步步高高考數(shù)學(xué)(人教A理)一輪直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

1、§9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：AxByC0 (A2B20)，圓：(xa)2(yb)2r2 (r>0)， d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為. 方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離來源:d>r<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r (r2>0). 方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1r2無解外切dr1r2

2、一組實數(shù)解相交來源:中。教。網(wǎng)z。z。s。tep|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解1.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件.(×)(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.(×)(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(×)(4)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(×)(5)過圓O：x2y2r

3、2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0xy0yr2.()(6)過圓O：x2y2r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.()來源:中+教+網(wǎng)z+z+s+tep2.(2013·安徽)直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長為()A.1 B.2 C.4 D.4答案C解析圓的方程可化為(x1)2(y2)25，圓心(1,2)到直線x2y50的距離d1，截得弦長l24.3.圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y10的公切線有且僅有()A.1條B.2條C.3條D.4條答案B解析C1：(x1)2(

4、y1)24，圓心C1(1，1)，半徑r12.C2：(x2)2(y1)24，圓心C2(2,1)，半徑r22.|C1C2|，|r1r2|0<|C1C2|<r1r24，兩圓相交，有兩條公切線.4.兩圓交于點(diǎn)A(1,3)和B(m,1)，兩圓的圓心都在直線xy0上，則mc的值等于_.答案3解析由題意，知線段AB的中點(diǎn)在直線xy0上，20，mc3.5.若圓x2y21與直線ykx2沒有公共點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍為_.答案(，)解析由圓與直線沒有公共點(diǎn)，可知圓的圓心到直線的距離大于半徑，也就是>1，解得<k<，即k(，).來源:題型一直線與圓的位置關(guān)系例1已知直線l：ykx1，圓

5、C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(diǎn)；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.思維啟迪直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而成的方程組解的個數(shù)；最短弦長可用代數(shù)法或幾何法判定.方法一(1)證明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因為(24k)228(k21)>0，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(diǎn).(2)解設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則直線l被圓C截得的弦長|AB|x1x2|22 ，令t，則tk24k(t3)0，當(dāng)t0時，k，當(dāng)t0時，因為kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最

6、大值為4，此時|AB|最小為2.方法二(1)證明圓心C(1，1)到直線l的距離d，圓C的半徑R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)24×11×8<0，故11k24k8>0對kR恒成立，來源:中,國教,育出,版網(wǎng)所以R2d2>0，即d<R，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點(diǎn).(2)解由平面幾何知識，知|AB|22 ，下同方法一.方法三(1)證明因為不論k為何實數(shù)，直線l總過點(diǎn)P(0，1)，而|PC|<2R，所以點(diǎn)P(0,1)在圓C的內(nèi)部，即不論k為何實數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C內(nèi)部的定點(diǎn)P.所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個

7、交點(diǎn).(2)解由平面幾何知識知過圓內(nèi)定點(diǎn)P(0,1)的弦，只有和AC (C為圓心)垂直時才最短，而此時點(diǎn)P(0,1)為弦AB的中點(diǎn)，由勾股定理，知|AB|22，即直線l被圓C截得的最短弦長為2.思維升華(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關(guān)系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)勾股定理是解決有關(guān)弦問題的常用方法.(1)若直線axby1與圓x2y21相交，則P(a，b)()A.在圓上B.在圓外C.在圓內(nèi)D.以上都有可能(2)直線l：y1k(x1)和圓x2y22y0的位置關(guān)系是()A.相離B.相切或相交C.相交D.相切(3)在平面

8、直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2y24上有且僅有四個點(diǎn)到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_.答案(1)B(2)C(3)(13,13)解析(1)由<1，得>1，點(diǎn)P在圓外.(2)圓x2y22y0的圓心是(0,1)，半徑r1，則圓心到直線l的距離d<1.故直線與圓相交.(3)根據(jù)題意知，圓心O到直線12x5yc0的距離小于1，來源:<1，|c|<13，c(13,13).題型二圓的切線與弦長問題例2已知點(diǎn)M(3,1)，直線axy40及圓(x1)2(y2)24.(1)求過M點(diǎn)的圓的切線方程；(2)若直線axy40與圓相切，求a的值；(3)若直線axy40與

9、圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2，求a的值.思維啟迪在求過某點(diǎn)的圓的切線方程時，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線方程.若點(diǎn)在圓上，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時應(yīng)注意斜率不存在的切線.在處理直線和圓相交所得的弦的弦長問題時，?？紤]幾何法.解(1)圓心C(1,2)，半徑r2，當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為x3.由圓心C(1,2)到直線x3的距離d312r知，此時，直線與圓相切.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為y1k(x3)，即kxy13k0.由題意知2，解得k.圓的切線方程為y1(x3)，即3x4y50.故過M點(diǎn)的圓的切線方程為x3或3x4y50.(2)由題意得

10、2，解得a0或a.(3)圓心到直線axy40的距離為，來源:中教網(wǎng)()2()24，解得a.思維升華(1)求過某點(diǎn)的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求直線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時應(yīng)注意斜率不存在的切線.(2)求直線被圓所截得的弦長時，通?？紤]由弦心距垂線段作為直角邊的直角三角形，利用勾股定理來解決問題.已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解(1)如圖所示，|AB|4，將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2

11、(y6)216，圓C的圓心坐標(biāo)為(2,6)，半徑r4，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CDAB，|AD|2，|AC|4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6).在RtACD中，可得|CD|2.設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為y5kx，即kxy50.由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：2，得k.故直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x0.所求直線l的方程為x0或3x4y200.(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CDPD，即·0，來源:中+教+網(wǎng)z+z+s+tep(x2，y6)·(x，y5)0，化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.題型三圓與

12、圓的位置關(guān)系例3(1)已知兩圓C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，則兩圓公共弦所在的直線方程是_.(2)兩圓x2y26x6y480與x2y24x8y440公切線的條數(shù)是_.(3)已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由動點(diǎn)P向O和O所引的切線長相等，則動點(diǎn)P的軌跡方程是_.思維啟迪求動點(diǎn)的軌跡方程關(guān)鍵是尋找與動點(diǎn)有關(guān)的等量關(guān)系，然后將等量關(guān)系用坐標(biāo)表示出來.答案(1)x2y40(2)2(3)x解析(1)兩圓的方程相減得：x2y40.(2)兩圓圓心距d<，兩圓相交，故有2條切線.(3)O的圓心為(0,0)，半徑為，O的圓心為(4,0)，半徑為，設(shè)

13、點(diǎn)P為(x，y)，由已知條件和圓切線性質(zhì)得x2y22(x4)2y26，化簡得x.思維升華判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到.已知兩圓C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，則以兩圓公共弦為直徑的圓的方程是_.答案(x2)2(y1)25解析圓C1的圓心為(1，5)，半徑為，圓C2的圓心為(1，1)，半徑為，則兩圓心連線的直線方程為2xy30，由兩圓方程作差得公共弦方程為x2y40，兩直線的交點(diǎn)(2,1)即為所求圓的圓心，由垂徑定理可以求得半

14、徑為，即所求圓的方程為(x2)2(y1)25.高考中與圓交匯問題的求解來源:中國教育出版網(wǎng)一、圓與集合的交匯問題典例：(5分)設(shè)M(x，y)|y，a>0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a>0，則MN時，a的最大值與最小值分別為_、_.思維啟迪本題條件MN反映了兩個集合所表示的曲線之間的關(guān)系，即半圓與圓之間的關(guān)系，因此可以直接利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.解析因為集合M(x，y)|y，a>0，所以集合M表示以O(shè)(0,0)為圓心，半徑為r1a的上半圓.同理，集合N表示以O(shè)(1，)為圓心，半徑為r2a的圓上的點(diǎn).這兩個圓的半徑隨著a的變化而變化，但|OO|2.如圖所示， 當(dāng)兩圓外

15、切時，由aa2，得a22；當(dāng)兩圓內(nèi)切時，由aa2，得a22.所以a的最大值為22，最小值為22. 答案2222溫馨提醒本題主要考查集合的運(yùn)算及圓與圓相切的相關(guān)知識，考查考生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解本題較為簡捷，在求解時要注意對MN的意義的理解，若題中未指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，例如AB，則A或A兩種可能，應(yīng)分類討論.本題的設(shè)計亮點(diǎn)就是將集合的關(guān)系與圓的位置關(guān)系較好地結(jié)合起來.二、圓與線性規(guī)劃的交匯問題典例：(5分)如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上，點(diǎn)Q在曲線x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值為_.思維啟迪求解本題應(yīng)先畫出點(diǎn)P所在的平面區(qū)域，再畫出點(diǎn)Q所在的圓

16、，最后利用幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值問題，即可求出|PQ|的最小值.解析由點(diǎn)P在平面區(qū)域上，畫出點(diǎn)P所在的平面區(qū)域.由點(diǎn)Q在圓x2(y2)21上，畫出點(diǎn)Q所在的圓，如圖所示.來源:中教網(wǎng)由題意，得|PQ|的最小值為圓心(0，2)到直線x2y10的距離減去半徑1.又圓心(0，2)到直線x2y10的距離為，此時垂足(1,0)在滿足條件的平面區(qū)域內(nèi)，故|PQ|的最小值為1.答案1溫馨提醒本題考查線性規(guī)劃及圓、點(diǎn)到直線的距離等知識，并考查考生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力.本題的突出特點(diǎn)就是將圓與線性規(guī)劃問題有機(jī)地結(jié)合起來，為我們展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識相互交匯的新天地，求解時既要注意使用線性

17、規(guī)劃的基本思想，又要利用圓上各點(diǎn)的特殊性.實際上是對數(shù)形結(jié)合思想的提升，即利用線性或非線性函數(shù)的幾何意義，通過作圖來解決最值問題.三、圓與不等式的交匯問題典例：(5分)(2012·天津)設(shè)m，nR，若直線(m1)x(n1)y20與圓(x1)2(y1)21相切，則mn的取值范圍是 ()A.1，1B.(，11，)C.22，22D.(，2222，)思維啟迪圓與不等式的交匯實質(zhì)上反映了圓的獨(dú)特性質(zhì)，即圓內(nèi)點(diǎn)、圓外點(diǎn)的性質(zhì)，直線與圓相交、相離的性質(zhì)，圓與圓的相交、相離的性質(zhì)等，這些問題反映在代數(shù)上就是不等式的形式.解析圓心(1,1)到直線(m1)x(n1)y20的距離為1，所以mn1mn(mn

18、)2，所以mn22或mn22.答案D溫馨提醒直線與圓位置關(guān)系的考查，一般是已知位置關(guān)系求參數(shù)值，基本不等式的考查一般是給出參數(shù)關(guān)系，利用基本不等式求最值或范圍.而本題卻以直線與圓的位置關(guān)系給出參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，利用基本不等式轉(zhuǎn)化，結(jié)合換元法把關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次不等式， 從而求得mn的取值范圍，這一交匯命題新穎獨(dú)特，考查知識全面，難度中等，需要注意各知識應(yīng)熟練掌握才能逐一化解.方法與技巧1.過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法來源:中國教育出版網(wǎng)先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為，由點(diǎn)斜式方程可求切線方程.若切線斜率不存在，則由圖形寫出切線方程xx0.2.過圓外一點(diǎn)(x

19、0，y0)的圓的切線方程的求法(1)幾何方法當(dāng)斜率存在時，設(shè)為k，切線方程為yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程.(2)代數(shù)方法設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圓方程，得一個關(guān)于x的一元二次方程，由0，求得k，切線方程即可求出.3.兩圓公共弦所在直線方程的求法若兩圓相交時，把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程.4.圓的弦長的求法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則2r2d2.(2)代數(shù)法：設(shè)直線與圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，解方程組消y后得關(guān)于x的一元二次方

20、程，從而求得x1x2，x1x2，則弦長為|AB|(k為直線斜率).失誤與防范1.求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為1列方程來簡化運(yùn)算.2.過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘)一、選擇題1.圓C1：x2y21與圓C2：x2(y3)21的內(nèi)公切線有且僅有()來源:中§教§網(wǎng)z§z§s§tepA.1條B.2條C.3條D.4條答案B解析圓心距為

21、3，半徑之和為2，故兩圓外離，內(nèi)公切線條數(shù)為2.2.(2012·重慶)對任意的實數(shù)k，直線ykx1與圓x2y22的位置關(guān)系一定是()A.相離B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心答案C 解析x2y22的圓心(0,0)到直線ykx1的距離d1，又r，0<d<r.直線與圓相交但直線不過圓心.3.直線l過點(diǎn)A(2,4)且與圓x2y24相切，則l的方程為()A.3x4y100B.x2C.xy20D.x2或3x4y100答案D解析顯然x2為所求切線之一；另設(shè)y4k(x2)，即kxy42k0，而2，k，即切線為3x4y100，x2或3x4y100為所求.4.(2013&#

22、183;山東)過點(diǎn)(3,1)作圓(x1)2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()來源:中*國教*育出*版網(wǎng)A.2xy30B.2xy30C.4xy30D.4xy30答案A解析如圖所示：由題意知：ABPC，kPC，kAB2，直線AB的方程為y12(x1)，即2xy30.5.已知直線ykxb與圓O：x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)b 時，·等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將ykxb代入x2y21得(1k2)x22kbxb210，故x1x2，x1x2，從而·x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b21

23、b211.二、填空題6.若直線yxb與曲線y3有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_. 答案12b3解析由y3，得(x2)2(y3)24(1y3).曲線y3是半圓，如圖中實線所示.當(dāng)直線yxb與圓相切時，2.b1±2.來源:z|zs|由圖可知b12.b的取值范圍是.7.若過點(diǎn)A(a，a)可作圓x2y22axa22a30的兩條切線，則實數(shù)a的取值范圍為_.答案(，3)解析圓方程可化為(xa)2y232a，由已知可得，解得a<3或1<a<.8.若圓x2y24與圓x2y22ay60 (a>0)的公共弦長為2，則a_.答案1解析方程x2y22ay60與x2y24. 相減得2ay

24、2，則y.由已知條件 ，即a1.三、解答題9.已知以點(diǎn)C(t，)(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn).(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y2x4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OMON，求圓C的方程.(1)證明圓C過原點(diǎn)O，OC2t2.設(shè)圓C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOABOA·OB×|×|2t|4，來源:中。教。網(wǎng)z。z。s。tep即OAB的面積為定值.(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分線段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.當(dāng)t2時，圓心C的坐標(biāo)為

25、(2,1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d<，圓C與直線y2x4相交于兩點(diǎn).當(dāng)t2時，圓心C的坐標(biāo)為(2，1)，OC，此時C到直線y2x4的距離d>.圓C與直線y2x4不相交，t2不符合題意，舍去.圓C的方程為(x2)2(y1)25.10.已知矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)P(2,0)，邊AB所在直線的方程為x3y60，點(diǎn)(1,1)在邊AD所在的直線上.(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；(2)已知直線l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求證：直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線l的方程.解(1)lAB：x3y60且ADAB，點(diǎn)(1,1)在邊AD

26、所在的直線上， AD所在直線的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2).來源:|AP|2，矩形ABCD的外接圓的方程是(x2)2y28.(2)直線l的方程可化為k(2xy4)xy50，l可看作是過直線2xy40和xy50的交點(diǎn)(3,2)的直線系，即l恒過定點(diǎn)Q(3,2)，由(32)2225<8知點(diǎn)Q在圓P內(nèi)，所以l與圓P恒相交.設(shè)l與圓P的交點(diǎn)為M，N，則|MN|2(d為P到l的距離)，設(shè)PQ與l的夾角為，則d|PQ|·sin sin ，當(dāng)90°時，d最大，|MN|最短.此時l的斜率為PQ的斜率的負(fù)倒數(shù)，即，故l的方程為y2(x3)，x2y70.B組專項能

27、力提升(時間：30分鐘)1.已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x4y40與圓C相切，則圓C的方程為()A.x2y22x30B.x2y24x0C.x2y22x30D.x2y24x0答案D來源:中。教。網(wǎng)z。z。s。tep解析設(shè)圓心為(a,0)，且a>0，則(a,0)到直線3x4y40的距離為2，即23a4±10a2或a(舍去)，則圓C的方程為(x2)2(y0)222，即x2y24x0.2.圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離等于1的點(diǎn)有()A.1個B.2個C.3個D.4個答案C解析因為圓心到直線的距離為2，又因為圓的半徑為3，所以直線與圓相交，由數(shù)形結(jié)合知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個.3.(2013·江西)過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積