孫霆橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、 教學(xué)分析橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是人教版教科書（選修）數(shù)學(xué)1-1第2章圓錐曲線與方程第二節(jié)內(nèi)容。本節(jié)在教材中的地位和作用：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程在本章節(jié)是非常重要的部分，起著總領(lǐng)全章的作用。而圓錐曲線是高考的重點(diǎn)，也是教學(xué)的重點(diǎn)。而且本章節(jié)的內(nèi)容和生活實(shí)踐的聯(lián)系也比較緊密，是培養(yǎng)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活的能力的重要章節(jié)。本章節(jié)的教學(xué)還有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力。因?yàn)闄E圓，雙曲線以及拋物線有相類似的性質(zhì)，教學(xué)中只要真正的把橢圓的性質(zhì)講透了，那其它兩部分的教學(xué)也就事半功倍了。二、學(xué)情分析我們班是一個(gè)體藝班,班上的大部分學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性較差，主動(dòng)性不夠，學(xué)習(xí)有依賴性，且學(xué)習(xí)的信心不足

2、，對(duì)數(shù)學(xué)存在或多或少的恐懼感。所以教師在講解得時(shí)候應(yīng)該盡量地要帶動(dòng)起學(xué)生，激起他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱愛。教師應(yīng)該特別注意提問的方式,要結(jié)合學(xué)生們所掌握的知識(shí)水平的程度,來有針對(duì)性地提問。三、設(shè)計(jì)思想為了培養(yǎng)不僅能“學(xué)會(huì)”知識(shí)，而且能“會(huì)學(xué)”知識(shí)的人才以及根據(jù)我校提出的“創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)情感、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)發(fā)展”的教學(xué)模式，在課堂設(shè)計(jì)上，教師應(yīng)學(xué)會(huì)如何創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；圍繞教材的重難點(diǎn)，比如本節(jié)的“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)”，教師應(yīng)學(xué)會(huì)如何設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)環(huán)節(jié)，設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題，通過教師適時(shí)的引導(dǎo)，通過生生間、師生間的交流互動(dòng)，通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、分析、探究、反思，使學(xué)生真正

3、成為學(xué)習(xí)的主人，不斷完善自己的知識(shí)體系，提高獲取知識(shí)的能力，嘗試合作學(xué)習(xí)的快樂，體驗(yàn)成功的喜悅。四、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)橢圓的定義建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，和焦點(diǎn)坐標(biāo)；進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。2.過程與方法讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力;培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力;提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力。3.情感與價(jià)值觀親身經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)美的熏陶;通過主動(dòng)探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn);養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度

4、和契而不舍的鉆研精神，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度。五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn): 橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。通過學(xué)生自主建立直角坐標(biāo)系和對(duì)方程的討論選擇突出重點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。 六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)流程：?jiǎn)栴}情境建構(gòu)數(shù)學(xué)例題解析課堂小結(jié)作業(yè)布置1問題情境：情境 生活中存在著大量的橢圓，比如：餐桌的外輪廓線，汽車的貯油罐的橫截面的外輪廓線等等。（教師用幻燈片投影給學(xué)生看）問題1同學(xué)們還能舉出些橢圓的例子嗎？問題2怎樣才能設(shè)計(jì)出橢圓的形狀呢？【設(shè)計(jì)意圖】問題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲。為了復(fù)習(xí)橢圓的定義，我設(shè)計(jì)了上面的情境和問題1，讓學(xué)生感受到橢圓的存在非常普遍。

5、小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天體的運(yùn)行軌道。通過問題2讓學(xué)生主動(dòng)思考如何畫橢圓及橢圓的定義。 教師提出問題：給你兩個(gè)圖釘，一根無彈性的細(xì)繩，一張紙板，能畫出橢圓嗎？讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，使其探究性學(xué)習(xí)，再提出以下問題：思考1：在紙板上作圖說明什么？思考2：在作圖過程中，有哪些物體的位置沒變？有哪些量沒有變？思考3：若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬?duì)位置，所得到的圖形有何變化？指出繩長(zhǎng)大于圖釘間的距離是畫出橢圓的關(guān)鍵。用多媒體演示從橢圓變化到圓的過程，把圓與橢圓進(jìn)行類比，并得到橢圓的定義：提問：橢圓的定義用語言是怎樣闡述的？學(xué)生1：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于| F1F2|）的點(diǎn)的軌跡

6、叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距。教師：好，這位同學(xué)回答得非常正確。那么下面請(qǐng)?jiān)偎伎家粋€(gè)問題：前面我們講過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟有哪些？2建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)生2：建立直角坐標(biāo)系、設(shè)點(diǎn)、尋找等量關(guān)系、代入坐標(biāo)、化簡(jiǎn)。 【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生復(fù)習(xí)圓的方程的建立過程的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生討論思考如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來建立橢圓的方程，我想學(xué)生通過這些活動(dòng)能夠建立幾種常見的坐標(biāo)系，并列出相應(yīng)的代數(shù)方程。我認(rèn)為這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，分析比較，相互協(xié)作等能力。讓學(xué)生體驗(yàn)到知識(shí)的產(chǎn)生過程。教師：很好。那么在求曲線方程的第一步，也就是建立直角坐標(biāo)系時(shí)，我們應(yīng)該注意些

7、什么問題呢？學(xué)生3：要充分利用圖形的對(duì)稱性，以及一些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，建立坐標(biāo)系要遵守簡(jiǎn)單和諧化的原則。教師：好，說得很精彩。那么就請(qǐng)同學(xué)們互相討論一下，看看到底應(yīng)該怎樣建立直角坐標(biāo)系，才能使我們這道題目化簡(jiǎn)地更加容易呢？學(xué)生：討論。學(xué)生：大多數(shù)同學(xué)一致認(rèn)同這種建系的方法：以過點(diǎn)F1、F2的直線為x 軸，以線段F1F2的垂直平分線為y 軸。因?yàn)檫@樣作出的圖形是一個(gè)對(duì)稱的圖形，非常完美。教師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（教師巡視） 發(fā)現(xiàn)得到這樣一個(gè)式子后，大部分學(xué)生就不會(huì)往下做了。還有極少數(shù)同學(xué)知道通過兩邊同時(shí)平方去根號(hào)，但是化簡(jiǎn)了一步，就無法再進(jìn)行下去了，過程太復(fù)雜了。 【設(shè)計(jì)意圖】 我

8、選擇放手讓學(xué)生化簡(jiǎn)，讓學(xué)生體驗(yàn)化簡(jiǎn)方程的艱辛，同時(shí)注意化簡(jiǎn)的技巧，注意考慮問題要有多種視角，不要一條胡同走到黑。教師：提示，顯然兩邊直接平的效果并不好，那是否有更好的方法呢？學(xué)生：可以嘗試將根式中的一項(xiàng)移項(xiàng)后，再平方。教師：好，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)化簡(jiǎn)。xyOF1F2M圖1設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)MF1+MF2=2a，F(xiàn)1F2=2c，（m >n>0）則、移項(xiàng)后再平方由MF1+MF2=2a得 移項(xiàng)得 平方得 整理得 再平方得再整理得 教師：我們知道這里，再注意觀察一下的系數(shù)之間有什么關(guān)系？學(xué)生：它們的乘積剛好等于右邊的常數(shù)。教師：同學(xué)們的觀察還是非常仔細(xì)的。好，既然，那我們不妨令 如果我們?cè)?/p>

9、將不等式的兩邊同時(shí)除以，得這就是焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程請(qǐng)同學(xué)思考：這里的大小關(guān)系如何？再考慮一下它們的大小與焦點(diǎn)所在的位置有什么關(guān)系？學(xué)生：顯然，且焦點(diǎn)在軸上。所以應(yīng)該是哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己觀察，分析，得出結(jié)論，這樣不僅能夠使他們樹立起對(duì)自己的信心，更重要的是在潛移默化中，使他們解決數(shù)學(xué)問題的能力得到了提高。教師：請(qǐng)問，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式應(yīng)該是怎樣的呢？學(xué)生：教師：非常棒。下面我們來對(duì)比一下橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程，看看有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)：（1）相同點(diǎn)方程中x，y表示橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)； 關(guān)于x，y的二元二次方程；方程右邊是常數(shù)1，左邊是平方和的

10、形式；a是橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和的一半，b2a2-c2，c是焦距的一半；a2b2+c2，a>b>0, a>c>0,b與c大小不定焦點(diǎn)位置的判定：焦點(diǎn)在較大分母對(duì)應(yīng)的變量的坐標(biāo)軸上（2）不同點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程互換x，y 圖 形OF1F2xyMA1xyOF1F2MA1A2B1B2A2B1B2焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0），F(xiàn)2(c,0）F1(0,c），F(xiàn)2(0,-c）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)A1（-a，0） A2（a，0）B1（0，-b） B2（0，b）A1（0，a） A2（0，-a）B1（-b，0） B2（b，0）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的這種方式來熟練地掌握橢圓的有關(guān)性質(zhì)。特別要強(qiáng)調(diào)學(xué)生

11、注意觀察，會(huì)區(qū)分上面的兩個(gè)圖形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。3例題解析例2 已知一個(gè)貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4米，外輪廓線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為3米，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹O(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)此題的目的是為了鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的量的關(guān)系和用對(duì)稱法建立直角坐標(biāo)系。學(xué)生：以兩焦點(diǎn)所在的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為xyOF1F2P圖1根據(jù)題意得，2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2因此這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例3將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線。【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)的目的有兩個(gè)：(1) 對(duì)

12、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方法進(jìn)行再鞏固；(2) 讓學(xué)生把橢圓的方程與圓的方程來類比，鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教師：點(diǎn)撥：設(shè)點(diǎn)，然后尋找未知點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的關(guān)系，列出等式，再化簡(jiǎn)。學(xué)生：設(shè)所得曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的 坐標(biāo)，由題意可知因?yàn)?，所以，即教師：能不能用自己的語言來總結(jié)一下，求解這類題目的一般方法？學(xué)生：設(shè)出已知點(diǎn)和未知點(diǎn)的坐標(biāo)； 找出它們坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，并且用未知量的代數(shù)式表示已知量； 利用已知點(diǎn)所滿足的關(guān)系，解出未知點(diǎn)所滿足的關(guān)系。4 課堂小結(jié)（讓學(xué)生自己總結(jié)這節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容）1.推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2. 橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本求法及應(yīng)用【設(shè)計(jì)意圖】為了讓學(xué)生建構(gòu)自己的知識(shí)體系，我讓學(xué)生自己概括所學(xué)的內(nèi)容。我認(rèn)為這樣既能培養(yǎng)了學(xué)生的概括能力，又能營(yíng)造民主和諧的師生關(guān)系。5 作業(yè)布置1必做作業(yè):課本第28頁1,2,32選作作業(yè) : 有關(guān)資料顯示：“神舟六號(hào)”飛船的運(yùn)行軌道是以地球的