初數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理（精編版）

1、初二數(shù)學(xué)【教學(xué)進(jìn)度】幾何第二冊(cè)第五章§教學(xué)內(nèi)容 平行線分線段成比例定理重點(diǎn)難點(diǎn)剖析一、主要知識(shí)點(diǎn)1. 平行線分線段成比例定理，三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。2. 三角形一邊平行線的性質(zhì)定理（即平行線分線段成比例定理的推論）：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3. 三角形一邊的平行線的判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4. 三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6）：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三

2、角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。二、重點(diǎn)剖析1. 平行線分線段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理論，同時(shí)， 它也是直接證明線段成比例的最重要方法之一。定理的基本圖形ddaal 1l 1a (d)l 1dal 1eebbebl2l 2l 2b(e)l 2fcfcl 3l 3cfl 3cfl 3圖1- （1）圖1- （2）圖1- （3）圖1- （4） l1 l2 l 3abbcdeefabacdedfbcacefdf對(duì)應(yīng)線段是指一條直線被兩條平行直線截得的線段與另一條直線被這兩條平行直線截得的線段對(duì)應(yīng)。為了強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)和記憶，可以使用一些簡(jiǎn)單形象化語(yǔ)言記憶上面所列三組比例式：abbc abac bcdeef

3、 dedf ef，可以說(shuō)成“上比下等于上比下”，可以說(shuō)成“上比全等于上比全”，可以說(shuō)成“下比全等于下比全”等acdf2. 三角形一邊平行線的性質(zhì)定理1（即平行線分線段比例定理的推論） 基本圖形aeda abcdebcbcde圖2-(1)圖2-(2)圖2-(3) de bcadaedbecadaeabacdbceabac圖 2（ 1），圖 2（ 3）稱為“ a ”型，圖2（ 2）稱為“ x ”型推論中“或兩邊的延長(zhǎng)線”是指三角形兩邊在第三邊同一側(cè)的延長(zhǎng)線3. 三角形一邊平行線的判定定理是平行線分線段成比例的推論的逆命題。（ 1）這個(gè)定理可以用來(lái)判定兩條直線平行。（ 2）使用時(shí)，一定要注意這個(gè)定理

4、的前提：截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得對(duì)應(yīng)線段成比例。4. 平行線分線段成比例定理的逆命題：三條直線截兩條直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這三條直線平行。它是一個(gè)假命題，如圖3，其中 ab=bc ，a dl 1b el 2abde=ef ，則bcde1 ，但 lef1、l2、l 3l 3不平行。fc5、三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理2（即課本例6），這個(gè)定理也叫做相似三角形預(yù)備定理圖3a de bcaddeaedeabbcac這時(shí)，成比例的線段已經(jīng)不一定分布在兩條直線上。bc當(dāng)平行于三角形一邊的直線截兩邊的延長(zhǎng)線時(shí)，這個(gè)定圖4理也成立。圖 4 是最基本的“a ”型，課本例6 中有“ a”型

5、時(shí)常a作平行線， 把所要研究的線段中，與其它線段關(guān)系不明顯的線段平移到關(guān)系明顯的線段上去。ge典型例題 例 1、如圖 5，在 abc 中， d 是 bc 上的點(diǎn)，fe 是 ac 上的點(diǎn)， ad 與 be 交于點(diǎn) f，若 ae:ec=3:4 ，bdcbd:dc=2:3 ，求 bf:ef 的值。圖5分析：求兩條線段的比值，可通過(guò)平行線截得比例線段定理和已知線段的比發(fā)生聯(lián)系，而圖形本身并沒(méi)有平行線，故需添加輔助線平行線去構(gòu)造比例線段，進(jìn)而求出比值。geae解：過(guò) e 作 eg bc 交 ad 于 g，則在 adc 中，dcacae3又ec4ae3ac7eg3dc7極 eg=3x， dc=7x（ x&

6、gt;0 ），則bd2dc314 x bd3eg3x db=1492 dc327 x314 x3bf又 eg bc， febd14eg9例 2、如圖 6，de ab ， ef bc ，af=5cm, fb=3cm, cd=2cm,求 bd 。分析根據(jù)條件可知bdef 為平行四邊形， 由 ef bc ，應(yīng)用相似三角形的預(yù)備定理，得afab質(zhì)，即可求出ef 即 bd 。解：de ab ， efbcef再應(yīng)用比例性abcfe 四邊形 bdef 為平行四邊形， bd=efafef又ef bc， bdcabbc圖6afbd5bdafbfbddc53bd2解之，得bd=10 （ cm）3例 3、如圖 7，

7、 a 、c、e 和 b 、f、d 分別是 o 的兩邊上的點(diǎn)，且ab ed 、bc fe。e求證3aemaaaca ae：mbb cd2adbefo abcbafb圖9fedd圖7cc圖12圖8c 圖10bdmfn c圖11afoa occdofoaodoedecdobobodofcfdeocoa od oecfob oeoc ofob oe11oa od1oc ofoaofocodccbcamemmbfmema , b , c ,fmaa / bb/ ccaabbcc / aaccaabacccc / bbbbacccc cbcac abaabbbaabbcac ab1111aabbcc111

8、aabbccccccbc 1aabbbfadad1ababdedbbebecbbcadbfbfabdbdebc 1bebebfadbffc1abemecenfcbfaeceemamfna1aebab acbbacac bdbdaca c bdacb d 以點(diǎn) a 為端點(diǎn)，作射線2. 在 am 上順次截 ad=2a ， de=3a （ a 為任意長(zhǎng)）3. 連結(jié) be，過(guò)點(diǎn) d 作 dc/be 交 ab 于 c，則點(diǎn) c 即為所求aa練習(xí)與測(cè)試 1. 如圖 abc 中， d 、e、f 分別在 ab 、ac 、bc 上， 且 de/bc ， ef/ab ，ad=9 ， ef=6，cf=5 ，d ed

9、ebfc則 bf=2. 直線 de 分別交 abc 的邊 ab 、ac 于點(diǎn) d 、e， 且 ad=4cm ， ae=6cm 、ab=12cm ，ac=那么 de/bc( 第1題)ba edc( 第3題)ead23. 如圖 de/bc，fdb3那么 ac =deecbcb( 第4題)cad dcoefbc( 第5題)gh4. 如圖在abcd中， e 在 ad 上，且 4ae=5de ，ce 交 bd 于 f， 則 bffdfa5. 如圖，梯形abcd 中， ad/bc ，對(duì)角線ac 、bd 相交于 o， ce/ab 交 bd 的延長(zhǎng)線于e， 若 ob=6 ，od=3 ，則 de=6. 如圖，已

10、知dc/ef/gh/ab，gal 1ab=30 ，cd=6 ，且 de：eg： ga=1 ：2： 3，feo1 o2b e( 第7題)ao3dc則 ef=gh=7. 如圖，在abcd 中，o1、o2、o3 分別為對(duì)角線bd 上三點(diǎn)，del 2bcd( 第8題)且 bo 1=o 1o2=o 2o3=o 3d，連結(jié) ao1 ，并延長(zhǎng)交bc 于 e， 連結(jié) eo3，并延長(zhǎng)交ad 于點(diǎn) f，則 ad ： fd=bca ( 第9題)ad8. 圖，l1 / l 2, af2 gb ， bc=4cd ，ge5若 ae=kec ，則 k=9. 如圖， cd 是 abc 的角平分線，b dcef( 第10題)m

11、n點(diǎn) e 在 ac 上 ， adabae2ac5，ac=10 ，求 deadbca( 第13題（1）)d10. 如圖， cd 是 abc 中， e 為 ac 的中點(diǎn)，d 為 bc 上的點(diǎn)，且bd=ab ，求證：bcagabgdenmffem（n）11. 已知， c 是線段 ab 上一點(diǎn)，分別以ac 、bcbcbc為邊，在 ab 的同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形acd 和 bce ， ae 交 cd 于 f， bd 交 cg 于 g，求證 fg/ab12. 已知， bd 為 abc 的角平分線，de/bc ，（第13題（2）nefad（第13題（2）m交 ab 于 e，求證：111abbcde13. 已知

12、，如圖（1），梯形 abcd 中， ad/bc ， e、f 分別在 ab 、cd 上， 且 ef/bc ，ef 分別交 bd 、ac 于 m 、n 。求證 me=nf當(dāng) ef 向上平移圖（ 2）各個(gè)位置其他條件不變時(shí)，的結(jié)論是否成立，請(qǐng)證明你的判斷。練習(xí)與測(cè)試參考解答或提示bc（第13題（ 2）1 15 ； 2 18cm；3 5 , 2235；4 9：4；59；610， 18；7 9： 1；8 2；96agaebcec10. 提示，過(guò)d 作 dh/ac交 bg 于 h 點(diǎn)，則gd得結(jié)論。，dhbd，又 ae=ec ，bd=ab ，即可dh11. 略證，由 dca= eba=60 0，有 cd/be ，則 becdegefcg ，同理a