復(fù)件(34)學(xué)案模板

1、整式的乘除與因式分解單元復(fù)習(xí)與鞏固知識網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、經(jīng)歷探索整式運算法則和因式分解方法的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系2、了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)；了解因式分解的意義及其與整式乘法之間的關(guān) 系，體會事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的思想3、會進行簡單的整式乘除運算；會用提公因式法、公式法進行因式分解4、會推導(dǎo)乘法公式：(ab)(ab)a2b2；(a±b)2a2±2abb2；了解公式的幾何背景，并能利 用公式進行簡單的計算及其逆向變形5、使學(xué)生理解因式分解的意義并感受分解因式與整式乘法是相反方向的變形，讓學(xué)生掌握什么是公因 式，掌握提公因式(字母的指數(shù)是數(shù)字)和運用

2、公式法(直接運用公式不超過兩次)這兩種分解因式的 基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。重點：1整式的乘除法；2因式分解的兩種基本方法.難點：1乘法公式的靈活運用； 2因式分解方法的綜合應(yīng)用。知識要點梳理知識點一：冪的運算性質(zhì)：1、同底數(shù)冪的乘法：am·anamn(m,n為正整數(shù))；注：此性質(zhì)可以逆用，即amnam×an。如：已知2a5,2b7，則2ab2a2b5×735。另外三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即am·an·apamnp(m、n、p都是正整數(shù))2、冪的乘方：(am)namn(m

3、,n為正整數(shù))；注：注意不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆，前者是指數(shù)相乘，后者是指數(shù)相加。3、積的乘方：(ab)nan·bn(n為正整數(shù))；注：在積的乘方運算中很容易將底數(shù)中某一項或幾項不乘方而出現(xiàn)錯誤，所以在進行積的乘方運算時應(yīng)先確定底數(shù)有幾項，然后將這幾項全都乘方，再將結(jié)果相乘。4、同底數(shù)冪的除法：am÷anamn(a0, m,n為正整數(shù)，并且mn).注：根據(jù)同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)am÷anamn(a0, m,n為正整數(shù)，并且mn)，當(dāng)指數(shù)相同時，則有an÷anann a01，從而詮釋了“任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1”的道理，同時，又將同底數(shù)冪

4、除法的運算性質(zhì)中mn的條件擴大為mn；而當(dāng)mn時，仍然使用am÷anamn，則mn0，便出現(xiàn)了負指數(shù)冪ap ( a0, p為正整數(shù))；至此，同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)am÷anamn的適用范圍已不必再過分的強調(diào)m、n之間的大小關(guān)系，m、n的值也由正整數(shù)擴大到全體整數(shù)了.知識點二：整式乘法主要指兩種運算：1、單項式乘以單項式；注：先確定符號，再計算絕對值這時容易出現(xiàn)的錯誤是將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆，如2a3·3a26a5,而不要認(rèn)為是6a6或5a5另外單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用2、多項式乘以單項式.注：運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“

5、”“”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結(jié)果，要用“”連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式在多項式乘法中，通過實例得出了：含有一個相同字母的兩個一次二項式相乘，得到的積是同一個字母的二次三項式. 如果用a,b分別表示含有一個系數(shù)是1的相同字母的兩個一次二項式中的常數(shù)項，則有公式：(xa)(xb)x2(ab)xab。知識點三：整式的除法整式的除法是以同底數(shù)冪的除法為基礎(chǔ)的，主要涉及單項式除以單項式，多項式除以單項式兩種情況。運算法則是：1、單項式相除，把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。注：系數(shù)先相除，所得的結(jié)果作為商的系數(shù)

6、，特別注意系數(shù)包括前面的性質(zhì)符號被除式里單獨有的字母及其指數(shù)，作為商的一個因式，不要遺漏要注意運算的順序，有乘方先算乘方，有括號先算括號里特別是同級運算一定要從左至右，如：，而不是2、多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。注：多項式除以單項式所得商的項數(shù)與這個多項式的項數(shù)相同用多項式的每一項除以單項式時，商中的每一項的符號由多項式中的每項的符號與單項式的符號共同確定知識點四：乘法公式：1、平方差公式：(ab)(ab)a2b2；2、完全平方公式：(ab)2a22abb2；(ab)2a22abb2.注：()應(yīng)用乘法公式時，應(yīng)避免出現(xiàn)以下錯誤，如，等等；()注意乘

7、法公式的靈活正用和逆用問題知識點五：因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解.初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹的因式分解的方法有: 提公因式法, 公式法, 分組分解法, 十字相乘法, 添、拆項法等。要點詮釋： (1) 因式分解的對象是多項式，因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；(2) 因式分解的一般步驟是：首先看有無公因式，然后判斷是否可以套用公式，最后考慮分組分解。分解因式必須進行到每一個因式都不能再分解為止，一般情況是，最后結(jié)果只有小括號并且每個小括號中多項式首項系數(shù)為正。例如：-3x2+x=-x(3x-1)(3) 提公因式法的關(guān)鍵是確定公因式。即取各項系

8、數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項的相同的字母各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；(4) 運用公式法時要注意判斷是否符合公式要求，并牢記公式的特征；(5) 分組分解的關(guān)鍵是適當(dāng)分組，先使分組后各組中能分解因式，再使因式分解能在各組之間進行。規(guī)律方法指導(dǎo)1、整式的乘法與因式分解在意義上正好相反,結(jié)果的特征是因式分解是積的形式,整式的乘法是和的形式,抓住這一特征,就不容易混淆因式分解與整式的乘法.2、分解因式的一般步驟是先提取公因式，然后再利用公式。在提取公因式的過程中有很多情況應(yīng)該先將所給的多項式中的某一部分進行變形，然后才能提取公因式或者利用公式進行分解因式。常用的變形公式是：和 (n為正整數(shù))，即當(dāng)次數(shù)是偶

9、數(shù)時，可以隨意改變括號里面的減數(shù)和被減數(shù)的位置，當(dāng)次數(shù)是奇數(shù)時，在改變減數(shù)和被減數(shù)的位置之后，應(yīng)該在括號的前面加一個負號。3、在本章中多次運用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，例如單項式乘以單項式可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法和同底數(shù)冪的乘法運算；單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式都可以轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式。4、整體代換的思想方法在乘法公式中表現(xiàn)的特別典型，公式中的字母不僅可以代表數(shù)，而且可以表示代數(shù)式。正是由于整體代換的思想，乘法公式才能得到廣泛的應(yīng)用。再比如，在研究多項式乘多項 式法則時，是把看成一個整體，運用單項式乘以多項式的法則，得到然后再運用“單多”的運算法則即可得到。在分解因式時，可以把看成一個整體

10、，提公因式，即原式=。5、本章所學(xué)的公式和法則都是既可正向運用又可逆向運用的。進行整式乘法運算時，逆用公式可使計算簡便。 例如：學(xué)會就變式運用或逆用乘法公式，也能使運算簡便。 例如：計算：。經(jīng)典例題透析類型一：冪的運算性質(zhì)的有關(guān)運算：1計算：(1)、103×104； (2)、a·a3； (3)、a·a3·a5(4)、(103)5； (5)、(b3)4 (6)、(2b)3；(7)、(2×a3)2； (8)、(a)3； (9)、(3x)4思路點撥：(1)(2)(3)題為同底數(shù)冪的乘法，法則是底數(shù)不變指數(shù)相加。(4) (5)題為冪的乘方，法則是底數(shù)不

11、變，指數(shù)相乘。(6)， (7)， (8)，（9）題為積的乘方，法則是積中每個因式分別乘方再把所得的冪相乘，并注意(7) (8)中的“”不要漏掉?？偨Y(jié)升華：在進行冪的有關(guān)運算時，應(yīng)先確定該運算是何種運算，再運用該運算的法則進行計算。 (5)題 (b3)4先確定該運算是冪的乘方，再根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘得(b3)4b3×4b12冪的有關(guān)運算要求透徹理解法則的實質(zhì)，在練習(xí)中多體會和總結(jié)。舉一反三：【變式1】下面的計算是否正確？如有錯誤，請改正過來。(1). (a)2a2； (2). (xy)3(yx)3；(3). a3a32a3(4). b4b4b8(5). (a4)4a44a8

12、(6). (2x)32x3；思路點撥：(1)，(2)，題錯在符號上，在本章計算中，自始至終要注意符號(3)，(4)，(5)兩題的錯誤表現(xiàn)為概念不清，算理不清，法則混淆。(3)題為同底數(shù)冪的乘法，法則為底數(shù)不變指數(shù)相加。(4)題為合并同類項，法則是系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。(5)題為冪的乘方，法則是指數(shù)相乘。 (6)題是錯誤的，(2x)應(yīng)看作一個整體，題中沒有把系數(shù)2進行3次運算，對積的乘方性質(zhì)沒有理解，也沒有注意符號.【變式2】計算 【變式3】若是正整數(shù)，且，(1)求滿足條件的共有多少對？(2)根據(jù)條件能否快速判斷出的計算結(jié)果？類型二：整式乘除的有關(guān)運算：2下列運算是否正確，如有錯誤請改

13、正過來。(1)、(a2b)3·(4ab2)2×(4) (a2b)·(ab2)2a3b3.(2)、(3x2)(2x3x21)(3x2)·2x3 (3x2)·x26x53x4.(3)、 (4)、(3x2y)(4x7y)3x·4y(2y)·7x12x214y2.(5)、x(x23)x2(x3)3x(x2x1)x33xx33x23x33x23x.(6)、8x2(x2)(3x1)2(x1)(x5)8x2(3x22)2(x25)8x23x222x210 3x212.思路點撥：(1)本題直接運用了單項式與單項式相乘的法則，而忽視了兩個單項

14、式的括號外的指數(shù)。(2)本題多項式中有三項，所以單項式乘以多項式里的每一項的結(jié)果應(yīng)有三項，而這里錯在漏乘了 “1”。(3)解法有兩處錯誤：一是漏掉了字母；二是同底數(shù)的冪相除“指數(shù)相減”是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù)，不能反過來相減。(4)兩個多項式相乘, 應(yīng)根據(jù)多項式的乘法法則進行,在合并同類項之前,積的項數(shù)等于兩個多項式的項數(shù)的積,利用這一點可以檢查積中是否有漏乘的項。原題中漏掉兩項。(5)本題在運用法則運算時并沒有錯，問題出在其結(jié)果沒有合并同類項。(6)多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，而本題的錯解過程中卻只將兩個多項式的首項與首項相乘，尾

15、項與尾首相乘.總結(jié)升華：整式乘除必須按照其法則進行?；旌线\算，運算順序仍然是先乘方，再乘除，后加減，做到不“重”和不“漏”，運算結(jié)果要檢查，如果有同類項要合并，結(jié)果要最簡。舉一反三：【變式1】要使(6xa)(2x1)的結(jié)果中不含x的一次項,則a等于( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【變式2】計算：(1)、(x2)(x3) (2)、(3x1)(2x1)(3)、(x3y)(x7y) (4)、(2x5y)(3x2y)(5)、(9x415x26x)÷x (6)、(28a3b2ca2b314a2b2)÷(7a2b)類型三：乘法公式的應(yīng)用3計算 (1)(3x2y)(3x2y)

16、 (2)(5a3b)(5a3b) (3)、(2x3y)2思路點撥：先觀察式子特點，再恰當(dāng)選擇乘法公式，注意最后結(jié)果要化簡。4(1) 1999×2001 (2)1022 思路點撥：直接計算較麻煩，略加變形，便可能化為符合平方差公式或完全平方式形式，既簡捷又新穎。5. 求x3(x1)2(x1)展開后，x2項的系數(shù) 思路點撥：x3(x1)2(x1)x3(x1)(x1)3因為x2項只在(x1)3中出現(xiàn)，所以只要看(x1)3(1x)3中x2項的系數(shù)即可總結(jié)升華：應(yīng)用乘法公式的關(guān)鍵，是要理解公式中字母的廣泛含義，對公式中的項數(shù)、次數(shù)、符號、系數(shù)，不要混淆，要達到正確、熟練、靈活運用的程度，這樣會

17、給解題帶來極大便利6已知ab3，ab4，求 ：(1).a2b2；(2).a3b3，思路點撥：由a2b2這一特征，使我們聯(lián)想完全平方公式“(ab)2a22abb2”由此變形為“a2b2(ab)22ab”，顯然可將(1)解決，由此進行探索，便可打開思路。解析： 總結(jié)升華：在無法直接利用公式的情況下，我們采取“配湊法”進行，通過配湊向公式過渡，架起了已知與未知之間橋梁，順利到達“彼岸”。在解題時，善于觀察，捕捉習(xí)題特點，聯(lián)想公式特征，便易于點燃思維的火花，找到最佳思路。舉一反三：【變式1】計算：(2x3y1)(2x3y5) 【變式2】已知ab4, bc6，求a2b2c2abbcca的值。【變式3】已

18、知、是ABC的三邊，且滿足，那么ABC為等邊三角形嗎？【變式4】計算：【變式5】計算：類型四：因式分解的有關(guān)運算7下列各式從左到右的變形,屬于因式分解的是( )A. a(ab1)a2abb; B. a2a2a(a1)2C. 4a29b2(2a3b)(2a3b);D. x24x5(x2)29思路點撥：因為A、B、D的右邊都不是整式的乘積的形式,只有C的右邊是整式的乘積形式,并且左右恒等,故C是因式分解,8. 關(guān)于多項式m(ab)2n(ba)3m(ba)各項的公因式，下面說法正確的是( )A、沒有公因式； B、公因式為m； C、公因式為(ba)； D、公因式為(ba)2思路點撥：m這個字母不是各項都有的，(ab)2(ba)2所以各項均有(ba)，且次數(shù)最低是1，所以公因式為(ba).9分解因式：(x21)216(1x2)64.思路點撥：把(x21)看成一個整體利用完全平方公式進行分解,總結(jié)升華:體現(xiàn)了“換元”思想,