二次求導法解高考導數(shù)題

1、1 / 3 二次求導法解高考導數(shù)題胡貴平（ xx 省 xx 市第一中學，xx xx 730900）導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，用導函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，如果導函數(shù)大于零，則原函數(shù)為增，導函數(shù)小于零，則原函數(shù)為減.而當導數(shù)與0 的大小確定不了時，對導函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)中的一部分再構(gòu)造，繼續(xù)求導，也就是二次求導，不失為一種妙法，下面我們結(jié)合高考題來看看二次求導數(shù)題中的應用. （2017年高考課標卷（文）（ 21 ）設(shè)函數(shù)2( )(1)exf xx. （i）討論( )f x的單調(diào)性；(ii)當0 x時，( )1f xax，求a的取值 x 圍. 解： （i）略 . (ii) 當0 x時，( )1f

2、xax等價于2(1)1xaxxe. 若=0 x，顯然成立，ar. 若0 x時，2(1)1xxeax，設(shè)2(1)1( )xxeg xx，2232222(1)(1)1(1)1( )xxxxxexexxexxxeg xxx，令32( )(1)1xh xxxxe，32( )(4)0 xh xexxx， 所以( )h x在(0,)x內(nèi)是減函數(shù)，易知(0)=0h，所以當(0,)x時，( )0h x，即( )0g x，所以( )g x在(0,)x上單調(diào)遞減，所以22022000(1)1(101(1)1limlim(1)1xxxxxxxeexexexx）20(21)=1xxxxe，所以1a，綜上所述，a的取值

3、 x 圍是1+，. （2016年高考課標卷（文）（ 20 ）已知函數(shù)( )(1)ln(1)f xxxa x.（i）當4a時，求曲線( )yf x在1,(1)f處的切線方程；2 / 3 (ii) 若當1,x時，( )0fx ，求a的取值 x 圍. 解： （i）略 . (ii) 當(1,)x時，( )0f x等價于(1)ln1xxax，設(shè)(1)ln( )1xxg xx，2221(ln)(1)(1)ln2 ln1( )(1)(1)xxxxxxxxxg xxx x，令2( )2 ln1h xxxx，( )22ln22(ln1)0h xxxxx， 所 以( )h x在1,x內(nèi)是增函數(shù)， 易知(1)=0h

4、， 所以當1,x時，( )0h x， 即( )0g x， 所以( )g x在1,x上單調(diào)遞增，所以1111(1)ln(1)ln(1 1)ln1(1)limlim(1)lnln211xxxxxxxxxxxxxxx，所以2a，即a的取值 x 圍是,2. 3 （2010年高考 xx 卷（理）（17 ）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)22 ,xfxexa xr. （）求fx的單調(diào)區(qū)間與極值；（）求證：當aln21且x0時，xe221xax. 解： （i）略 . （）設(shè)221xg xexax，則22xgxexa，繼續(xù)對gx求導得2xgxe，當x變化時gx，gx變化如下表0,ln 2ln 2ln 2,gx0gx減極小值增

5、由上表可知ln2gxg，而ln2ln 22ln 2222ln 222ln 21geaaa，由aln21知ln 20g，所以0gx，即g x在區(qū)間0,上為增函數(shù) . 3 / 3 于是有(0)g xg，而02002010gea，故0g x，即當aln21且x0時，xe221xax. 4（2008年高考 xx 卷（理）（21 ）已知函數(shù)22( )ln (1)1xf xxx. (i) 求函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間；（）若不等式1(1)n aen對任意的n*n都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求a的最大值 . 解： （i）函數(shù)( )f x的定義域是( 1,)，22222ln(1)22(1)ln(1)2( )1(1)(1)xxxxxxxfxxxx. 設(shè)2( )2(1)ln(1)2g xxxxx，則( )2ln(1)2g xxx. 令( )2ln(1)2h xxx，則22( )211xh xxx. 當10 x時，( )0h x，從而( )h x在( 1,0)上為增函數(shù)，當0 x時，( )0h x，從而( )h x在(0,)上為減函數(shù) . 所以h(x)在0 x處取得極大值，而(0)0h，所以( )0(0)g xx，函數(shù)( )g x在( 1,)上為減函數(shù) . 于是當10 x時，( )(0)0g xg，當0 x時，( )(0)0g xg. 所以當10 x時，( )0,fx(