直線和圓錐曲線測(cè)試題(卷)

1、直線與圓錐曲線測(cè)試題一 選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1 直線li: y=x+1, l 2: y=x+2與橢圓C: 3x2+6y2=8的位置關(guān)系是A li, 12與C均相交B li與C相切，12與C相交C li與C相交，l2與C相切D li, l2與均相離 2 （原創(chuàng)題）直線 y=x+i被橢圓x2+2y2=4所截的弦的中點(diǎn) M,則M與原點(diǎn)連線的斜率等于A-23過(guò)橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)作傾斜角為-的弦AB,則弦AB的長(zhǎng)為3i6B A避 rA.2B.-22iC.一3iD.2若直線y=-x+m與曲線5-4x2只有一個(gè)公共點(diǎn)，

2、則m的取值范圍是（）C i622已知橢圓 與+冬=i（a Ab >0）的左焦點(diǎn)為 F ,右頂點(diǎn)為 A ,點(diǎn)B在橢圓上，且 a bT BF 1 x軸，直線 AB交y軸于點(diǎn)P .若AP =2PB，則橢圓的離心率是（）(A) -2<m<2(C) -2 郁 v 2 或 m=5(D) -2 V5 <m < 2 而或 m=56 過(guò)點(diǎn)P（3,2）和拋物線y=x23x-2只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）條.A. 4 B. 3 C. 2 D. ix227 （改編題）過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線C:+ y2 = i相交，若直線l被曲線C所截得的線段3長(zhǎng)不大于J6，則直線l的傾斜角a的最大值是（）D

3、.2 二C3228若橢圓、+與=1 （a >b a0）和圓x2 + a b不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是y2 = （b +C）2,（C為橢圓的半焦距，有四個(gè)2A / 5 3/'2 、5/'2 3A (,-)B (,)C (-)5 5555 5(D (0片)59橢圓4x2 +9y2 =144內(nèi)有一點(diǎn)P （3, 2）過(guò)點(diǎn)P的弦恰好以P為中點(diǎn),那么這弦所在直線的方程為A. 3x + 2y12 = 0B. 2x + 3y12=0C. 4x+9y144=0D. 9x+4y144 = 0102經(jīng)過(guò)橢圓 ±+y2 =1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為 45的直線l,交橢圓于A、

4、 2坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA OB等于（）.B兩點(diǎn).設(shè)O為A. -3B.1 ,C.一或-331 D. -3112x（改編題）已知橢圓C1:-y +a24=1 ( a>b>0)與雙曲線 C2: x2 b2=1有公共的4焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于 A, B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則（12（A）長(zhǎng)軸長(zhǎng)J26（改編題）已知兩點(diǎn)(B)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2而 （C）短軸長(zhǎng)J2（D）短軸長(zhǎng)2五(15一)，N (4,42-5）,給出下列曲線方程：4x+2y-1=04X2+y2=3方程是（工y2=1 2)x 2 .-y =1. 2在曲線上存在點(diǎn) P滿足|MP|=|NP|的所有曲線A.

5、B.C.D.二 填空題（共4小題，每小題3分共12分，把答案填在相應(yīng)的位置上）x213 （改編題） 已知F1為橢圓C: £+y2=1的左焦點(diǎn)，直線l： y=x1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，那么|FiA|+|FiB|的值為22x y14 如圖，已知拋物線 y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是橢圓-2+12=1 (a>b>0)的右焦點(diǎn), a b且兩曲線的公共點(diǎn)連線AB過(guò)F,則橢圓的離心率是 15 已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線 x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A,B,則|AB|等于2x 216設(shè)Fi,F2分別為橢圓 + y =1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A,B在橢圓上，若FiA

6、= 5FzB;則 3點(diǎn)A的坐標(biāo)是三解答題(本大題五個(gè)小題，共52分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)22x y17.(原創(chuàng)題)(本小題10分)當(dāng)過(guò)點(diǎn)(0,2的直線和橢圓 一 +工=1有兩個(gè)公共點(diǎn)有32一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，求 k的取值范圍2218(本小題10分)已知橢圓 A+L=1,過(guò)點(diǎn)P (2, 1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分, 164求此弦所在直線l的方程.19 (原創(chuàng)題)(本小題10分)已知平面上任意一點(diǎn) M ( x,y )滿足方程(x- 3)2 y2 ;(x3)2 y2 =4(1)判斷點(diǎn)P的軌跡，并說(shuō)明原因；(2)設(shè)過(guò)(0, -2)的直線l與上述曲線交于 C、D兩點(diǎn)，且以CD為

7、直徑的圓過(guò)原點(diǎn)求直線l的方程.20 (本小題10分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn) A(-J2,0), B( J2,0)連線的斜率的積為定)試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C.4、2 (n )設(shè)直線l : y =kx+1與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=時(shí)，求直線l的方程.3x2y23、121 (本小題12分)已知橢圓C :方+、=1(a Ab >0)過(guò)點(diǎn)(1, 一),且離心率e =.a2b222(I )求橢圓方程；(n )若直線l : y = kx +m(k #0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M、N ,且線段MN的垂直1,一平分線過(guò)定點(diǎn)G(,0),求k的取值范圍.8【挑戰(zhàn)能力】1 (改編題)已知直線l過(guò)拋物

8、線C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱軸垂直，l與C交于A, B兩點(diǎn)，|AB|=12 , P為C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則 AABP的面積為()A 18B 24 C 36D 48222 (改編題) 設(shè)雙曲線 I 、5 = 1(a A0,bA0)的右頂點(diǎn)為 A, P為雙曲線上的一個(gè) a b動(dòng)點(diǎn)(不是頂點(diǎn))，從點(diǎn)A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q,R兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|2與|OQ |,|OR|的大小關(guān)系為()A. |OP |2<|OQ | OR |B. |OP|2>|OQ| '|OR|2C. |OP | =|OQ | OR|D.不確定223 橢圓、十4= i(a>

9、;b>0步直線x + y = 1交于P、Q兩點(diǎn)，且OP _L OQ ,其 a2 b2中。為坐標(biāo)原點(diǎn).,、11 , 一(1)求的值；a2 b2(2)若橢圓的離心率 e滿足 亙wew2,求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍32直線與圓錐曲線測(cè)試題答案選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的)y = x 1【解析】因?yàn)?#171; 99 ，得9x2+12x2 = 0，A >0 ,所以11與C相交;3x2 6 y2 =8y = x 22因?yàn)?9，得 9x2+24x+16=0，A =0 , 12與 C 相切3x2 6y2 =82【答案】By = x

10、 124【解析】由« ）9 ，得3x2 +4x2 = 0-x1+x2 = £,中點(diǎn)坐標(biāo)x2 2y2 = 43_' x2 _ 2_11 公安小 Dx0 一 ，y0 x0 +1 ，所以 kOM ,答案為 B23323【答案】,.、一一 、一 y 二 3x ,1 6一【解析】AB的直線方程為y=J3（x+2）聯(lián)立方程«y 2 ，得x 2y =4912 287x +12/32+ =8 ，Cx1+x2 = - x %一,所以77AB (x1 - x2)2 +(y1 - y2 )2 J1 + 3 x| x2= 2、.(X X2) . 4XX29 , 12.2.2 32

11、=2< 7 ) 一716一了4【答案】D.一 ,一,"1 ”L-1【解析】：對(duì)于橢圓，因?yàn)?Ap=2PB，則OA = 2OF,a =2c,二3 = 35【答案】D .22【解析】將曲線方程化為 X-+y-=1 (y%).20522則該曲線表示橢圓 + =1位于X軸的上半部分.20522x y 將萬(wàn)程 y=-x+m 與 一 十 =1聯(lián)立得:2055x2-8mx+4m 2-20=0.令 A=64m 2-20 (4m2-20) =0,解得m= ±5 ,于是得如圖所示直線11: y=-x+5 .又可求得直線 l2： y=-x-2 . 5 , 13： y=-x+25 .m=5.

12、依題意，直線y=-x+m應(yīng)介于直線12與13之間或就為直線11,-2 J5<2 75或【答案】D2）在拋物線的內(nèi)部，【解析】：拋物線y = x23x2如圖，可知過(guò)點(diǎn)根據(jù)過(guò)拋物線內(nèi)一點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),P(3,2)和拋物線y=x2-3x-2只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條 .故選擇D【解析】設(shè)直線l的方程為y = kx ,由3y =1得(3k2+1)x23 = 0,所以弦長(zhǎng)等xi -x2y = kx4122+1一2w76,，k 之1 ,即 tan" E1 或 tan口之 1,3k 1n所以一_ ： 一4【答案1 A,所以答案為D.4【解析】由題意，圓

13、的半徑應(yīng)滿足：b<b+c<a ,變形兩邊平方.，得eW(Y5,m)25 5【解析】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1), B(x2,y2),代入橢圓方程4x2 +9y2 =144 ,4x,2 9y12 =144J4x2 9y2 =144【解析】不妨設(shè)直線【解析】由雙曲線-22_22_一得 4(x1-x2)9(y1-y2)=0.4(x1x2)(x1- x?)9( y1y2)(y1- y2)=04M2M3 +9父2M2kAB =0: kAB =一一,所以直線的方程 y2 二 -一(x 3)33即 2x 3y -12 =010411 l 的方程為 y = x+1，則 A(0,1),

14、B(-,-),.-. OA OB =0，故選 B.1122 - - = 1知漸近線方程為y = ±2x,又橢圓與雙曲線有公共焦22.2_2.2_.2一點(diǎn)，.橢圓方程可化為b x +(b +5卜=(b +5b，聯(lián)立直線y = ±2x與橢圓方程消y得，x2b2 5 b225b2 20,又 Ci將線段AB三等分, .1 22 2b2 5 b2 2a5b2 20 - 3,解之得b2 = 1.,所以短軸長(zhǎng)為 J2212【答案】D【解析】：P滿足|MP|二|NP|即P是MN的中垂線上的點(diǎn)，P點(diǎn)存在即中垂線與曲線有交點(diǎn).MN的中垂線方程為 2x+y+3=0 ,與中垂線有交點(diǎn)的曲線才存在點(diǎn)

15、P滿足 |MP|=|NP| ,直線 4x+2y-1=0 與 2x+y+3=0 平行，故排除 A、C,又由2x y 3 =0二4=0,有唯一交點(diǎn) P滿足|MP|二|NP| ,故選 D.填空題(共4小題，每小題3分共12分，把答案填在相應(yīng)的位置上)設(shè)點(diǎn) A（xi, yi）, B（x2, y2）,則由x2-+ y2 = 14I 2消去y整理得3x2-4x= 0,解得x1 = 0, x2 = _,易得點(diǎn) A（0, 一 1）、3、y= x 14 1B, 一）.又點(diǎn) F1（1,0）,因此 |F1A|+|F1 3 314 【答案】：J2-1【解析】由題意可知，AB即是拋物線的通徑，|AB|二2p, A（-P

16、，P）2又 R=c,，A（c,2c）,2c24c2將 A 點(diǎn)代入橢圓方程中得 + 2-=1, . . 4a2c2=b2(a2-c2)=b4, - b2=2ac , a b而 2ac=a 2-c2,即 c2+2ac-a2=0,，e2+2e-1=0 ,解得 e= 22. -1(e=- 22. -1 舍去).15【答案】3 72【解析】.設(shè)AB直線的方程為y=x+b ,與 y=-x2+3 聯(lián)立，得 x2+x+b-3=0.A=1-4(b-3)>0,x 1+x 2=-1,x 1x2=b-3.二AB 的中點(diǎn) C ( - ,b-)在 x+y=0 上，22即-1+b-1=0，解得 b=1 符合 A>

17、;0,22弦長(zhǎng) |AB|=歷Tg/14 m(-2)= 3 J2 .16【答案】（0,1）或（0, -1 ）【解析】設(shè)直線F1A的反向延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)B',又F1A = 5F2B,由橢圓的對(duì)稱性可得 FiA = 5BFi ,設(shè) A(Xi , y1 ), B '(x2»),又小1止逅x33 .2266F1B' =x23+當(dāng),66 上3亞 66 "我一 一4 十=x2 +3232x122=5(-22. -x2)解之得Xi =0 , 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）或（0, -1 ）.三 解答題（本大題五個(gè)小題，共 52分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）1

18、7 【解析】：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為y=kx+2,y = kx 2222 2由 « , ，得 2x +3(kx + 2) =6 ,即(2+3k )x +12kx + 6 = 02x2 3y2 =6.'：=144k2 -24(2 3k2) =72k2 -48 當(dāng)A=72k2 48 >0 ,即女下46,或女父'6時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);33當(dāng)A = 72k248=0,即k=Y6，或k =逅時(shí)，直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn); 3326 J6當(dāng)A = 72k 48<0,即2-<k<J時(shí)，直線和曲線沒(méi)有公共點(diǎn)18

19、【解析】解法一 設(shè)所求直線的方程為 y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理，得22_2_2_(4k1)x -8(2k -k)x 4(2k -1) -16=02直線與橢圓的交點(diǎn)設(shè)為 A(x1, y1), B(x2, y2),則x1 +x2 = ( 2 一)4k 1因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn)，所以2 =父四=4(2 k2 k),解得k = 124k2 12因此所求直線的方程為 x+2y-4=0解法2：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為 A(x1，y。B(x2,y2)因?yàn)镻為弦AB的中點(diǎn)，所以x1 +x2 =4, y1+y2 = 2守22_又因?yàn)锳,B在橢圓上，所以x1 4yl =1622x2 4y2 =16兩式相減

20、，得(x2x；)+4(y2y2)=0 即(x1+x2)+4(y1+y2),8二y2 = 0,所以江孚=一(X1 x2) = -1即 kAB u-1x -x24(y1 y2)221因此所求直線的萬(wàn)程為y -1 = 一一(x -2)即x+2y-4=0.219【解析】：(1)方程 J(x -拘2 +y2 +1(x +V3)2 + y2 =然示M (x,y)到兩定點(diǎn)M的軌跡為橢圓，其中(-73?0)(73,0)的距離之和為4.根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)_ 2a =2, c = J3,則b=Ja2 c2 =1.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 + y2=1.4(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率

21、存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y = kx 2,設(shè)C(x1,y1)，D(x2,yz),T OC OD = 0 , 1- x1x2 + y1 y2 = 0 . y1 = kx1 -2 , y2 = kx2 - 2,，y1y2=k2x x2 2k(x1+x2)+4 .(1 + k2)x1x2 2k(x1 + x2)+4 = 0 .- 2v2 1由方程組 4 4 V , 得(1 +4k )x - 16kx +12 = 0 .則 x + x2 =2，1 4ky = kx -2.% x2 =2,代入，得(1+k2)，22k ,6kT + 4 = 0.1 4k1 4k 1 4k一 2即k =4,解得，卜=2或卜

22、=2.所以，直線l的方程是y=2x2或y = 2x 2.20【解析】：(I )設(shè)點(diǎn)P(x, y)，則依題意有x+Q x-V22整理得2y2 = 1.2由于x#±珞所以求得的曲線C的方程為7八1(" 士歷-2上 V2=1 . .一C C2 2 y，消去y得：(1 +2k2)x2+4kx = 0.-4k4k i421 +2k23、,解得：k = ±1.)由 ly=kx+1.解得x1=0, x2=1+2k2 (x1,x2分別為| MN |= .1 k2 |x -x2 |= -1 k2 |M, N的橫坐標(biāo))由所以直線l的方程x y+1=0或x+y1=0121【解析】：(i

23、 );離心率e =,2319又橢圓過(guò)點(diǎn)(1,一),則=+2 = 12a24b2b22 =1 一=一a 4 4,(1)式代入上式,一 .2_ 2即 4b =3a (1)；. 一 22解得a =4 , b =3 ,橢圓方程為(n )設(shè) M (xi, y。N(x2, y2),弦 MN 的中點(diǎn) A(x°, y°)y = kx m2 22由 «得：(3+4k2)x2+8mkx+4m2 12 = 0,3x2 4y2 =12直線l : y = kx + m(k*0)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),(1):.A =64m2k2 4(3+4k2)(4m2 12) >0,即 m2 <4k2 +3由韋達(dá)定理得：x1 x2 =8mk4m2 -122,取2 =r，3 4k23 4k224mk ,4mkx0 二一2, y0 = kx0 m :一2