通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第4講函數(shù)的概念及其表示學(xué)案理新人教A版20190313374_20210103224752

1、第4講函數(shù)的概念及其表示1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合a,b設(shè)a,b是兩個(gè) 設(shè)a,b是兩個(gè) 對應(yīng)關(guān)系f:ab按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合a中的一個(gè)數(shù)x,在集合b中都有的數(shù)f(x)與之對應(yīng) 按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合a中的一個(gè)元素x,在集合b中都有的元素y與之對應(yīng) 名稱稱為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù) 稱對應(yīng)為從集合a到集合b的一個(gè)映射 記法y=f(x),xa對應(yīng)f:ab2.函數(shù)的三要素函數(shù)由、和對應(yīng)關(guān)系三個(gè)要素構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x),xa中,x叫作自變量,x的取值范圍a叫作函數(shù)的.與x的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,

2、函數(shù)值的集合f(x)|xa叫作函數(shù)的. 3.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法:、. 4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的,這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成,但它表示的是一個(gè)函數(shù). 常用結(jié)論1.常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)閞.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y=ax(a>0且a1),y=sin x,y=cos x的定義域均為r.(6)y=logax(a>0,a1)的定義域?yàn)閤|x>0.(7)y=tan

3、x的定義域?yàn)閤xk+2,kz.2.抽象函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域?yàn)閙,n,則在fg(x)中,mg(x)n,從而解得x的范圍,即為fg(x)的定義域.(2)若fg(x)的定義域?yàn)閙,n,則由mxn確定g(x)的范圍,即為f(x)的定義域.3.基本初等函數(shù)的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是r.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:當(dāng)a>0時(shí),值域?yàn)?ac-b24a,+;當(dāng)a<0時(shí),值域?yàn)?,4ac-b24a.(3)y=kx(k0)的值域是y|y0.(4)y=ax(a>0且a1)的值域是(0,+).(5)y=logax(a>0且a1)的值域是r.題組一常識(shí)

4、題1.教材改編 以下屬于函數(shù)的有.(填序號(hào)) y=±x;y2=x-1;y=x-2+1-x;y=x2-2(xn).2.教材改編 已知函數(shù)f(x)=x+1,x0,x2,x<0,則f(-2)=,ff(-2)=. 3.教材改編 函數(shù)f(x)=8-xx+3的定義域是. 4.教材改編 已知集合a=1,2,3,4,b=a,b,c,f:ab為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù),那么該函數(shù)的值域c的不同情況有種. 題組二常錯(cuò)題索引:求函數(shù)定義域時(shí)非等價(jià)化簡解析式致錯(cuò);分段函數(shù)解不等式時(shí)忘記范圍;換元法求解析式,反解忽視范圍;對函數(shù)值域理解不透徹致錯(cuò).5.函數(shù)y=x

5、-2·x+2的定義域是. 6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2,x<1,4-x-1,x1,則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為. 7.已知f(x)=x-1,則f(x)=. 8.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域?yàn)?,4的“同族函數(shù)”共有個(gè). 探究點(diǎn)一函數(shù)的定義域角度1求給定函數(shù)解析式的定義域例1 (1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?)a.(0,1b.0,1c.(-,0)(1,+)d.(-,0)1,+)(2)函數(shù)f(x)=1-2x+1x+3的定義域?yàn)?)a

6、.(-3,0b.(-3,1c.(-,-3)(-3,0d.(-,-3)(-3,1   總結(jié)反思 (1)求函數(shù)定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;(2)若函數(shù)是由幾個(gè)基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域一般是各個(gè)基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時(shí)一般是列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可;(4)注意不要輕易對解析式化簡變形,否則易出現(xiàn)定義域錯(cuò)誤.角度2求抽象函數(shù)的定義域例2 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2,則函數(shù)g(x)=f(2x)lnx的定義域是()a.0,1b.0,1)c.0,1)(1,4d.(0,1)(

7、2)若函數(shù)f(x2+1)的定義域?yàn)?1,1,則f(lg x)的定義域?yàn)?)a.-1,1b.1,2c.10,100d.0,lg 2   總結(jié)反思 (1)無論抽象函數(shù)的形式如何,已知定義域還是求定義域均是指其中的x的取值集合;(2)同一問題中、同一法則下的范圍是一致的,如fg(x)與fh(x),其中g(shù)(x)與h(x)的范圍(即它們的值域)一致.變式題 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0,1),則f(x+1)的定義域?yàn)?)a.(-1,0)b.(0,1)c.(1,2)d.(-1,1)(2)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)?3,3,則函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?&#

8、160;探究點(diǎn)二函數(shù)的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,則函數(shù)f(x)的解析式是()a.f(x)=3x-1b.f(x)=3x+1c.f(x)=3x+2d.f(x)=3x+4(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,則函數(shù)f(x)=. (3)設(shè)函數(shù)f(x)對不為0的一切實(shí)數(shù)x均有f(x)+2f2018x=3x,則f(x)=.    總結(jié)反思 求函數(shù)解析式的常用方法:(1)換元法:已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍.(2)待定系數(shù)法:已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、

9、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法.(3)配湊法:由已知條件fg(x)=f(x),可將f(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程組法:已知f(x)與f1x或f(-x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).變式題 (1)已知函數(shù)f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,則t=()a.12b.13c.14d.15(2)若f(x)對于任意實(shí)數(shù)x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,則f(x)=()a.x+1b.x-1c.2x+1d.3x+3(3)若f(x)為一次函數(shù),且ff(x)=4x+1,則f(x)

10、=. 探究點(diǎn)三以分段函數(shù)為背景的問題微點(diǎn)1分段函數(shù)的求值問題例4 (1)2018·衡水調(diào)研 設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x0,12x,x<0,則ff(-1)=()a.32b.2+1c.1d.3(2)已知函數(shù)f(x)=2x,x<2,f(x-1),x2,則f(log27)=.    總結(jié)反思 求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)務(wù)必要確定自變量所在的區(qū)間及其對應(yīng)關(guān)系.對于復(fù)合函數(shù)的求值問題,應(yīng)由里到外依次求值.微點(diǎn)2分段函數(shù)與方程例5 (1)已知函數(shù)f(x)=(3+a)x+a,x<1,logax,x1,若ff(1)=3,則a=()a.2b.

11、-2c.-3d.3(2)函數(shù)f(x)=2x,x0,x-lnx,x>0,若f(0)+f(a)=2,則a的值為.    總結(jié)反思 (1)若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參;(2)若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進(jìn)行分類討論,再求值.微點(diǎn)3分段函數(shù)與不等式問題例6 (1)2018·惠州二模 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x-1,x0,x12,x>0,若f(x0)>1,則x0的取值范圍是()a.(-1,1)b.(-1,+)c.(-,-2)(0,+)d.(-,-1)(1,+)(2)2018

12、3;全國卷 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x0,1,x>0,則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是()a.(-,-1b.(0,+)c.(-1,0)d.(-,0)   總結(jié)反思 涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題,主要表現(xiàn)為解不等式,當(dāng)自變量取值不確定時(shí),往往要分類討論求解;當(dāng)自變量取值確定,但分段函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),只需依據(jù)自變量的情況,直接代入相應(yīng)解析式求解.應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】若函數(shù)f(x)=2x+1,x<0,x,x0,則f(1)+f(-1)=()a.0b.2c.-2d.12.【微點(diǎn)2】設(shè)函數(shù)f(x)=22x-1+3,x0,1-log2x,x&

13、gt;0,若f(a)=4,則實(shí)數(shù)a的值為()a.12b.18c.12或18d.1163.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x0,則不等式f(x)5的解集為()a.-1,1b.-2,4 c.(-,-2(0,4)d.(-,-20,44.【微點(diǎn)3】2018·湖北咸寧聯(lián)考 已知函數(shù)f(x)=x2-2x,x0,1x,x<0,則不等式f(x)x的解集為()a.-1,3b.(-,-13,+)c.-3,1d.(-,-31,+)5.【微點(diǎn)2】設(shè)函數(shù)f(x)=3x-b,x<1,2x,x1,若ff56=4,則b=. 第4講函數(shù)的概念及其表示考試說

14、明 1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法,列表法,解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.非空數(shù)集非空集合任意唯一確定任意唯一確定f:abf:ab2.定義域值域定義域值域3.解析法圖像法列表法4.對應(yīng)關(guān)系對點(diǎn)演練1.解析 對于定義域內(nèi)任給的一個(gè)數(shù)x,可能有兩個(gè)不同的y值,不滿足對應(yīng)的唯一性,故錯(cuò).的定義域是空集,而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集,故錯(cuò).只有表示函數(shù).2.45解析 因?yàn)閒(-2)=(-2)2=4,所以ff(-2)=f(4)=4+

15、1=5.3.(-,-3)(-3,8解析 要使函數(shù)有意義,需8-x0且x+30,即x8且x-3,所以其定義域是(-,-3)(-3,8.4.7解析 只含有一個(gè)元素時(shí)有a,b,c;有兩個(gè)元素時(shí),有a,b,a,c,b,c;有三個(gè)元素時(shí),有a,b,c.所以值域c共有7種不同情況.5.x|x2解析 要使函數(shù)有意義,需x-20,x+20,解得x2,即定義域?yàn)閤|x2.6.(-,-20,10解析 f(x)是分段函數(shù),f(x)1應(yīng)分段求解.當(dāng)x<1時(shí),f(x)1(x+1)21x-2或x0,x-2或0x<1.當(dāng)x1時(shí),f(x)14-x-11,即x-13,1x10. 綜上所述,x-2或0x10,即x(-

16、,-20,10.7.x2-1(x0)解析 令t=x,則t0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t0),即f(x)=x2-1(x0).8.9解析 設(shè)函數(shù)y=x2的定義域?yàn)閐,其值域?yàn)?,4,d的所有可能的個(gè)數(shù),即是同族函數(shù)的個(gè)數(shù),d的所有可能為-1,2,-1,-2,1,2,1,-2,-1,1,2,-1,1,-2,-1,2,-2,1,2,-2,-1,1,2,-2,共9個(gè),故答案為9.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)大于0求解;(2)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負(fù)及分母不為0求解.(1)c(2)a解析 (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定義域?yàn)?-,0)(

17、1,+).(2)由題意,自變量x應(yīng)滿足1-2x0,x+3>0,解得x0,x>-3,故函數(shù)的定義域?yàn)?-3,0.例2思路點(diǎn)撥 (1)由f(x)的定義域得f(2x)的定義域,再結(jié)合ln x0求解;(2)由x-1,1,求得x2+1的范圍是1,2,再由1lg x2即可得函數(shù)f(lg x)的定義域.(1)d(2)c解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?,2,要使f(2x)有意義,則有02x2,0x1,要使g(x)有意義,應(yīng)有0x1,lnx0,0<x<1,故選d.(2)因?yàn)閒(x2+1)的定義域?yàn)?1,1,所以-1x1,故0x21,所以1x2+12.因?yàn)閒(x2+1)與f(lg x)是同

18、一個(gè)對應(yīng)法則,所以1lg x2,即10x100,所以函數(shù)f(lg x)的定義域?yàn)?0,100.故選c.變式題(1)a(2)-1,2解析 (1)由題意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故選a.(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x2-1)的定義域?yàn)?3,3,所以-3x3,所以-1x2-12,所以函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?1,2.例3思路點(diǎn)撥 (1)用配湊法將3x+2配湊成3(x+1)-1;(2)設(shè)出二次函數(shù),利用待定系數(shù)法,根據(jù)等式恒成立求出待定系數(shù)即可;(3)構(gòu)造含f(x)和f2018x的方程組,消去f2018x即可得f(x)的解析式.(1)a(2)-x2+2x+15(3)403

19、6x-x解析 (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a0),則f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,2a=-2,a+b=1,a=-1,b=2,又f(2)=15,c=15,f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f2018x=3x,且x0,用2018x代替中的x,得f2018x+2f(x)=3×2018x,解組成的方程組,消去f2018x得f(x)=4036x-x.變式題(1)a(2)a(3)2x+13或-2x-1解析 (1)設(shè)t=2x-1,則x=t+12,故f(t)=4×t+12+3

20、=2t+5, 令2t+5=6,則t=12,故選a.(2)因?yàn)?f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,聯(lián)立,解得f(x)=x+1,故選a.(3)設(shè)f(x)=ax+b(a0),由ff(x)=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=-2,b=-1,f(x)=2x+13或f(x)=-2x-1.例4思路點(diǎn)撥 (1)先求f(-1)的值,再求ff(-1)的值;(2)先估算log27的范圍,再確定選用哪段解析式求值.(1)d(2)72解析 (1)由題意可得f(-1)=12-1=2,ff(-1)=f(2)=3,故選d.

21、(2)因?yàn)?<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)=2log27-1=2log27÷2=72.例5思路點(diǎn)撥 (1)先求得f(1)=0,再據(jù)f(0)=3求分段函數(shù)中的參數(shù);(2)分a0和a>0兩種情況討論求解.(1)d(2)0或1解析 (1)根據(jù)題意可知f(1)=loga1=0,所以ff(1)=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,即a=3,故選d.(2)f(x)=2x,x0,x-lnx,x>0,f(0)=20=1.當(dāng)a>0時(shí),f(a)=a-ln a,則有1+a-ln a=2,解得a=

22、1;當(dāng)a0時(shí),f(a)=2a,則有1+2a=2,解得a=0.例6思路點(diǎn)撥 (1)分x00和x0>0兩種情況討論求解;(2)根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將函數(shù)圖像畫出來,結(jié)合圖像可得不等式成立的條件.(1)d(2)d解析 (1)當(dāng)x00時(shí),由f(x0)=2-x0-1>1,即2-x0>2,解得x0<-1;當(dāng)x0>0時(shí),由f(x0)=x012>1,解得x0>1.x0的取值范圍是(-,-1)(1,+).(2)f(x)的圖像如圖所示.當(dāng)x+10,2x0,即x-1時(shí),若滿足f(x+1)<f(2x),則滿足x+1>2x,即x<1,此時(shí)x-1;當(dāng)x+1

23、>0,2x<0,即-1<x<0時(shí),f(x+1)<f(2x)恒成立.綜上,x的取值范圍是x<0.故選d.應(yīng)用演練1.a解析 由函數(shù)f(x)=2x+1,x<0,x,x0,得f(1)+f(-1)=1+2-1+1=0.2.b解析 因?yàn)閒(a)=4,所以22a-1+3=4,a0或1-log2a=4,a>0,所以a=12,a0或a=18,a>0,所以a=18,故選b.3.b解析 由于f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x0,所以當(dāng)x>0時(shí),3+log2x5,即log2x2=log24,得0<x4;當(dāng)x0時(shí),x2-x-15,即(x-3)(x+2)0,得-2x0.所以不等式f(x)5的解集為-2,4.4.a解析 當(dāng)x0時(shí),由x2-2xx,得0x3;當(dāng)x<0時(shí),由1xx,得-1x<0.故不等式f(x)x的解集為-1,3.5.12解析 由ff56=4,可得f52-b=4.若52-b1,即b32,可得252-b=4,解得b=12.若52-b<1,即b>32,可得3×52-b-b=4,解得b=78<32(舍去).故答案為12.【備選理由】 例1考查給定函數(shù)解析式,求抽象函數(shù)的定義域問題;例2考查分段函數(shù)的求值,但涉及三角函數(shù)及函數(shù)的周期性;例3考查分段