2007年天津高考理科數(shù)學(xué)試卷含答案

1、2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘第卷1至2頁(yè)，第卷3至10頁(yè)考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回祝各位考生考試順利!第卷注意事項(xiàng)：1答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)答在試卷上的無(wú)效3本卷共10小題，每小題5分，共50分參考公式：·如果事件互斥，那么球的表面積公式·如果事件相互獨(dú)立，那么其中表示球的半徑一、選擇題：

2、在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1是虛數(shù)單位，（） 2設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）41112143“”是“”的（）充分而不必要條件必要而不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件4設(shè)雙曲線的離心率為，且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則此雙曲線的方程為（）5函數(shù)的反函數(shù)是（）6設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）若與所成的角相等，則若，則若，則若，則7在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則（）在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)8

3、設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，若是與的等比中項(xiàng)，則（）24689設(shè)均為正數(shù)，且，則（）10設(shè)兩個(gè)向量和，其中為實(shí)數(shù)若，則的取值范圍是（）2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）第卷注意事項(xiàng)：1答案前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚2用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上3本卷共12小題，共100分二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填在題中橫線上11若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為，則（用數(shù)字作答）12一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為13設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前項(xiàng)的和為，則14已知兩圓和相交于兩點(diǎn)，則直線的方程是15如圖

4、，在中，是邊上一點(diǎn)，則16如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）三、解答題：本大題共6小題，共76分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值18（本小題滿分12分）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球（）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；（）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望19

5、（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（）證明；（）證明平面；（）求二面角的大小20（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值21（本小題滿分14分）在數(shù)列中，其中（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）證明存在，使得對(duì)任意均成立22（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為（）證明；（）設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）參考解答一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題5分，滿分50分1

6、2345678910二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題4分，滿分24分11212133141516390三、解答題17本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力滿分12分（）解：因此，函數(shù)的最小正周期為（）解法一：因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為解法二：作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：yxo由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為18本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力滿分12分（）

7、解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件由于事件相互獨(dú)立，且，故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為（）解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件由于事件互斥，且，故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為（）解：可能的取值為由（），（）得，從而的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望19本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力滿分12分（）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故，平面

8、而平面，（）證明：由，可得是的中點(diǎn)，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面內(nèi)的射影是，又，綜上得平面（）解法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)則（）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則因此是二面角的平面角由已知，得設(shè)，可得在中，則在中，所以二面角的大小是解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為過(guò)點(diǎn)作，垂足為，故平面過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，故因此是二面角的平面角由已知，可得，設(shè)，可得，于是，在中，所以二面角的大小是20本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法滿分12分（）解：當(dāng)時(shí)，又，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即

9、（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且21本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力滿分14分（）解法一：，由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為以下用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí)，等式成立（

10、2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何都成立解法二：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，式減去式，得，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和（）證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：由知，要使式成立，只要，因?yàn)樗允匠闪⒁虼耍嬖?，使得?duì)任意均成立22本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力滿分14分（）證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中由于點(diǎn)在橢圓上，有，即解得，從而得到直線的方程為，整理得由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，將代入上式并化簡(jiǎn)得，即證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組將式代入式，得，整理得，于是，由式得由知將式和式代入得，將代