高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)【專題5】空間中的平行與垂直含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第2講空間中的平行與垂直考情解讀(1)以填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題(2)以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等1線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平行的判定定理a線面平行的性質(zhì)定理ab線面垂直的判定定理l線面垂直的性質(zhì)定理ab2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理面面垂直的判定定理面面垂直的性質(zhì)定理a面面平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理ab提醒使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時(shí)，要注意其具備

2、的條件，缺一不可3平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行面面平行的判定面面平行的性質(zhì)線線垂直線面垂直面面垂直面面垂直的判定面面垂直的性質(zhì)熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定例1(1)設(shè)a，b表示直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是_若a且ab，則b若且，則若a且a，則若且，則(2)“直線l垂直于abc的邊ab，ac”是“直線l垂直于abc的邊bc”的_條件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)思維啟迪判斷空間線面關(guān)系的基本思路：利用定理或結(jié)論；借助實(shí)物模型作出肯定或否定答案(1)(2)充分不必要解析(1)：應(yīng)該是b或b；：如果是墻角出發(fā)的三個(gè)面就不符合題意

3、；：m，若am時(shí)，滿足a，a，但是不正確，所以填.(2)因?yàn)橹本€l垂直于abc的邊ab，ac，故直線l垂直于平面abc，故直線l垂直于邊bc，但直線l垂直于邊bc，不一定得到直線l垂直于平面abc，故答案填寫充分不必要思維升華解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中設(shè)m、n是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個(gè)命題：若，m，則m若m，n，則mn若m，mn，則n若n，n，則其中真命題的序

4、號(hào)為_(kāi)答案解析若，m，則m與可以是直線與平面的所有關(guān)系，所以錯(cuò)誤；若m，n，則mn，所以正確；若m，mn，則n或n，所以錯(cuò)誤；若n，n，則，所以正確所以正確熱點(diǎn)二平行、垂直關(guān)系的證明例2如圖，在四棱錐pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分別是cd和pc的中點(diǎn)，求證：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.思維啟迪(1)利用平面pad底面abcd的性質(zhì)，得線面垂直；(2)bead易證；(3)ef是cpd的中位線證明(1)因?yàn)槠矫鎝ad底面abcd，且pa垂直于這兩個(gè)平面的交線ad，所以pa底面abcd.(2)因?yàn)?/p>

5、abcd，cd2ab，e為cd的中點(diǎn)，所以abde，且abde.所以四邊形abed為平行四邊形所以bead.又因?yàn)閎e平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因?yàn)閍bad，而且abed為平行四邊形所以becd，adcd，由(1)知pa底面abcd.所以pacd.所以cd平面pad.所以cdpd.因?yàn)閑和f分別是cd和pc的中點(diǎn)，所以pdef.所以cdef.所以cd平面bef.又cd平面pcd，所以平面bef平面pcd.思維升華垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(3)證明線線垂直，需

6、轉(zhuǎn)化為證明線面垂直(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直如圖所示，已知ab平面acd，de平面acd，acd為等邊三角形，adde2ab，f為cd的中點(diǎn)求證：(1)af平面bce；(2)平面bce平面cde.證明(1)如圖，取ce的中點(diǎn)g，連結(jié)fg，bg.f為cd的中點(diǎn)，gfde且gfde.ab平面acd，de平面acd，abde，gfab.又abde，gfab.四邊形gfab為平行四邊形，則afbg.af平面bce，bg平面bce，af平面bce.(2)acd為等邊三角形，f為cd的中點(diǎn)，afcd.de平面acd，af平面acd，deaf.又cdded，af平面cd

7、e.bgaf，bg平面cde.bg平面bce，平面bce平面cde.熱點(diǎn)三圖形的折疊問(wèn)題例3如圖(1)，在rtabc中，c90°，d，e分別為ac，ab的中點(diǎn)，點(diǎn)f為線段cd上的一點(diǎn)，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如圖(2)(1)求證：de平面a1cb；(2)求證：a1fbe；(3)線段a1b上是否存在點(diǎn)q，使a1c平面deq？請(qǐng)說(shuō)明理由思維啟迪折疊問(wèn)題要注意在折疊過(guò)程中，哪些量變化了，哪些量沒(méi)有變化第(1)問(wèn)證明線面平行，可以證明debc；第(2)問(wèn)證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明a1f平面bcde；第(3)問(wèn)取a1b的中點(diǎn)q，再證明a1c平面deq.(1

8、)證明因?yàn)閐，e分別為ac，ab的中點(diǎn)，所以debc.又因?yàn)閐e平面a1cb，bc平面a1cb，所以de平面a1cb.(2)證明由圖(1)得acbc且debc，所以deac.所以dea1d，decd.所以de平面a1dc.而a1f平面a1dc，所以dea1f.又因?yàn)閍1fcd，所以a1f平面bcde，又be平面bcde，所以a1fbe.(3)解線段a1b上存在點(diǎn)q，使a1c平面deq.理由如下：如圖，分別取a1c，a1b的中點(diǎn)p，q，則pqbc.又因?yàn)閐ebc，所以depq.所以平面deq即為平面dep.由(2)知，de平面a1dc，所以dea1c.又因?yàn)閜是等腰三角形da1c底邊a1c的中點(diǎn)

9、，所以a1cdp.所以a1c平面dep.從而a1c平面deq.故線段a1b上存在點(diǎn)q，使得a1c平面deq.思維升華(1)解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同一側(cè)線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口(2)在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形如圖(1)，已知梯形abcd中，adbc，bad90°，abbc2ad4，e，f分別是ab，cd上的點(diǎn)，efbc，aex.沿ef將梯形abcd翻折，使平面aefd平面ebcf(如圖(2)所示)，g是bc的中點(diǎn)(1)當(dāng)x2時(shí)，求

10、證：bdeg；(2)當(dāng)x變化時(shí)，求三棱錐dbcf的體積f(x)的函數(shù)式(1)證明作dhef，垂足為h，連結(jié)bh，gh，因?yàn)槠矫鎍efd平面ebcf，交線為ef，dh平面aefd，所以dh平面ebcf，又eg平面ebcf，故egdh.因?yàn)閑hadbcbg2，be2，efbc，ebc90°，所以四邊形bghe為正方形，故egbh.又bh，dh平面dbh，且bhdhh，故eg平面dbh.又bd平面dbh，故egbd.(2)解因?yàn)閍eef，平面aefd平面ebcf，交線為ef，ae平面aefd，所以ae平面ebcf.由(1)知，dh平面ebcf，故aedh，所以四邊形aehd是矩形，dhae

11、，故以b，f，c，d為頂點(diǎn)的三棱錐dbcf的高dhaex.又sbcfbc·be×4×(4x)82x，所以三棱錐dbcf的體積f(x)sbfc·dhsbfc·ae(82x)xx2x(0<x<4)1證明線線平行的常用方法(1)利用平行公理，即證明兩直線同時(shí)和第三條直線平行；(2)利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(3)利用三角形中位線定理證明；(4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明2證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；(2)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行3證明面面平行的方

12、法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行4證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可5證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；(3)利用常見(jiàn)結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面6證明面面垂直的方法證

13、明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決.真題感悟1(20xx·遼寧改編)已知m，n表示兩條不同直線，表示平面下列說(shuō)法正確的是_若m，n，則mn；若m，n，則mn；若m，mn，則n；若m，mn，則n.答案解析方法一若m，n，則m，n可能平行、相交或異面，錯(cuò)；若m，n，則mn，因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，正確；若m，mn，則n或n，錯(cuò)；若m，mn，則n與可能相交，可能平行，也可能n，錯(cuò)方法二如圖，在正方體abcdabcd中，用平

14、面abcd表示.項(xiàng)中，若m為ab，n為bc，滿足m，n，但m與n是相交直線，故錯(cuò)項(xiàng)中，m，n，mn，這是線面垂直的性質(zhì)，故正確項(xiàng)中，若m為aa，n為ab，滿足m，mn，但n，故錯(cuò)項(xiàng)中，若m為ab，n為bc，滿足m，mn，但n，故錯(cuò)2(20xx·遼寧)如圖，abc和bcd所在平面互相垂直，且abbcbd2，abcdbc120°，e，f，g分別為ac，dc，ad的中點(diǎn)(1)求證：ef平面bcg；(2)求三棱錐dbcg的體積附：錐體的體積公式vsh，其中s為底面面積，h為高(1)證明由已知得abcdbc，因此acdc.又g為ad的中點(diǎn)，所以cgad.同理bgad，又bgcgg，因

15、此ad平面bgc.又efad，所以ef平面bcg.(2)解在平面abc內(nèi)，作aobc，交cb的延長(zhǎng)線于o.由平面abc平面bcd，知ao平面bdc.又g為ad中點(diǎn)，因此g到平面bdc的距離h是ao長(zhǎng)度的一半在aob中，aoab·sin 60°，所以vdbcgvgbcdsdbc·h×bd·bc·sin 120°·.押題精練1.如圖，ab為圓o的直徑，點(diǎn)c在圓周上(異于點(diǎn)a，b)，直線pa垂直于圓o所在的平面，點(diǎn)m為線段pb的中點(diǎn)有以下四個(gè)命題：pa平面mob；mo平面pac；oc平面pac；平面pac平面pbc.其中

16、正確的命題是_(填上所有正確命題的序號(hào))答案解析錯(cuò)誤，pa平面mob；正確；錯(cuò)誤，否則，有ocac，這與bcac矛盾；正確，因?yàn)閎c平面pac.2如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中點(diǎn)(1)證明：平面adc1b1平面a1be；(2)在棱c1d1上是否存在一點(diǎn)f，使b1f平面a1be？并證明你的結(jié)論(1)證明如圖，因?yàn)閍bcda1b1c1d1為正方體，所以b1c1面abb1a1.因?yàn)閍1b面abb1a1，所以b1c1a1b.又因?yàn)閍1bab1，b1c1ab1b1，所以a1b面adc1b1.因?yàn)閍1b面a1be，所以平面adc1b1平面a1be.(2)解當(dāng)點(diǎn)f為c1d1的

17、中點(diǎn)時(shí)，可使b1f平面a1be.證明如下：取c1d1中點(diǎn)f，連結(jié)ef，b1f易知：efc1d，且efc1d.設(shè)ab1a1bo，連結(jié)oe，則b1oc1d且b1oc1d，所以efb1o且efb1o，所以四邊形b1oef為平行四邊形所以b1foe.又因?yàn)閎1f面a1be，oe面a1be.所以b1f面a1be.(推薦時(shí)間：60分鐘)一、填空題1(20xx·廣東改編)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是_l1l4l1l4l1與l4既不垂直也不平行l(wèi)1與l4的位置關(guān)系不確定答案解析如圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，記l

18、1dd1，l2dc，l3da，若l4aa1，滿足l1l2，l2l3，l3l4，此時(shí)l1l4，可知錯(cuò)誤若l4dc1，也滿足條件，可知錯(cuò)誤故正確2.一正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)p是棱va的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p將木塊鋸開(kāi)，使截面平行于棱vb和ac，若木塊的棱長(zhǎng)為a，則截面面積為_(kāi)答案解析如圖，在面vac內(nèi)過(guò)點(diǎn)p作ac的平行線pd交vc于點(diǎn)d，在面vab內(nèi)作vb的平行線交ab于點(diǎn)f，過(guò)點(diǎn)d作vb的平行線交bc于點(diǎn)e.連結(jié)ef，易知pfde，故p，d，e，f共面，且面pdef與vb和ac都平行，易知四邊形pdef是邊長(zhǎng)為的正方形，故其面積為.3abcda1b1c1d1為正方體，下列結(jié)論正確的是_bd平面cb1d1

19、 a1cbdac1平面cb1d1 ac1bd1答案解析因?yàn)閍bcda1b1c1d1為正方體，所以dd1bb1且dd1bb1，所以四邊形dd1b1b為平行四邊形，所以bdb1d1，因?yàn)閎d面cb1d1，b1d1面cb1d1，所以bd平面cb1d1，故正確；因?yàn)閍a1面abcd，bd面abcd，所以aa1bd，因?yàn)閍bcd為正方形，所以acbd，因?yàn)閍caa1a，所以bd面a1acc1，因?yàn)閍1c面a1acc1，所以bda1c，故正確同理可證得b1d1面a1acc1，因?yàn)閍c1面a1acc1，所以b1d1ac1，同理可證cb1ac1，因?yàn)閎1d1cb1b1，所以ac1平面cb1d1，故正確易知命題

20、錯(cuò)誤4在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，底面各邊都相等，m是pc上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)m滿足_時(shí)，平面mbd平面pcd.答案bmpc(或dmpc)解析pdcpbc，當(dāng)bmpc時(shí)，有dmpc.故填bmpc(或dmpc)5直線m，n均不在平面，內(nèi)，給出下列命題：若mn，n，則m；若m，則m；若mn，n，則m；若m，則m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是_答案4解析對(duì)，根據(jù)線面平行的判定定理知，m；對(duì)，如果直線m與平面相交，則必與相交，而這與矛盾，故m；對(duì)，在平面內(nèi)取一點(diǎn)a，設(shè)過(guò)a、m的平面與平面相交于直線b.因?yàn)閚，所以nb，又mn，所以mb，則m；對(duì)，設(shè)l，在內(nèi)作m，因?yàn)閙，所以mm，從而m.故四個(gè)命題都正

21、確6.在正三棱錐sabc中，m，n分別是sc，bc的中點(diǎn)，且mnam，若側(cè)棱sa2，則正三棱錐sabc外接球的表面積是_答案36 解析由mnam且mn是bsc的中位線得bsam，又由正三棱錐的性質(zhì)得bsac，bs面asc.即正三棱錐sabc的三側(cè)棱sa、sb、sc兩兩垂直，外接球直徑為sa6.球的表面積s4r24×3236.7已知兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn.其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案2解析中m，n可能異面或相交，故不正確；因?yàn)閙，n，且成立時(shí)，m，n兩直線的關(guān)系可能是相交、

22、平行、異面，故不正確；因?yàn)閙，可得出m，再由n可得出mn，故正確；分別垂直于兩個(gè)垂直平面的兩條直線一定垂直，正確故正確8下列四個(gè)正方體圖形中，a，b為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，m，n，p分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出ab平面mnp的圖形的序號(hào)是_(寫出所有符合要求的圖形序號(hào))答案解析對(duì)于，注意到該正方體的面中過(guò)直線ab的側(cè)面與平面mnp平行，因此直線ab平行于平面mnp；對(duì)于，注意到直線ab和過(guò)點(diǎn)a的一個(gè)與平面mnp平行的平面相交，因此直線ab與平面mnp相交；對(duì)于，注意到此時(shí)直線ab與平面mnp內(nèi)的一條直線mp平行，且直線ab位于平面mnp外，因此直線ab與平面mnp平行；對(duì)于，易知此時(shí)ab與平面mn

23、p相交綜上所述，能得出直線ab平行于平面mnp的圖形的序號(hào)是.9如圖，在三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱aa1底面abc，底面是以abc為直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中點(diǎn)，點(diǎn)f在線段aa1上，當(dāng)af_時(shí)，cf平面b1df.答案a或2a解析由題意易知，b1d平面acc1a1，所以b1dcf.要使cf平面b1df，只需cfdf即可令cfdf，設(shè)afx，則a1f3ax.易知rtcafrtfa1d，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.10如圖，在長(zhǎng)方形abcd中，ab2，bc1，e為dc的中點(diǎn)，f為線段ec上一動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))現(xiàn)將afd沿af折起，使平面

24、abd平面abc.在平面abd內(nèi)過(guò)點(diǎn)d作dkab，k為垂足設(shè)akt，則t的取值范圍是_答案解析破解此題可采用兩個(gè)極端位置法，即對(duì)于f位于dc的中點(diǎn)時(shí)，t1，隨著f點(diǎn)到c點(diǎn)時(shí)，cbab，cbdk，cb平面adb，即有cbbd，對(duì)于cd2，bc1，bd，又ad1，ab2，因此有adbd，則有t，因此t的取值范圍是.二、解答題11如圖所示，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14，點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)，(1)求證：acbc1；(2)求證：ac1平面cdb1.證明(1)直三棱柱abca1b1c1中，底面三邊長(zhǎng)ac3，bc4，ab5，ab2ac2bc2，acbc.cc1平面abc，ac平面abc，accc1，又bccc1c，ac平面bcc1b1，bc1平面bcc1b1，acbc1.(2)設(shè)cb1與c1b的交點(diǎn)為e，連結(jié)de，d是ab的中點(diǎn)，e是c1b的中點(diǎn)，deac1，de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1平面cdb1.12如圖所示，三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，d，e分別為a1b1，aa1的中點(diǎn)，點(diǎn)f在棱ab上，且afab.(1)求證：ef平面bc1d；(2)在棱ac上是否存在一個(gè)點(diǎn)g，使得平面efg將三棱柱分割成的兩部分體積之