊平方:如若不等a|3x + 2|>| 2x + a對(duì)xw /?恒成立，則實(shí)數(shù)a的取

20、值范圍為解：兩邊平方得：9f+12x + 4n4f+4a¥ + d2不等式5x2+（12-4a）x+4-a2 >0恒成立 則 5 > 0, a<0 即：（12 4a）2 20（4 /） § 09c/2 24a +16 5 0 o 一9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)， 分類(lèi)討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是”。注意： 按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求 并集.21°.o vqvi, 有 ovgv;3t.a > 1, 有 a > 1.、 (2、 、

21、綜合得：ae 0, u(l,+oo).< 3丿2(2)解不等式>x(6/g r)ax-解：原不等式可變形為貝u 1° g>0時(shí)，有2° « = 0h寸，有xax->0x> 或clx<0;x<0;3° gvo 時(shí)，有 <x<0.a(1綜合得原不等式的解集為：g>0時(shí),(,0)u -,+oo3a = q 時(shí)，(oo,0)(1 gvo 時(shí)，一,0 .3 )提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；(2) 不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。y 2

22、 如關(guān)于兀的不等式ax-b>q的解集為(-oo,l),則不等式丄二>0的解集為 ax + b解：由已東口有 a <0. = l. a = b <0a則不等式仝二3>0即為 蘭三<0解集為：x|-l<x<2. ax+bx+l門(mén)含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：a、b 同號(hào)或有0 o | d + b|=| q | +1方| » |a-b=a-b;4、異號(hào)或有 0 <=> a-b=a + b>a-b= a + b |如設(shè) /(x) = x2-x+13,實(shí)數(shù) q 滿(mǎn)足x-a<l9 求證：|/(x)-/(a) |< 2(|a|+

23、l) 彳正明：= x2 -x-a2 -i-a =|(k + q)(尢_a)_(x_a)|x 6z|x+t7 1| < |x4-6z l| |(x 67)+ 2d + ( 1 )|w 卜-+ |2d| + |-l| v 2問(wèn) + 2 得證.12.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方 式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法)1) 恒成立問(wèn)題若不等式/(對(duì)> a在區(qū)間d上恒成立，則等價(jià)于 在區(qū)間d上/(兀)伽> a若不等式/(jvb在區(qū)間d上恒成立，則等價(jià)于 在區(qū)間 z)±/(x)

24、inux <b如(1)設(shè)實(shí)數(shù)兀,y滿(mǎn)足x2+(y-l)2=l ,當(dāng) 兀+ y + c20時(shí)，c的取值范圍是;m :令z = - y ,貝u為使.y + c>0成立，只須 zmin+cao 成立.由線(xiàn)性規(guī)劃得：zinin =->/2 + 1/.-v2 + l + c>0又解：令 x = cosy = 1 + sin0 代入x+y + cho得：cos & + l + sin + c>0即 ch -l-(cos 6 + sin &)/ 而-1 -(cos& + sin&) = -l-vsin + <v2-1/. c n 5/2 -

25、1.(2)不等式卜-4| +卜-3|>a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：要使 兀一 4 +兀一3>口恒成立，只要有卜一4田兀一3| imin> q 而 x-4|+ x-3| . = 1 a <1.iimin(3)若不等式2x-l>m(x2-1)對(duì)滿(mǎn)足| <2的所有加都成立，則兀的取值范 圍;解：加(f -1)一2兀+ 1 vo在加w -2,2時(shí)恒成立，/(-2)<0/(2)<02.x + 2 2.x +1 v 0 2x2-2-2x + 1<0(4)若不等式(1)”°<2 +匕11對(duì) n 于任意正整數(shù)恒成立，求a的取

26、值范圍；j+v7 1+v32-1-v7 1-v3 0 -1 + v7 1 + v3 兀2 22 2-1-v7-14-77x <or.x >2 2a/31 + v3<%<2 2(%2-1)-2% + 1 則只須13解：若7?為偶數(shù)，則a<2-:.a<-;n2若斤為奇數(shù)，則 a >-2一丄，a > -2.n. r 3、綜合得：ae 一2,.l 2丿(5)若不等式嚴(yán)_2加x + 2加+ 1>0對(duì)05x51的所有實(shí)數(shù)x都成立，求加的取 值范圍.解:吃己 /(x)= %2 - 2tnx + 2m +1 = (% - nt)2 一 m2 + 2m +1

27、1°m < 0/(o > 0)<m<022彳 0：51二05加< fm>0 m > 13°u>om>1綜合得:me1(6 )對(duì)于滿(mǎn)足0 < p < 4的實(shí)數(shù)p，使兀2 + px> 4x+ p-3恒成jl的x的取值范圍是m：> 4a: 4- /? - 3艮卩”(兀 一1) +兀24尢 + 3 > 0記 f(p)= p(x-) + x2 一4兀 + 3貝u 由 4x + 3 > 0=>4x-4 + x2 - 4% + 3>0(3,+oo).x <l,or,x> 3x

28、 < -y.or.x > 12).能成立問(wèn)題若在區(qū)間d上存在實(shí)數(shù)兀使不等式.f(x)>a成立，則等價(jià)于在區(qū)間d上/(x)4;j )max若在區(qū)間d上存在實(shí)數(shù)兀使不等式/(%)< b成立，則等價(jià)于在區(qū)間d上的fix) <b.j 丿 min如已知不等式x-4 + x-?<a在實(shí)數(shù)集人上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)°的取值 范圍；解：x-4 + x-3|<tz 有解，而 x-4 + x-3| |min= 1故只需a>l 即可.3) 恰成立問(wèn)題若不等式/&)> a在區(qū)間d上恰成立，則等價(jià)于不等式/(x)> a的解集為d; 若不等式

29、/(x) < b在區(qū)間d上恰成立，則等價(jià)于不等式/(x) < b的解集為d.13.不等式的應(yīng)用1.已知 f(x)= x2 + ax+b(a,be r的定義域?yàn)椤?, 1 .(1 )記|/(兀)|的最大值為m,求(2)求出(1 )中的m二丄時(shí)j3的表達(dá)2 2式.(1)證：2.已知定義域在（-8,4上的減函數(shù)/（x）,使/（加-sin兀）w+ cos2 x）對(duì)一切實(shí)4數(shù)x恒成立，求m的取值范圍. 7解：依題意有 5/1 + 2/72+ cos2 x < m - sin x < 4 則有 4/?: < 4 + sin xm < 3m - sin x » j1 + 2m - 4- cos2 xsin2 -sinx + m 一 j1 + 2n + > 03 4 3|由（sin2無(wú)一sin兀）伽+加一 jl + 2m + > 0 成立，知當(dāng)sinx =時(shí)2ii 3+ m-71 +2m + > 0 恒成立，即4 24（2m +1） 一 2 j2m +1 > 0,/. j2m +1 > 2, or, j2m +1 < 0（舍）m> 2綜合得: 2m +1 > 43 .設(shè) srt=l+-+- + . + -(ne2v*),/