2022年2022年高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載第四章平面對(duì)量高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.平面對(duì)量的實(shí)際背景及基本概念精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 明白向量的實(shí)際背景；2 懂得平面對(duì)量的概念,懂得兩個(gè)向量相等的含義；3 懂得向量的幾何表示.本章重點(diǎn)：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.向量的線性運(yùn)算(1) 把握向量加法.減法的運(yùn)算,并懂得其幾何意義；(2) 把握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,懂得兩個(gè)向量共線的含義；1. 向量的各種運(yùn)算；2. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算 及 數(shù) 形 結(jié) 合 的 思想；向量為近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念

2、之一,它為溝通代數(shù).幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 明白向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.3.平面對(duì)量的基本定理及其坐標(biāo)表示1 明白平面對(duì)量的基本定理及其意義；2 把握平面對(duì)量的正交分解及其坐標(biāo)表示；(3) 會(huì)用坐標(biāo)表示平面對(duì)量的加法.減法與數(shù)乘運(yùn)算；4 懂得用坐標(biāo)表示的平面對(duì)量共線的條件. 4.平面對(duì)量的數(shù)量積1 懂得平面對(duì)量數(shù)量積的含義及其物理意義；2 明白平面對(duì)量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；(3) 把握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算；(4) 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判定兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系.5.

3、向量的應(yīng)用(1) 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)潔的平面幾何問(wèn)3. 向量的數(shù)量積在 證 明 有 關(guān) 向 量 相等.兩向量垂直.投 影.夾角等問(wèn)題中的 應(yīng)用 .本章難點(diǎn)：1. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算在證明向量垂直和平行問(wèn)題中的應(yīng)用；2. 向量的夾角公式和距離公式在求解平面上兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離中的應(yīng)用 .背景,同時(shí)又為數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范,正為由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”,所以它成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的一個(gè)交匯點(diǎn).在高考中,不僅留意考查向量本身的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)和方法,而且常與解析幾何.三角函數(shù).數(shù)列等一起進(jìn)行綜合考查 .在考試要求的層次上更加突出向量的實(shí)際背景.幾何意義.運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值

4、 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題；(2) 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)潔的力學(xué)問(wèn)題及其他一些實(shí)際問(wèn)題.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)問(wèn)網(wǎng)絡(luò)4.1平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例 1】 以下命題：向量 ab 的長(zhǎng)度與ba 的長(zhǎng)度相等；向量 a 與向量 b 平行,就a 與 b 的方向相同或相反；兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量,其終點(diǎn)必相同；向量 ab 與向量 cd 為共線向量,就a.b.c.d 必在同始終線上.其中真命題的序號(hào)為.【解析】 對(duì)；零向量與任一向量為平行向量,但零向量的方向任意,故錯(cuò)；明顯錯(cuò)；ab 與 cd為共線向量, 就 a.b.c.

5、d 可在同始終線上,也可共面但不在同始終線上,故錯(cuò) .故為真命題的只有.【點(diǎn)撥】 正確懂得向量的有關(guān)概念為解決此題的關(guān)鍵,留意到特殊情形,否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可 .【變式訓(xùn)練1】以下各式：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 |a|aa ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 abc abc； oa ob ba ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在任意四邊形abcd 中, m 為 ad 的中點(diǎn), n 為 bc 的中點(diǎn),就ab dc 2 mn ； a cos , sin , b cos , sin ,且 a 與 b 不共線,就 a b ab .其中正確

6、的個(gè)數(shù)為a.1b.2c.3d.4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 選 d.| a |aa 正確； abc abc ；oa ob ba 正確；如下圖所示,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mn = md + dc + cn 且 mn = ma + ab + bn ,兩式相加可得2 mn ab dc ,即命題正確；由于 a, b 不共線,且 |a|b| 1,所以 a b, a b 為菱形的兩條對(duì)角線, 即得 ab a b.所以命題正確.題型二與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題【例 2】如圖, abcd 為平行四邊形,ac .bd 交于點(diǎn) o,點(diǎn) m 在線段 do精品學(xué)習(xí)資料

7、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1上,且 dm=do31,點(diǎn) n 在線段 oc 上、 且 on =oc3、 設(shè) ab =a、ad = b、 試用精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a.b 表示 am , an , mn .【解析】 在.abcd 中, ac ,bd 交于點(diǎn) o,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 do 1 db 1ab ad 1 b,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2ao oc 122ac 122 aab ad 1a b.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 dm 1 do ,on 1 oc ,331所以 am ad dm

8、 b 3 do b1 115× a b a b,3 266an ao on oc 1 oc3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4 3 oc 4 1× a b 3 223a b.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 mn an am精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 2a b 1 5 1a 1 abb.36626【點(diǎn)撥】 向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就為可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示,即平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用,在運(yùn)用向量解決問(wèn)題時(shí),常常需要進(jìn)行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】o 為平面 上一點(diǎn), a.b.c 為平面 上不共線的

9、三點(diǎn),平面 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p 滿意 op 2oa ab ac ,如 1時(shí),就 pa pb pc 的值為.【解析】 由已知得 op oa ab ac ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 ap ab ac ,當(dāng) 1時(shí),得2ap 1 ab ac , 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 2 ap ab ac ,即 ap ab ac ap , 所以 bp pc ,所以 pb pc pb bp 0,所以 pa pb pc pa0 0,故填 0.題型三向量共線問(wèn)題【例 3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a 與 b 不共線 .1如 ab a b,bc 2a 8b,cd 3 a b,求證： a,

10、b, d 三點(diǎn)共線； 2試確定實(shí)數(shù)k,使 ka b 和 akb 共線 .【解析】 1 證明：由于ab a b,bc 2a 8b,cd 3 a b,所以 bd bc cd 2a 8b3a b 5a b 5 ab ,所以 ab ,bd 共線 .又由于它們有公共點(diǎn)b, 所以 a, b,d 三點(diǎn)共線 .2由于 ka b 和 a kb 共線,所以存在實(shí)數(shù),使 ka b a kb,所以 k ak1b.由于 a 與 b 為不共線的兩個(gè)非零向量,所以 k k 1 0,所以 k2 1 0,所以 k ±1.【點(diǎn)撥】 1 向量共線的充要條件中,要留意當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向

11、量,要留意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)留意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)分與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.【變式訓(xùn)練3】已知 o 為正三角形bac 內(nèi)部一點(diǎn), oa +2 ob +3 oc =0,就oac 的面積與 oab 的面積之比為（）32a. 2b. 31c.2d. 3【解析】 如圖,在三角形abc 中,oa 2 ob 3 oc 0,整理可得oa oc 2 ob oc 0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令三角形 abc 中 ac 邊的中點(diǎn)為e, bc 邊的中點(diǎn)為f,就點(diǎn)

12、o 在點(diǎn) f 與點(diǎn) e 連線的1處,即 oe 2of . 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1hh1設(shè)三角形abc 中 ab 邊上的高為h,就 soac soae soec 2oe2 22oe· h,111soab 2ab2h 4ab· h,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ef由于 ab 2ef ,oe 23,所以 ab 3oe,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載soac所以soab1 oe21 ab4h2 3.應(yīng)選 b.h精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載總結(jié)提高1.向量共線

13、也稱向量平行,它與直線平行有區(qū)分,直線平行不包括共線即重合 的情形,而向量平行就包括共線 即重合 的情形 .2.判定兩非零向量為否平行,實(shí)際上就為找出一個(gè)實(shí)數(shù),使這個(gè)實(shí)數(shù)能夠和其中一個(gè)向量把另外一個(gè)向量表示出來(lái).3.當(dāng)向量 a 與 b 共線同向時(shí),|a b| |a| |b|；當(dāng)向量 a 與 b 共線反向時(shí), |a b| |a| |b|； 當(dāng)向量 a 與 b 不共線時(shí), |a b| |a| |b|.4.2平面對(duì)量的基本定理及其坐標(biāo)表示典例精析題型一平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用【例 1】如圖 .abcd 中 、m 、n 分別為 dc ,bc 中點(diǎn) .已知 am =a、 an =b、試用 a,b 表示 a

14、b , ad 與 ac【解析】 易知 am ad dm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ad 1 ab ,2an ab bn ab 1 ad ,2ad1 aba、即2ab1 adb.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 ab 22b a,ad 2 b.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3所以 ac ab ad 2 2a3 b.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a3【點(diǎn)撥】 運(yùn)用平面對(duì)量基本定理及線性運(yùn)算,平面內(nèi)任何向量都可以用基底來(lái)表示.此處方程思想的運(yùn)用值得認(rèn)真領(lǐng)會(huì).【變式訓(xùn)練1】已知 d 為 abc 的邊 bc 上的中點(diǎn), abc 所

15、在平面內(nèi)有一點(diǎn)p,滿意 pa bp cp精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 0,就| pd | 等于 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. 13| ad |b. 12c.1d.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 由于 d 為 bc 邊上的中點(diǎn),因此由向量加法的平行四邊形法就,易知pb pc 2 pd ,因精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載此結(jié)合 pa bp cp 0 即得 pa 2 pd ,因此易得p,a, d 三點(diǎn)共線且d 為 pa 的中點(diǎn),所以| pd |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載| ad | 1,即選 c.題

16、型二向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 2】 已知 a 1, 1, b x, 1,u a 2b, v 2ab.1如 u 3v,求 x； 2如 uv,求 x.【解析】 由于 a 1, 1, b x, 1,所以 u 1, 1 2x, 1 1, 1 2x, 2 2x 1, 3,v 21, 1 x, 1 2x, 1. 1u 3v. 2x1, 3 32 x, 1. 2x 1,3 6 3x, 3, 所以 2x 1 63x,解得 x 1.2u v . 2x1, 3 2 x, 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x1.32x、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載. 2x 1 32 x0. x 1.【點(diǎn)

17、撥】 對(duì)用坐標(biāo)表示的向量來(lái)說(shuō),向量相等即坐標(biāo)相等,這一點(diǎn)在解題中很重要,應(yīng)引起重視.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【變式訓(xùn)練2】已知向量a nn* b|2 |a b|2 |a b|2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n |a141 b|2 的最大值為.cos 7 , sin 7 nn, |b| 1.就函數(shù) y |a123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 設(shè) b cos , sin ,所以 y |a b|2 |a b|2 |a b|2 |a b|2 a 2 b2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12314112cos ,7精品學(xué)習(xí)資料

18、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,sin a2 b2141 141 , sin 282 2cos,所以 y 的最大值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin7cos1412cos7,sincos 77精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為 284.題型三平行 共線 向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 3】已知 abc 的角 a,b,c 所對(duì)的邊分別為a, b,c,設(shè)向量 ma,b,n sin b, sin a, p b2, a 2.1如 m n,求證： abc 為等腰三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2如 m p,邊長(zhǎng) c 2,角 c,求 abc 的面積 . 3精品

19、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 1 證明：由于m n,所以 asin a bsin b.由正弦定理,得a2 b2,即 ab.所以abc 為等腰三角形 .2由于 m p,所以 m· p 0,即ab 2 ba2 0,所以 a b ab.由余弦定理,得4 a2 b2 aba b2 3ab,所以 ab2 3ab 4 0.所以 ab 4 或 ab 1舍去 .113所以 sabc 2absin c2×4×2 3.【點(diǎn)撥】 設(shè) m x1, y1, n x2, y2,就 m n. x1 y2 x2y1； m n. x1 x2y1 y2 0.【變式訓(xùn)練 3】已知

20、 a,b,c 分別為 abc 的三個(gè)內(nèi)角 a,b, c 的對(duì)邊,向量 m2cosc1, 2, ncos c, cos c 1. 如 m n,且 a b10,就 abc 周長(zhǎng)的最小值為 a.10 53b.10 53c.10 23d.10 23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載或【解析】由 m n 得 2cos2c 3cos c 2 0,解得 cos c 12cos c 2舍去 ,所以 c2 a2 b2 2abcos精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c a2 b2 ab a b2 ab 100 ab,由 10a b 2ab. ab 25,所以 c275,即 c 53,所以a

21、 b c 10 53,當(dāng)且僅當(dāng)a b5 時(shí),等號(hào)成立.應(yīng)選 b.總結(jié)提高1.向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際為向量的代數(shù)表示,在引入向量的坐標(biāo)表示后,即可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái).向量方法為幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合體,許多幾何問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為熟知的向量運(yùn)算.2.向量的運(yùn)算中要特殊留意方程思想的運(yùn)用.3.向量的運(yùn)算分為向量形式與坐標(biāo)形式.向量形式即平行四邊形法就與三角形法就,坐標(biāo)形式即代入向量的直角坐標(biāo).4.3平面對(duì)量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用典例精析題型一利用平面對(duì)量數(shù)量積解決模.夾角問(wèn)題【例 1】 已知 a, b 夾角為 120°,且 |a| 4, |b| 2,求： 1|a b|；2

22、 a 2b · a b；3a 與a b的夾角 .【解析】 1 a b2 a2 b2 2a· b1 164 2×4×2× 12,2所以 |a b| 23.2 a 2b · a b a2 3a· b 2b2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 163×4×2× 2×4 12.23a· a b a2 a·b 16 4×2 112.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載× 2a ab123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

23、所以 cos | a | ab |4×23,所以 .26精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【點(diǎn)撥】 利用向量數(shù)量積的定義.性質(zhì).運(yùn)算律可以解決向量的模.夾角等問(wèn)題.【變式訓(xùn)練1】已知向量a,b,c 滿意：|a|1,|b| 2,c a b,且 c a,就 a 與 b 的夾角大小為.【解析】 由 c a. c· a 0. a2 a· b 0,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 cos1,所以 2120°.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型二利用數(shù)量積來(lái)解決垂直與平行的問(wèn)題【例 2】 在 abc 中, ab 2 ,3

24、 ,ac 1, k,且 abc 的一個(gè)內(nèi)角為直角,求k 的值 .【解析】 當(dāng)a 90°時(shí),有 ab · ac 0,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 2×1 3· k0,所以 k 2；3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)b 90°時(shí),有 ab · bc 0,；又 bc ac ab 1 2, k 3 1, k 3, 所以 2×1 3×k 3 0. k 113當(dāng)c 90°時(shí),有 ac · bc 0,所以 1 k· k 3 0,所以 k2 3k 1 0. k 3

25、± 13.22113± 13精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 k 的取值為3, 3 或2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【點(diǎn)撥】 由于哪個(gè)角為直角尚未確定,故必需分類(lèi)爭(zhēng)論.在三角形中運(yùn)算兩向量的數(shù)量積,應(yīng)留意方向及兩向量的夾角.【變式訓(xùn)練2】 abc 中, ab 4, bc 5,ac 6,求 ab · bc bc · ca ca · ab .【解析】 由于 2 ab · bc 2 bc · ca 2 ca · ab ab · bc ca · ab ca 

26、3; ab bc · ca bc · ca bc · ab ab · bc ca ca · ab bc bc · ca ab ab · ba ca · ac bc · cb 426252 77.2所以 ab · bc bc · ca ca · ab 77.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型三平面對(duì)量的數(shù)量積的綜合問(wèn)題【例 3】數(shù)軸 ox,oy 交于點(diǎn) o,且 xoye ,e分別為與ox,oy 同向精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ,構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系,123的單位向量,設(shè)p 為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且op xe1 ye2,就點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 x, y,已知 q1, 2.1求| oq |的值及 oq 與 ox 的夾角；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2過(guò)點(diǎn) q 的直線 l oq ,求 l 的直線方程 在斜坐標(biāo)系中.【解析】 1 依題意知, e · e112 ,2且 oq e1 2e2,所以 oq 2 e1 2e22 1 4 4e1· e2 3.所以 | oq