高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：2.9 函數(shù)的模型及其應(yīng)用 Word版含答案_20210103224747

1、淘寶店鋪：漫兮教育第九節(jié)函數(shù)的模型及其應(yīng)用1函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義2函數(shù)的綜合應(yīng)用了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一幾種常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式正比例函數(shù)模型f(x)kx(k為常數(shù)，k0)一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)

2、blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0，1)“對(duì)號(hào)”函數(shù)模型yx(a>0)易誤提醒1易忽視實(shí)際問題的自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域2注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性自測(cè)練習(xí)1(2015·廣州模擬)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()ay2x byx21cy2x2 dylog2x解析：根據(jù)x0.50，y0.99，代入計(jì)算，可以排除a；根據(jù)x2.01，

3、y0.98，代入計(jì)算，可以排除b、c；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意故選d.答案：d2生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為c(x)x22x20(萬元)一萬件售價(jià)是20萬元，為獲取最大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()a36萬件 b18萬件c22萬件 d9萬件解析：利潤(rùn)l(x)20xc(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，l(x)有最大值答案：b知識(shí)點(diǎn)二三種增長(zhǎng)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象

4、的變化隨x增大逐漸表現(xiàn)為與y軸接近平行隨x增大逐漸表現(xiàn)為與x軸接近平行隨n值變化而不同必備方法三種模型的增長(zhǎng)差異在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a>1)，ylogax(a>1)和yxn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上隨著x的增大，yax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于yxn(n>0)的增長(zhǎng)速度，而ylogax(a>1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，使得當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax.自測(cè)練習(xí)3下列函數(shù)中隨x的增大而增大速度最快的是()av·ex bv100

5、ln xcvx100 dv100×2x 解析：只有v·ex和v100×2x是指數(shù)函數(shù)，并且e>2，所以v·ex的增大速度最快，故選a.答案：a考點(diǎn)一一次、二次函數(shù)模型|1.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：a種方式是月租20元，b種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()a10元 b20元c30元 d.元解析：依題意可設(shè)sa(t)20kt，sb(t)mt，又sa(100)sb(100)，100k20100m，得km0.2，于是sa(150)sb(150)20150

6、k150m20150×(0.2)10，即兩種方式電話費(fèi)相差10元，選a.答案：a2經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在過去100天內(nèi)的銷售量和價(jià)格均為時(shí)間t(天)的函數(shù)，且日銷售量近似地滿足g(t) t(1t100，tn)前40天價(jià)格為f(t)t22(1t40，tn)，后60天價(jià)格為f(t)t52(41t100，tn)，試求該商品的日銷售額s(t)的最大值和最小值解：當(dāng)1t40，tn時(shí)，s(t)g(t)f(t)t22t(t12)2，所以768s(40)s(t)s(12).當(dāng)41t100，tn時(shí)，s(t)g(t)f(t)t236t(t108)2，所以8s(100)s(t)s(41).所以，s(t)的最

7、大值為，最小值為8.一次函數(shù)與二次函數(shù)模型問題求解的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)(2)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題考點(diǎn)二分段函數(shù)模型|有一種新型的洗衣液，去污速度特別快已知每投放k(1k4，且kr)個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為yk·f(x)，其中f(x)若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液

8、的濃度不低于4克/升時(shí)，它才能起到有效去污的作用(1)若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液，當(dāng)兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3克/升，求k的值；(2)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？(3)若第一次投放2個(gè)單位的洗衣液，10分鐘后再投放1個(gè)單位的洗衣液，則在第12分鐘時(shí)洗衣液是否還能起到有效去污的作用？請(qǐng)說明理由解(1)由題意知k3，k1.(2)因?yàn)閗4，所以y當(dāng)0x4時(shí)，由44，解得4x<8，所以0x4.當(dāng)4<x14時(shí)，由282x4，解得x12，所以4<x12.綜上可知，當(dāng)y4時(shí)，0x12，所以只投放一次4個(gè)單位的洗衣液的有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘(3)在第12分鐘

9、時(shí)，水中洗衣液的濃度為2×1×5，又5>4，在第12分鐘還能起到有效去污的作用分段函數(shù)模型問題求解的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解(2)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，做到分段合理、不重不漏(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者) 1已知a，b兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時(shí)的速度從a地到達(dá)b地，在b地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回a地，把汽車離開a地的距離x表示為時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式是()ax60tbx60t50tcxdx解析：當(dāng)0t2.5時(shí)，x6

10、0t；當(dāng)2.5<t3.5時(shí)，x150；當(dāng)3.5<t6.5時(shí)，x15050(t3.5)答案：d考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)模型|已知某物體的溫度(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是m·2t21t(t0，并且m>0)(1)如果m2，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則2·2t21t2，當(dāng)5時(shí)，2t，令2tx(x1)，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時(shí)t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立，即m·2t2恒成立，亦即m2恒

11、成立令y，則0<y1，m2(yy2)恒成立，由于yy2，m.因此，當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時(shí)，m的取值范圍是.求解指數(shù)函數(shù)模型的三個(gè)注意點(diǎn)(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，主要有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等問題(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，注意先設(shè)定模型，再求有關(guān)數(shù)據(jù)(3)ya(1x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解2(2015·江蘇連云港模擬)把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是1，空氣溫度是0，t分鐘后物體的溫度可由公式0(10)etln求得，現(xiàn)有60 的物體放在15 的空氣中冷卻，當(dāng)物體溫度為35 時(shí)，冷卻時(shí)間t_分鐘解析：由已知條件可得3515

12、(6015)·etln，解得t2.答案：22.利用函數(shù)模型求解實(shí)際問題【典例】(12分)已知一家公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為r(x)萬元，且r(x)(1)寫出年利潤(rùn)w(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大？(注：年利潤(rùn)年銷售收入年總成本)思路點(diǎn)撥(1)由r(x)中分段寫出w與x的解析式(2)分兩段求利潤(rùn)的最大值，比較后得出結(jié)論規(guī)范解答(1)當(dāng)0<x10時(shí)，wxr(x)(102.7x)8.1x1

13、0；(2分)當(dāng)x>10時(shí)，wxr(x)(102.7x)982.7x.(4分)w(5分)(2)當(dāng)0<x10時(shí)，令w8.10，得x9，可知當(dāng)x(0,9)時(shí)，w>0，當(dāng)x(9,10時(shí)，w<0，(6分)當(dāng)x9時(shí)，w取極大值，即最大值，且wmax8.1×9×931038.6.(7分)當(dāng)x>10時(shí)，w98982 38，(8分)當(dāng)且僅當(dāng)2.7x，即x時(shí)，w38，(9分)故當(dāng)x時(shí)，w取最大值38(當(dāng)1 000x取整數(shù)時(shí)，w一定小于38)(10分)綜合知，當(dāng)x9時(shí)，w取最大值，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大(12分)模板形成a組

14、考點(diǎn)能力演練1設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()解析：注意到y(tǒng)為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案為d.答案：d2已知某種動(dòng)物的繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為yalog3(x1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，則到第8年它們將發(fā)展到()a200只 b300只c400只 d500只解析：由題意，繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為yalog3(x1)，這種動(dòng)物第2年有100只，

15、100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，當(dāng)x8時(shí)，y100log3(81)100×2200.故選a.答案：a3.某工廠的大門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8 m，兩側(cè)距離地面3 m高處各有一個(gè)壁燈，兩壁燈之間的水平距離為6 m，如圖所示則廠門的高約為(水泥建筑物厚度忽略不計(jì)，精確到0.1 m)()a6.9 m b7.0 mc7.1 m d6.8 m解析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，于是由題設(shè)條件知拋物線的方程為yax2(a<0)，設(shè)點(diǎn)a的坐標(biāo)為(4，h)，則c(3,3h)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入yax2，可得解得所以廠門的高約為6.9 m.答案：a4(20

16、15·青島模擬)某校為了規(guī)范教職工績(jī)效考核制度，現(xiàn)準(zhǔn)備擬定一函數(shù)用于根據(jù)當(dāng)月評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)x(正常情況0x100，且教職工平均月評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)在50分左右，若有突出貢獻(xiàn)可以高于100分)計(jì)算當(dāng)月績(jī)效工資y元要求績(jī)效工資不低于500元，不設(shè)上限且讓大部分教職工績(jī)效工資在600元左右，另外績(jī)效工資在平均分?jǐn)?shù)左右變化不大，則下列函數(shù)最符合要求的是()ay(x50)2500by10500cy(x50)3625dy5010lg(2x1)解析：由題意知，函數(shù)單調(diào)遞增，且先慢后快，在x50左右增長(zhǎng)近乎為0且函數(shù)值在600左右，最小值為500，a是先減后增，b由指數(shù)函數(shù)知是增長(zhǎng)越來越快，d由對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度越來

17、越慢，c是yx3的平移和伸縮變換而得，最符合題目要求，故選c.答案：c5某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，已知倉(cāng)庫(kù)每月占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成正比據(jù)測(cè)算，如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1、y2分別是2萬元、8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站()a5千米處 b4千米處c3千米處 d2千米處解析：設(shè)倉(cāng)庫(kù)到車站的距離為x千米，由題意得y1，y2k2x，其中x>0，又當(dāng)x10時(shí)，y12，y28，故k120，k2.所以y1y2x2 8，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x5時(shí)取等號(hào)答案：a6(2015·西寧五中片區(qū)四校聯(lián)考)某城市出租車

18、按如下方法收費(fèi)：起步價(jià)6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每走1 km加價(jià)0.5元，10 km后每走1 km加價(jià)0.8元，某人坐出租車走了12 km，他應(yīng)交費(fèi)_元解析：本題考查數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用某人坐出租車走了12 km，他應(yīng)交費(fèi)60.5×70.8×211.1元答案：11.17(2015·北京朝陽統(tǒng)考)某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(xn*)(年)的關(guān)系為yx218x25，則每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)_年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是_萬元解析：本題考查應(yīng)用均值不等式解答

19、實(shí)際問題據(jù)已知每臺(tái)機(jī)器的年平均利潤(rùn)關(guān)于運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為g(x)18，據(jù)均值不等式可得g(x)18182 8，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x5時(shí)取得等號(hào)答案：588某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地則矩形溫室的蔬菜的種植面積最大值是_m2.解析：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為a m，后側(cè)邊長(zhǎng)為b m，則ab800 m2.蔬菜的種植面積s(a4)·(b2)ab4b2a88082(a2b)s8084648(m2)當(dāng)且僅當(dāng)a2b，即a40 m，b20 m時(shí)，smax648 m2.答案：6489某家庭進(jìn)行理財(cái)

20、投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；(2)該家庭有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬元？解：(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬元，則投資股票類產(chǎn)品(20x)萬元?jiǎng)t收益(單位：萬元)為yf(x)g(20x)(0x2

21、0)設(shè)t(0t2)，則yt(t2)23，所以當(dāng)t2，即x16時(shí)，收益最大，最大收益為3萬元10某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測(cè)上市初期和后期因供應(yīng)不足使價(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：f(x)p·qx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均為常數(shù)，且q>1)(1)為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)(不必說明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6，求出所選函數(shù)f(x)的解析式(注：函數(shù)定義域是0,5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此類推)；(3)在(2)的條件下研究

22、下面課題：為保證養(yǎng)殖戶的經(jīng)濟(jì)效益，當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌期間積極拓寬外銷，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該海鮮將在哪幾個(gè)月內(nèi)價(jià)格下跌解：(1)因?yàn)樯鲜谐跗诤秃笃趦r(jià)格呈持續(xù)上漲態(tài)勢(shì)，而中期又將出現(xiàn)價(jià)格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數(shù)中應(yīng)選模擬函數(shù)f(x)x(xq)2p.(2)對(duì)于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q>1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)(3)因?yàn)閒(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)<0，得1<x<3.所以函數(shù)f(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，所以可以預(yù)測(cè)這種海鮮將在9月、10月兩個(gè)月內(nèi)價(jià)格

23、下跌b組高考題型專練1(2015·高考四川卷)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是()a16小時(shí) b20小時(shí)c24小時(shí) d28小時(shí)解析：由已知得192eb，48e22kbe22k·eb，將代入得e22k，則e11k，當(dāng)x33時(shí)，ye33kbe33k·eb3×19224，所以該食品在33 的保鮮時(shí)間是24小時(shí)故選c.答案：c2(2013·高考湖北卷)小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛與以上事件吻合得最好的圖象是()解析：小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故排除a.因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，故排除d.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛，故排除b.故選c.答案：c3(2015·高考浙江卷)有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同已知三個(gè)房間的粉刷面積(