高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3講　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 (2)

1、1 / 19 第 3 講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 最新考綱 考向預(yù)測(cè) 1.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件 2會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次) 3會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次). 命題 趨勢(shì) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值是高考的熱點(diǎn)，由函數(shù)的極值、最值求參數(shù)范圍問(wèn)題仍是高考的難點(diǎn)，題型各種類(lèi)型都有，一般難度中等. 核心 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象 1函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 條件 f(x0)0 x0附近的左側(cè) f(x)0，右側(cè) f(x)0 x0附近的左側(cè) f(x)0 圖象 極值 f(x0)為極大值 f(x0)為極小值 極值點(diǎn) x0為

2、極大值點(diǎn) x0為極小值點(diǎn) 提醒 (1)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能稱(chēng)為極值點(diǎn) (2)在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)，極值不一定是唯一的，有可能有多個(gè)極大值或極小值 (3)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系 2函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù) f(x)在a，b上必有最大值與最小值 (2)若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則 f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則 f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最2 / 19 小值 常用結(jié)論 1若函數(shù) f(x)的圖象連續(xù)不斷，則 f(x)在a，b上一定有最值 2若函數(shù) f(x)在a，

3、b上是單調(diào)函數(shù)，則 f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值 3若函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn) 常見(jiàn)誤區(qū) 1對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) f(x)，“f(x0)0”是“函數(shù) f(x)在 xx0處有極值”的必要不充分條件 2求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)與所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類(lèi)討論，不可直接認(rèn)為極值就是最值 3極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值 1. 判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的( ) (2)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)( ) (3)函數(shù)的極大

4、值不一定比極小值大( ) (4)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值( ) (5)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2函數(shù) f(x)(x21)22的極值點(diǎn)是( ) ax1 bx1 cx1 或1或 0 dx0 解析：選 c.因?yàn)?f(x)x42x23， 所以由 f(x)4x34x4x(x1)(x1)0得 x0或 x1或 x1. 又當(dāng) x1時(shí)，f(x)0， 當(dāng)1x0， 當(dāng) 0 x1 時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0， 3 / 19 所以 x0，1，1都是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn) 3(多選)函數(shù) yf(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，以下命題錯(cuò)誤的是( )

5、a3是函數(shù) yf(x)的極值點(diǎn) b1是函數(shù) yf(x)的最小值點(diǎn) cyf(x)在區(qū)間(3，1)上單調(diào)遞增 dyf(x)在 x0處切線(xiàn)的斜率小于零 解析：選 bd.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知當(dāng) x(，3)時(shí)，f(x)0 得 x14，令 f(x)0 得 0 x14.所以函數(shù) f(x)在0，14上單調(diào)遞減，在14， 上單調(diào)遞增，所以當(dāng) x14時(shí)，函數(shù) f(x)有最小值為 f14414ln 141ln 412ln 2. 4 / 19 答案：12ln 2 函數(shù)的極值問(wèn)題 角度一 由圖象判斷函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù) f(x)在 r 上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，且函數(shù) y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一

6、定成立的是( ) a函數(shù) f(x)有極大值 f(2)和極小值 f(1) b函數(shù) f(x)有極大值 f(2)和極小值 f(1) c函數(shù) f(x)有極大值 f(2)和極小值 f(2) d函數(shù) f(x)有極大值 f(2)和極小值 f(2) 【解析】 由題圖可知，當(dāng) x0；當(dāng)2x1 時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x2 時(shí)，f(x)2 時(shí)，f(x)0.由此可以得到函數(shù) f(x)在 x2 處取得極大值，在 x2處取得極小值故選 d. 【答案】 d 由圖象判斷函數(shù) yf(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由 yf(x)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)，可得函數(shù) yf(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù) yf(x)的圖象可以看出 yf

7、(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù) yf(x)的單調(diào)性，兩者結(jié)合可得極值點(diǎn) 角度二 求已知函數(shù)的極值 (2020 高考天津卷改編)已知函數(shù) f(x)x36ln x，f(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù) (1)求曲線(xiàn) yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程； (2)求函數(shù) g(x)f(x)f(x)9x的單調(diào)區(qū)間和極值 5 / 19 【解】 (1)因?yàn)?f(x)x36ln x，所以 f(x)3x26x.可得 f(1)1，f(1)9，所以曲線(xiàn) yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為 y19(x1)，即 y9x8. (2)依題意，g(x)x33x26ln x3x，x(0，)從而可得 g(x)3x26x6x3

8、x2，整理可得 g(x)3（x1）3（x1）x2.令 g(x)0，解得 x1. 當(dāng) x 變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如表所示： x (0，1) 1 (1，) g(x) 0 g(x) 極小值 所以函數(shù) g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)；g(x)的極小值為 g(1)1，無(wú)極大值 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問(wèn)題的一般流程 角度三 已知函數(shù)的極值求參數(shù)值(范圍) (1)(2021 江西八校聯(lián)考)若函數(shù) f(x)x2xaln x 在(1，)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為_(kāi) (2)設(shè)函數(shù) f(x)ln xax232x，若 x1 是函數(shù) f(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù) f(x)的

9、極小值為_(kāi) 【解析】 (1)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0，)， f(x)2x1ax2x2xax， 由題意知 2x2xa0 在 r 上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，且在(1，)上有解， 6 / 19 所以18a0，且 2121a0時(shí)，0 x2， 函數(shù)在(0，1)和(2，)上單調(diào)遞增； 當(dāng) f(x)0時(shí)，1x0)， 所以 f(x)2x21x，令 f(x)0，則 x2. 當(dāng) 0 x2 時(shí)，f(x)2時(shí)，f(x)0. 所以 x2為 f(x)的極小值點(diǎn) 2已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 處有極值 0，則 ab_ 解析：由題意得 f(x)3x26axb，則 a23ab10，b6a30， 解得a1，b3

10、或a2，b9， 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) a1，b3 時(shí)，函數(shù) f(x)在 x1 處無(wú)法取得極值，而 a2，b9 時(shí)滿(mǎn)足題意，故 ab7. 答案：7 3已知函數(shù) f(x)ex(xln xa)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a 為常數(shù)，且a1)判斷函數(shù) f(x)在區(qū)間(1，e)內(nèi)是否存在極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由 解：不存在極值點(diǎn)理由如下： f(x)ex(ln xx1xa1)， 令 g(x)ln xx1xa1，x(1，e)，則 f(x)exg(x)，g(x)x2x1x20 恒成立，所以 g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減， 所以 g(x)0即可 當(dāng) t0時(shí)，s(t)14t324t144t， 則 s(t)143t224144t234

11、t2(t24)(t212)， 令 s(t)0，得 t2， 所以當(dāng) t 變化時(shí)，s(t)與 s(t)的變化情況如表： t (0，2) 2 (2，) s(t) 0 s(t) 極小值 所以 s(t)mins(2)32. 求函數(shù) f(x)在a，b上最值的方法 (1)若函數(shù)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與 f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值 (2)若函數(shù)在閉區(qū)間a，b內(nèi)有極值，要先求出a，b上的極值，與 f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成 (3)函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到 1

12、函數(shù) yxex在0，2上的最大值是( ) a1e b2e2 c0 d12 e 9 / 19 解析：選 a.易知 y1xex，x0，2，令 y0，得 0 x1，令 y0，得10，f（3）0，a112012a112.故選 b. 思想方法系列 8 構(gòu)造法解決抽象函數(shù)問(wèn)題 在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的客觀(guān)題中，有一個(gè)熱點(diǎn)考查點(diǎn)，即不給出具體的函數(shù)解析式，而是給出函數(shù) f(x)及其導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足的條件，需要據(jù)此條件構(gòu)造抽象函數(shù)，再根據(jù)條件得出構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問(wèn)題的題目，該類(lèi)題目具有一定的難度下面總結(jié)其基本類(lèi)型及其處理方法 類(lèi)型 1 只含 f(x)型 定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿(mǎn)足 f(1)1，且對(duì)任

13、意 xr 都有 f(x)x212的解集為( ) a(1，2) b(0，1) c(1，) d(1，1) 【解析】 構(gòu)造函數(shù) g(x)f(x)12xc(c 為常數(shù))，則 g(x)x21212x212， 即 f(x2)12x2c12c，即 g(x2)g(1)， 即 x21，即1xf(x)成立，若f(ln 2)12，則滿(mǎn)足不等式 f(x)1ex的 x 的取值范圍是( ) a(1，) b(0，1) c(ln 2，) d(0，ln 2) 【解析】 由題意，對(duì)任意 xr，都有 f(x)f(x)成立，即 f(x)f(x)0. 令 g(x)exf(x)，則 g(x)f(x)exf(x)exexf(x)f(x)0

14、， 所以函數(shù) g(x)在 r 上單調(diào)遞增 不等式 f(x)1ex即 exf(x)1，即 g(x)1. 因?yàn)?f(ln 2)12，所以 g(ln 2)eln 2f(ln 2)2121. 故當(dāng) xln 2 時(shí)，g(x)g(ln 2)1，所以不等式 g(x)1 的解集為(ln 2，) 故選 c. 【答案】 c 由于 ex0，故exf(x)f(x)f(x)ex，其符號(hào)由 f(x)f(x)的符號(hào)確定，f（x）exf（x）f（x）ex，其符號(hào)由 f(x)f(x)的符號(hào)確定含有 f(x) f(x)類(lèi)的問(wèn)題可以考慮構(gòu)造上述兩個(gè)函數(shù) 類(lèi)型 3 含 xf(x) nf(x)型 11 / 19 f(x)是定義在 r

15、上的偶函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)xf(x)0的解集為_(kāi) 【解析】 構(gòu)造 f(x)xf(x)，則 f(x)f(x)xf(x)， 當(dāng) x0時(shí)，f(x)xf(x)0， 可以推出 x0，f(x)0 的解集為(，4)(0，4) 【答案】 (，4)(0，4) 常見(jiàn)構(gòu)造原函數(shù)的類(lèi)型如下： (1)對(duì)于不等式 xf(x)f(x)0，構(gòu)造函數(shù) g(x)xf(x) (2)對(duì)于不等式 xf(x)f(x)0，構(gòu)造函數(shù) g(x)f（x）x(x0) (3)對(duì)于不等式 xf(x)nf(x)0，構(gòu)造函數(shù) g(x)xnf(x) (4)對(duì)于不等式 xf(x)nf(x)0，構(gòu)造函數(shù) g(x)f（x）xn(x0) 類(lèi)型 4 含 f(

16、x)tan x f(x)或 f(x) f(x)tan x 型 已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)，當(dāng) x0，2時(shí)，f(x)sin 2xf(x)(1cos 2x)成立，下列不等式一定成立的是( ) a. 3f4 2f3 b. 3f4 2f3 c. 3f4 2f6 d. 3f4 2f6 【解析】 f(x)sin 2xf(x)(1cos 2x)f(x)sin xf(x)cos x0f(x)tan xf(x)0. 12 / 19 令 g(x)f（x）sin x，則 g(x)f（x）sin xf（x）cos xsin2xg3，即 3f4 2f3.故選 b. 【答案】 b 該類(lèi)型構(gòu)造原函數(shù)如下： (1)

17、對(duì)于 f(x)tan xf(x)0(0(0(0(0)，構(gòu)造函數(shù) h(x)f（x）cos x. 設(shè)函數(shù) yf(x)，xr 的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，且 f(x)f(x)，f(x)f(x)，則下列不等式成立的是(注：e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))( ) af(0)e1f(1)e2f(2) be1f(1)f(0)e2f(2) ce2f(2)e1f(1)f(0) de2f(2)f(0)e1f(1) 解 析 ： 選b. 設(shè)g(x) f（x）ex， 則g(x) f（x）exf（x）ex（ex）2f（x）f（x）ex.因?yàn)?f(x)f(x)，則 g(x)g(0)g(1)，所以 e1f(1)f(0)0，函數(shù) f(x)單調(diào)

18、遞增，當(dāng) x(2，2)時(shí)，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增，所以 a2. 3(多選)設(shè)函數(shù) f(x)在 r 上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，若函數(shù) f(x)在 x1 處取得極大值，則函數(shù) yxf(x)的圖象不可能是( ) 解析：選 acd.因?yàn)?f(x)在 x1處取得極大值，所以可設(shè)當(dāng) x1時(shí) f(x)0，當(dāng) x0，所以當(dāng) x1 時(shí)，yxf(x)0，a，c不可能，當(dāng) 0 x1時(shí)，yxf(x)0，g(x)6x22x1的 200恒成立，故 f(x)0恒成立， 即 f(x)在定義域上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn) 6f(x)exx 在區(qū)間1，1上的最大值為_(kāi) 解析：f(x)ex1，令 f(x)0，得 x0，令

19、f(x)0，得 x0，令 f(x)0，得 x0，則函數(shù) f(x)在(1，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，f(1)e11，f(1)e1，f(1)f(1)1e2e122ef(1)所以最大值為 e1. 答案：e1 7(2021 咸陽(yáng)模擬)已知三次函數(shù) f(x)ax3bx2cxd 的圖象如圖所示，則f（0）f（1）_ 解析：f(x)3ax22bxc； 根據(jù)題圖知，x1，2 是 f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)， 所以 x1，2是方程 3ax22bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，2b3a12，c3a2， 所以 2b3a，c6a， 15 / 19 所以f（0）f（1）c3a2bc6a3a3a6a1

20、. 答案：1 8函數(shù) f(x)(x2x1)ex(其 e2.718是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的極值點(diǎn)是_；極大值為_(kāi) 解析：由已知得 f(x)(x2x12x1)ex(x2x2)ex(x2)(x1)ex， 因?yàn)?ex0，令 f(x)0，可得 x2 或 x1， 當(dāng) x0，即函數(shù) f(x)在區(qū)間(，2)上單調(diào)遞增； 當(dāng)2x1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0，即函數(shù) f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增 故 f(x)的極值點(diǎn)為2 或 1，且極大值為 f(2)5e2. 答案：1或2 5e2 9設(shè)函數(shù) f(x)x21ln x. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求函數(shù) g(x)f(x)x 在區(qū)間12，2 上的最小值 解

21、：(1)易知 f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2x1x， 由 f(x)0，得 x22，由 f(x)0，得 0 x0，得 x1，由 g(x)0，得 0 x1， 所以 g(x)在12，1 上單調(diào)遞減，在(1，2)上單調(diào)遞增， 所以在區(qū)間12，2 上，g(x)的最小值為 g(1)1. 10若函數(shù) yf(x)在 xx0處取得極大值或極小值，則稱(chēng) x0為函數(shù) yf(x)的極值點(diǎn)已知 a，b 是實(shí)數(shù)，1 和1 是函數(shù) f(x)x3ax2bx 的兩個(gè)極值點(diǎn) 16 / 19 (1)求 a，b的值； (2)設(shè)函數(shù) g(x)的導(dǎo)函數(shù) g(x)f(x)2，求 g(x)的極值點(diǎn) 解：(1)由題設(shè)知 f(x)3x2

22、2axb，且 f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得 a0，b3. (2)由(1)知 f(x)x33x， 則 g(x)f(x)2(x1)2(x2)， 所以 g(x)0 的根為 x1x21，x32， 即函數(shù) g(x)的極值點(diǎn)只可能是 1 或2. 當(dāng) x2時(shí)，g(x)0，當(dāng)2x0， 當(dāng) x1時(shí)，g(x)0， 所以2是 g(x)的極值點(diǎn)，1不是 g(x)的極值點(diǎn) 綜上所述，g(x)的極值點(diǎn)為2. b級(jí) 綜合練 11函數(shù) f(x)在 xx0處的導(dǎo)數(shù)存在，若 p：f(x0)0，q：xx0是 f(x)的極值點(diǎn)，則( ) ap是 q 的充分必要條件 bp是 q 的充分條件，但不是 q的必要條件 cp是

23、 q 的必要條件，但不是 q的充分條件 dp既不是 q 的充分條件，也不是 q的必要條件 解析：選 c.設(shè) f(x)x3，則 f(0)0，但是 f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，故在 x0處不存在極值，故若 p 則 q 是一個(gè)假命題，由極值的定義可得若 q 則 p 是一個(gè)真命題，故選 c. 12已知函數(shù) f(x)13x3mx2nx2，其導(dǎo)函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，f(1)23，則函數(shù) g(x)f(x)ex在區(qū)間0，2上的最小值為( ) a3e b2e ce d2e 解析：選 b.f(x)x22mxn，導(dǎo)函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，則 m0，故 f(x)1317 / 19 x3nx2，f(1)13n223，所以

24、 n3， 所以函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)13x33x2，所以 f(x)x23，g(x)ex(x23)，g(x)ex(x232x)ex(x1)(x3)據(jù)此可知函數(shù) g(x)在區(qū)間0，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，2上單調(diào)遞增，故在區(qū)間0，2上，函數(shù) g(x)的最小值為g(1)e1(123)2e.故選 b. 13(2021 全國(guó)統(tǒng)一考試模擬五)已知函數(shù) f(x)12m(x21)ln x(mr) (1)若 m1，求證：f(x)0； (2)討論函數(shù) f(x)的極值 解：(1)證明：當(dāng) m1時(shí)，f(x)12(x21)ln x(x0)， 則 f(x)x1xx21x，當(dāng) x(0，1)時(shí)，f(x)0，所

25、以 f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以 f(x)minf(1)0，故 f(x)0. (2)由題意知，f(x)mx1xmx21x，x0. 當(dāng) m0 時(shí)，f(x)mx21x0 時(shí)，令 f(x)mx21x0，得 x1m，當(dāng) x0，1m時(shí)，f(x)0，所以 f(x)在0，1m上單調(diào)遞減，在1m，上單調(diào)遞增 故 f(x)在 x1m處取得極小值 f1m12ln m1212m，無(wú)極大值 14已知函數(shù) f(x)ln xxax，曲線(xiàn) yf(x)在 x1 處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1) (1)求實(shí)數(shù) a的值； 18 / 19 (2)設(shè) b1，求 f(x)在1b，b 上的最大值和最小值 解：(1)由題可得 f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)1ln xax2x2，所以 f(1)10a11a. 依題意，有f（1）（1）121a，即a1121a， 解得 a1. (2)由(1)得 f(x)1ln xx2x2， 當(dāng)