2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積學(xué)案(含解析)新人教A版必修2

1、1. 3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積知識(shí)導(dǎo)圖關(guān)面展開(kāi)圖臺(tái)怵的表面 枳與休積一以平代曲” 的轉(zhuǎn)化思袒學(xué)法指導(dǎo)1. 求幾何體的表面積，要充分利用柱體、錐體、臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確把握各個(gè)面的形 狀與數(shù)量關(guān)系，尤其是側(cè)面展開(kāi)圖與原幾何體的關(guān)系.2求體積問(wèn)題則要準(zhǔn)確把握底面積和高，尤其是四面體，確定哪個(gè)面為底面要依據(jù)條 件看哪個(gè)面的面積容易求出.3充分利用展開(kāi)圖和截面圖，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. 高考導(dǎo)航本節(jié)知識(shí)是咼考的重點(diǎn)內(nèi)容，考查頻率很咼，?？碱}型如下：（1）幾何體的表面積或體積的計(jì)算，以選擇題、填空題為主，分值5分.（2）與后面要學(xué)習(xí)的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的知識(shí)綜合，作為解答題中的一問(wèn)，考

2、查幾 何體體積的計(jì)算，分值 58分.氓越-昭 財(cái)檢、貉:蚣 黴滋脇 傑妳 例 鍬:WW"知識(shí)點(diǎn)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的多面體，因此它們的表面積等于各個(gè)面的 面積之和，也就是展開(kāi)圖的面積.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱（底面半徑為r,母線長(zhǎng)為1）圓錐（底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l）圓臺(tái)（上、下底面半徑分 別為r', r,母線長(zhǎng)為1）側(cè)面展開(kāi)圖fEb；|i i>A2A'A /底面積S 底=2 n rS底=冗rS/ / 2 2 底=n( r+ r )側(cè)面積S 側(cè)=2 n rlS 側(cè)=n rlS側(cè)=n(

3、r'+ r) l表面積S 表=2 n r(r + l)S 表=冗 r (r + l )S表/ / 2 2= n(r + r ) +n(r + r') 13.體積公式圖形體積公式柱體棱柱底面積為S,咼為h, V= Sh圓柱Q底面半徑為r,咼為h, V=n r h錐體棱錐<為1底面積為S,高為h, V =§Sh圓錐、 亠 1 2 底面半徑為r,咼為h, V=§n r h臺(tái)體棱臺(tái)© . 、. 1 上底面積為S',卜底面積為S,咼為h, V=§ (S，+VSS+ S) h圓臺(tái)1 2上底半徑為r,下底半徑為R,高為h,V= ?n(r.

4、多面體與旋轉(zhuǎn)體表面積的計(jì)算方法(1) 多面體展開(kāi)圖的面積即為多面體的表面積，在實(shí)際計(jì)算中，只要弄清楚多面體的各 個(gè)面的形狀并計(jì)算其面積，然后求其和即可，一般不把多面體真正展開(kāi).(2) 求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，要清楚常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖是什么，關(guān)鍵是求其母線長(zhǎng) 與上、下底面的半徑. .柱體、錐體、臺(tái)體體積之間的關(guān)系柱體、錐體、臺(tái)體的關(guān)系如下：+ rR+ 氏)h工111面晞l.b到-纟號(hào)根據(jù)以上關(guān)系，在臺(tái)體的體積公式中，令S '= S,得柱體的體積公式；令 S '= 0,得錐體的體積公式，其關(guān)系如圖:嚇萼匸十祇VI)小試身手1判斷下列命題是否正確(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1

5、) 錐體的體積等于底面面積與高之積.()(2) 臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.()答案：(1) X (2) V2. 已知正六棱柱的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則它的表面積為()A. 48(3 + 3)B. 48(3 + 2 3)C. 24( .6+ .2) D . 144解析：由題意，知側(cè)面積為6X 6X 4= 144,兩底面積之和為 2x¥x42X 6= 48衍，所以表面積S= 48(3 +3).答案：A3. 若圓錐的母線長(zhǎng)為 8，底面周長(zhǎng)為6 n,則其體積是()A. 24n B . 24C. 3 55 n D . 3 55解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為I ,高為h,底面半徑為r,由底面

6、周長(zhǎng)為2 n r = 6 n,得r = 3,1所以h= 'I 2 r2= ：2 3 = 55.由圓錐的體積公式可得 V= 3 nh= 3 55 n.答案：C4. 圓臺(tái)OO的母線長(zhǎng)為6，兩底面半徑分別為 2,7，則圓臺(tái)的側(cè)面面積是 .解析：圓臺(tái)的上底面半徑 r '= 2,下底面半徑r =乙 母線長(zhǎng)1= 6,則圓臺(tái)的側(cè)面面積 S 側(cè)=n( r'+ r) I =nX (2 + 7) X 6= 54 n.棱柱的側(cè)面積是()A. 2B. 4答案：54 n幗碩n損胭翻蹴腳刪糠搆幗揪她購(gòu)顧k |磴 fife JV類(lèi)型一空間幾何體的表面積例1 (1)底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線

7、長(zhǎng)為.'2，體對(duì)角線長(zhǎng)為：6，則這個(gè)(2)若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為cnf, 表面積為 cmi2.【解析】(1)由已知得底面邊長(zhǎng)為 1,側(cè)棱長(zhǎng)為,6 2 = 2. S側(cè)=1 X 2X 4= 8. 如圖所示，軸截面是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊三角形，. OB= 2 cm, PB= 4 cm ,圓錐的側(cè)面積 S側(cè)=nX 2 X 4= 8 n (cm ),表面積 S 表=8n + nX2 2= 12 n (cm 2).【答案】(1)D (2)8 n 12n(1) 先由面對(duì)角線長(zhǎng)求邊長(zhǎng)，再由體對(duì)角線求側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而求解.(2) 由軸截面求出底面半徑，再利用圓錐的側(cè)面積公式求圓錐的側(cè)面積，進(jìn)而求表面積.

8、方法歸納1.多面體的表面積轉(zhuǎn)化為各面面積之和.2解決有關(guān)棱臺(tái)的問(wèn)題時(shí)，常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到梯形中去解決； 二是把棱臺(tái)還原成棱錐，利用棱錐的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.3旋轉(zhuǎn)體中，求面積應(yīng)注意側(cè)面展開(kāi)圖，上下面圓的周長(zhǎng)是展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)圓臺(tái)通常 還要還原為圓錐.-15 -跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，有一滾筒是正六棱柱形(底面是正六邊形，每個(gè)側(cè)面都是矩形),兩端是封閉的，筒高 1.6 m底面外接圓的半徑是0.46 m問(wèn)：制造這個(gè)滾筒需要2鐵板(精確到0.1 m ).解析：因?yàn)榇苏庵酌嫱饨訄A的半徑為0.46 m ,所以底面正六邊形的邊長(zhǎng)是0.46 m.所以 S側(cè)=ch= 6 X 0.46 X 1.6

9、= 4.416 (m ).V322以 S表=S 側(cè) + S上底 + S 下底=4.416 + 2 X 4 X 0.46 X 6 5.6 (m ).故制造這個(gè)滾筒約需要5.6 m2鐵板.答案：5.6本題實(shí)質(zhì)上是求解正六棱柱的表面積，根據(jù)底面外接圓半徑可確定該六棱柱底面邊長(zhǎng), 高已知，從而問(wèn)題可解.類(lèi)型二 空間幾何體的體積例 2(1)在正三棱柱 ABC-ABC中,D為棱AA的中點(diǎn)，若 BGD是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為a2+ ?, BC=(2) 一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6,側(cè)棱長(zhǎng)為i: 15，求這個(gè)正三棱錐的體積.【解析】(1)由題意，設(shè) AC= a( a> 0) , CG=

10、b(b> 0)，貝U BD= GD=,a2+圧，由厶BCD是面積為6的直角三角形，得 a2+*b2 X2= a2 + b2,得b2= 2a2，又*x|a22 2=6,. a = 8,. b = 16,即 b = 4. tABC=X 8X 4 = 8 3, 如圖所示為正三棱錐 S- ABC設(shè)H為正三角形 ABQ的中心，連接SH則SH即為該正 AE=£x6= 3目3, AH= gAE= 2寸3.三棱錐的高連接 AH并延長(zhǎng)交BC于 E,貝U E為BC的中點(diǎn)，且 AE± BC在 Rt SHA中, SA=帀，AH= 2 3, - SH='SA aH=15 12=、.：3

11、在厶 ABC中, Saabc= 2bC- AE= 2x 6X3 3= 9 3,1 - VSabc= 3X9 3X飛；3 = 9，即這個(gè)正三棱錐的體積為9.【答案】(1)8 3 (2)9 利用截面的面積求出三棱柱的底面邊長(zhǎng)及高，然后利用體積公式求體積.(2)求棱錐的體積關(guān)鍵是求其高，需要在正棱錐的特征三角形中求解.方法歸納1.常見(jiàn)的求幾何體體積的方法公式法：直接代入公式求解等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只 需選用底面積和高都易求的形式即可分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求 體積.2求幾何體體積時(shí)需注意的問(wèn)題柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、

12、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練2如圖，過(guò)圓柱的兩條母線AA和BB的截面 AABB的面積為 S,母線 AA的長(zhǎng)為I，/ AiOB = 90°，求此圓柱的體積.解析：/ S 截面 AABB= S, AAi= I , Ai B = S 在 Rt A OB 中，0人=點(diǎn)I 2 V 圓柱=n r % =n根據(jù)母線長(zhǎng)及截面的面積便可確定AB的長(zhǎng)，結(jié)合底面直角三角形便可求得底面半徑.類(lèi)型三組合體的表面積和體積例 3 梯形 ABCDK AD/ BC, / ABC= 90°, AD= a, BC= 2a, / DC= 60°,在平面 ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作I丄BC以

13、I為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.【解析】由題意知以I為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒置的且與圓柱等高的圓錐，如圖所示.在梯形 ABCDK/ ABC= 90°, AD/ BC AD= a, BC= 2a,/ DC= 60BC- AD CD= COSgq-=2a, AB= Cn60 DD = AA' 2AD= 2BC- 2AD= 2a,1 DO= 2DD = a.由上述計(jì)算知，圓柱的母線長(zhǎng)為 ，3a,底面半徑為2a；圓錐的母線長(zhǎng)為2a,底面半徑為a.圓柱的側(cè)面積 S = 2 n2 a ：；3a= 4J3 n a，圓錐的側(cè)面積 S2=

14、na2 a= 2 n a , 圓柱的底面積 S3=n (2 a) 2 = 4 n a，圓錐的底面積 S=n a ,2組合體上底面面積 S5= S3 S= 3 n a ,且 V 柱=n(2 a) 2 ' 3旋轉(zhuǎn)體的表面積 S= S + S2+ S3+ S5= (4 ；'3 + 9) n又由題意知形成的幾何體的體積為圓柱的體積減去圓錐的體積,a= 4 '3 n a ,V錐=n a2 .' 3a33n al旋轉(zhuǎn)體的體積 V= V柱一V錐=4 f3n a3 -33 n a3= 1-3 n al33旋轉(zhuǎn)體的表面積等于圓柱側(cè)面積、圓錐側(cè)面積與圓柱上下底面積之和減去圓錐底面積

15、, 旋轉(zhuǎn)體的體積為圓柱的體積減去圓錐的體積.方法歸納求組合體的表面積與體積的方法(1) 分析結(jié)構(gòu)特征.弄清組合體的組成形式，找準(zhǔn)有關(guān)簡(jiǎn)單幾何體的關(guān)鍵量.(2) 設(shè)計(jì)計(jì)算方法.根據(jù)組成形式，設(shè)計(jì)計(jì)算方法，特別要注意“拼接面”面積的處理利用“切割”“補(bǔ) 形”的方法求體積.(3)計(jì)算求值.根據(jù)設(shè)計(jì)的計(jì)算方法求值.跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，在厶 ABC中，AB= 8, BC= 10, AC= 6, DBL平面 ABC 且 AE/ FC/ BDBD= 3, FC= 4, AE= 5，則此幾何體的體積為 解析：用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，使AA = BB = CC = 8，由已知x 8= 96.得/

16、 BAC= 90°,所以 V 幾何體=|v 三棱柱=1 x S abc- AA = |x fx 6X8答案：96將所求幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，利用棱柱的體積公式即可求得該幾何體的體積氓踰嫁縱黝 滋器伽汽&隴緘滋鍬:他脇；畫(huà)作業(yè)誼時(shí)儼湖播麹決推商催汝飆齬沖瀬箱翹述逐帰紬基礎(chǔ)鞏固（25分鐘，60分）、選擇題（每小題5分，共25分）1如圖所示，圓錐的底面半徑為1高為,3則該圓錐的表面積為（）A.n B . 2 nC. 3 n D . 4 n解析：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為I，貝U l = ：1 + J3 2= 2,所以圓錐的表面積為 S=nX 1 X （1+ 2） = 3 n.答案：C2.若

17、棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4,16，高為3,則該棱臺(tái)的體積為（）A. 26 B . 28C. 30 D . 321 解析：所求棱臺(tái)的體積 V= 3X (4 + 16+ 4X16) X 3= 28.3答案：B3.若圓柱的底面半徑為1 ,其側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積是A. 4 nC. 2n2 2D .n解析:依題意，圓柱的母線長(zhǎng)I = 2 n r,故2 2 2S 側(cè)=2 n rl = 4 n r = 4 n .答案:4.正方體 ABCD A BCD中，以頂點(diǎn) A C、B、D為頂點(diǎn)的正三棱錐的全面積為4 3,則該正方體的棱長(zhǎng)為（）A. ：2 B . 2C. 4 D . 2 .'

18、2解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)為所以正三棱錐 A- CBD的棱長(zhǎng)為 品, 其表面積為 Axf" 2a）2 = 4 '3，可得 a2 = 2,即卩 a= ；;2.答案：A5在 ABC中，AB= 2, BC=孑，/ ABC= 120° 將厶ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積是（）7-2 3 - 2 B D 冗 冗 9 1 2 5 一 2解析:如圖，ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是以厶 ACC為軸截面的圓錐中挖去一個(gè)以ABC為軸截面的圓錐后剩余的部分.則圓錐的側(cè)面面積是解析：根據(jù)圓錐的側(cè)面面積公式可得S 側(cè)=nX 2 X .22+ 12=

19、2 . 5 n (cm)【因?yàn)?AB= 2, BC= 3,Z ABC= 120°,所以 AE= ABsin60 ° = 3, BE= AB- cos60° = 1, CE= |.1o5 n1?V1 = 3冗 aE CE=,V2= 3冗 AE2 BE=n, 所以V= Vi n .故選D.答案：D二、填空題（每小題5分，共15分）6. 2019 重慶市巴南區(qū)校級(jí)月考已知圓錐的底面半徑為2 cm,高為1 cm,2cm .答案：2 5n7 和 15,7. 2019 鄭州市校級(jí)月考底面是菱形的直棱柱，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是高是5，則這個(gè)直棱柱的側(cè)面面積是 .解析：依題意得，

20、直棱柱底面的一條對(duì)角線長(zhǎng)為152- 52= 10_：2，底面的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為72 52= 2 ：6.又菱形的兩對(duì)角線互相垂直平分，故底面邊長(zhǎng)為,5 2 2+6 2= 2 14，則這個(gè)直棱柱的側(cè)面面積 S側(cè)=4X2 14X 5= 40、.: 14.答案：40 14& 2019 啟東市校級(jí)檢測(cè)如圖，已知底面半徑為 r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩余部 分母線長(zhǎng)的最大值為 a,最小值為b,那么圓柱被截后剩下部分的體積是 .解析：將該幾何體上部補(bǔ)上一個(gè)與該幾何體相同的幾何體，得到一個(gè)圓柱，其體積為n(a2 1 2+ b) r，所以所求幾何體的體積為 2兀(a + b) r .12答案：-n(a+

21、b)r三、解答題(每小題10分，共20分)9 已知棱長(zhǎng)為a,各面均為等邊三角形的四面體S ABC如圖所示，求它的表面積.解析：因?yàn)樗拿骟w S ABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何 一個(gè)面面積的4倍.不妨求 SBC勺面積，過(guò)點(diǎn) S作SDL BC交BC于點(diǎn)D,如圖所示.因?yàn)?BC= SB= a,所以SBC=故四面體S-ABC的表面積S= 4X10.如圖，在四邊形 ABCDK/ DAB= 90°,/ AD= 135°, AB= 5, CD= 2 '2, AD= 2, 求四邊形ABCD AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的體積.解析：如圖，過(guò)C作CE垂直于A

22、D交AD延長(zhǎng)線于E,則所求幾何體的體積可看成是由 梯形ABCE繞AE旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積，減去 EDC繞DE旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積.所以所求幾何體的體積1V= V圓臺(tái)一V圓錐=3 nX (52212148+ 5X 2+ 2 ) X 4- nX2 X 2 = p n.33能力提升（20分鐘，40分）11如圖所示，正方體ABC-A B C D'的棱長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)E, F在棱AB上，且EF=2,動(dòng)點(diǎn)Q在棱D C'上，則三棱錐 A' EFQ的體積（）A. 與點(diǎn)E, F的位置有關(guān)B. 與點(diǎn)Q的位置有關(guān)C. 與點(diǎn)E, F, Q的位置都有關(guān)D. 與點(diǎn)E, F, Q的位置均無(wú)關(guān)，是定值解析：因?yàn)辄c(diǎn)Q到平面A EF的距離為正方體的棱長(zhǎng)4, A到EF的距離為正方體的棱1 116長(zhǎng)4，所以VA QEVG-A ef= 3x 2 X 2X 4X 4=-，是定值，因此與點(diǎn) E, F, Q的位置均無(wú)關(guān).3 23答案：DVFffE12如圖所示，正方形 ABC啲邊長(zhǎng)為6 cm, BC CD的中點(diǎn)分別為 E，F(xiàn),現(xiàn)