用放縮法證明數(shù)列中的不等式(超級好!).教學內(nèi)容

1、普寧僑中普寧僑中 鄭慶宏鄭慶宏第一頁，共40頁。 放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點內(nèi)容，在近幾年的廣東高考數(shù)列試題中都有考查.放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點點就太大，縮小一點點又太小”，這就讓同學們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺得高不可攀！高考命題專家說：“放縮是一種能力.” 如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是(zhn sh)放縮法的精髓和關(guān)鍵所在！其實，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，放縮法也是“有法可依”的，本節(jié)課我們一起來研究數(shù)列問題中一些常見的放縮類型及方法，破解其思維過程，揭開其神秘的面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無限魅力！第二頁，共40頁。第三頁，共40頁。一一.

2、 放縮目標放縮目標(mbio)模型模型可求和可求和2311111 ()2222nnN求證：例例1 1231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 12311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 31(niiak k為常數(shù)）形形（一一）如如第四頁，共40頁。不等式左邊可用等比數(shù)列前不等式左邊可用等比數(shù)列前n項和公式項和公式(gngsh)求和求和.分析分析(fnx)左邊左邊(zu bian)11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnN求證：例例1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，

3、實質(zhì)是實質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和第五頁，共40頁。不等式左邊可用不等式左邊可用“錯位錯位(cu wi)相減法相減法”求和求和.分析分析(fnx)由錯位由錯位(cu wi)相減法得相減法得 222nn2231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)是實質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和231232222nn第六頁，共40頁。左邊不能直接左邊不能直接(zhji)求和，須先將其通項求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？放縮后求和，如何放縮？分析分析(fnx)2311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2將通項放縮為等將通項放縮為等比數(shù)列比數(shù)列(d

4、n (dn b sh li)b sh li)注意到注意到11212nn左邊左邊11(1)22112n112n 12311112222n第七頁，共40頁。左邊不能直接左邊不能直接(zhji)求和，須先將其通項放求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？縮后求和，如何放縮？分析分析(fnx)注意注意(zh y)到到222nn2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 3231232222nn左邊22nnnnn將通項放縮為將通項放縮為 錯錯位相減位相減模型模型第八頁，共40頁。【方法【方法(fngf)總結(jié)總結(jié)之一】之一】第九頁，共40頁。201319)11111()1 33 55

5、7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問求證：例例2 222211112 ()23nnN求證：變變式式1 12221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 222211151()233nnN求證：變變式式3 3第十頁，共40頁。左邊左邊(zu bian)可用裂項相消法求和，先求和可用裂項相消法求和，先求和再放縮再放縮.分析分析(fnx)11(1)221n12201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問求證：例例2 2表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實質(zhì)實質(zhì)(shzh)(shzh)是數(shù)列是數(shù)列求和求和

6、111111(1)()()23352121nn左邊1111()(21)(21)2 2121nnnn第十一頁，共40頁。左邊不能求和左邊不能求和(qi h)，應先將通項放縮為裂項，應先將通項放縮為裂項相消模型后求和相消模型后求和(qi h).分析分析(fnx)11 1n 22 ()n保留保留(boli)(boli)第第一項，從第一項，從第二項開始放二項開始放縮縮111111 (1)()()2231nn 左邊21n22211112 ()23nnN求證：變變式式1 11(1)n n11()12nnn當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第十二頁，共40頁。變式變式2 2的結(jié)論比變式

7、的結(jié)論比變式1 1強，要達目的強，要達目的(md)(md)，須將，須將變式變式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正，如何修正？進行修正，如何修正？分析分析(fnx)2221117(201319(3)1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 2保留保留(boli)(boli)前前兩項，從第三項兩項，從第三項開始放縮開始放縮思路一思路一211(1)nn n左邊左邊111142n 714n374()n211111111()()()223341nn 111nn(3)n 將變式將變式1 1的通項從第三項才開始放縮的通項從第三項才開始放縮. .當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立

8、.第十三頁，共40頁。變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強，要達目的，須將變式強，要達目的，須將變式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正進行修正(xizhng)(xizhng)，如何修正，如何修正(xizhng)(xizhng)？分析分析(fnx)2221117(201319(3)1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 2保留保留(boli)(boli)第第一項，從第一項，從第二項開始放二項開始放縮縮思路二思路二22111nn左邊左邊11111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn 111()211nn(2)n 將通項放得比變

9、式將通項放得比變式1 1更小一點更小一點.當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第十四頁，共40頁。變式變式3 3的結(jié)論的結(jié)論(jiln)(jiln)比變式比變式2 2更強，要達目的，須更強，要達目的，須將變式將變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如何修正？進一步修正，如何修正？分析分析(fnx)保留保留(boli)(boli)前前兩項，從第兩項，從第三項開始放三項開始放縮縮思路一思路一左邊左邊11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()()22243511nn 22211151()233nnN求證：變變式式

10、3 322111nn111()211nn(3)n 將變式將變式2 2思路二中通項從第三項才開始放縮思路二中通項從第三項才開始放縮.當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第十五頁，共40頁。變式變式3 3的結(jié)論的結(jié)論(jiln)(jiln)比變式比變式2 2更強，要達目更強，要達目的，須將變式的，須將變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如進一步修正，如何修正？何修正？分析分析(fnx)保留保留(b(bolioli) )第第一項一項，從，從第二第二項開項開始放始放縮縮思路二思路二22144nn左邊左邊1112()321n 1123 253()n11111112 ()(

11、)()35572121nn 112()2121nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式2 2思路二更小一點思路二更小一點.22211151()233nnN求證：變變式式3 32441n當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第十六頁，共40頁。評注評注(pngzh)第十七頁，共40頁?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)之總結(jié)之二】二】 放縮法證明與數(shù)列(shli)求和有關(guān)的不等式的過程中，很多時候要“留一手”， 即采用“有所保留”的方法，保留數(shù)列(shli)的第一項或前兩項，從數(shù)列(shli)的第二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結(jié)果放得過大或縮得過小.第十八頁，共40頁。牛刀

12、小試牛刀小試(ni do xio sh)（變式練習（變式練習1）*22211151()35(21)4nnN求證：證明證明(zhngmng)21(21)n111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn 14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左邊當當n = 1時，不等式顯然時，不等式顯然(xinrn)也成立也成立.第十九頁，共40頁。2(1),(1)nnan nbn1122111512nnababab11(1)(21)nnabnn故故1111 111111()62 23341niiiabnn51122(1)5.12n(2)n 當當 時，有時，有 也

13、成立也成立 1n 156121 11()212 (11)nnnn第二十頁，共40頁。na221nnna 1(1)3niiia a當當 時，有時，有 也成立也成立 1n 2322(1)(21)(21)(21)(22)iiiiiiiiaa 111211(2)(21)(21)2121iiiiii21111111(1)2()()33(2)2 121212121niinnnia an第二十一頁，共40頁。常見常見(chn jin)的裂項放縮技巧：的裂項放縮技巧：)1(212n22112)1(2nnnnnnnnn)2(121121) 12)(12(2)22)(12(2) 12)(12(2) 12(2111

14、2nnnnnnnnnnnnnn) 3()111(2) 1(21212) 1(1)(1) 11 (12n21210 nnnnnnnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111) 1(111) 1(11111211212) 12)(12(4144441111121) 1)(1(11112222224.1.3.5.6.2.第二十二頁，共40頁。右邊右邊(yu (yu bian)bian)保留保留第一項第一項1111231001111231(2009200)0S 珠海二求模理第(2)的整.問例數(shù)部分3 3122nn21nn2(1)nn21nn 2(1)nn 1 2(

15、100 1)19 182( 101 1)18S 的整數(shù)部分是思路思路(sl(sl)為了確定為了確定S S的整數(shù)部分，必須的整數(shù)部分，必須(bx)(bx)將將S S的值放縮在相鄰的兩個的值放縮在相鄰的兩個整數(shù)之間整數(shù)之間. .第二十三頁，共40頁。分析分析(fnx)思路思路(sl)左邊(zu bian)32nn211111333n 22331(2011113()3232322193(3)22nnnN求廣東理第：問證例例4 4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型23 1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n第二十

16、四頁，共40頁。分析分析(fnx)左邊左邊(zu bian)32n21111(1)733n 23111117()3214323232nnN求證：例例4 4 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留保留(boli)(boli)第第一項，從第二項一項，從第二項開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項也的方法將通項也放縮為放縮為等比模型等比模型后求和？后求和？ 3171141(2)4n 當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.第二十五頁，共40頁?！痉椒ā痉?/p>

17、法(fngf)總結(jié)總結(jié)之三】之三】第二十六頁，共40頁。na221nnna 1(1)3niiia a21112111(1)(2)22 21222222iiiiiiiiiaai故故2111111(1)233(2)2222niinnia an當當 時，有時，有 也成立也成立 1n 23第二十七頁，共40頁。(1)(2)1 22(1985)3(1)()22n nn nn nn N全國求：例證5 5(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n 思路思路(sl)nT nR123nnTbbbb123nnRcccc1( )niiaf n二形形（）如如第二十八頁，共40頁。證明證明(zhn(zhngm

18、nggmng) )(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1)n n1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n評注評注(pngzh)用分析法尋找證明思路顯得用分析法尋找證明思路顯得(xin de)(xin de)一一氣呵成！氣呵成！第二十九頁，共40頁?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)總結(jié)之四】之四】第三十頁，共40頁。二二. 放縮目標放縮目標(mbio)模型模型可求積可求積第三十一頁，共40頁。135211()24(2060922121 (2) )nnnn N求證東理：例廣第問6 6思路思路(sl)135211246221nnn nB1 2 3nbbbb1( )niiaf n三

19、（形形如如）第三十二頁，共40頁。證明證明(zhngmng)(zhngmng)212nn22141nn21()21nnnN1352135721nn左邊121n第三十三頁，共40頁?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)總結(jié)之五】之五】第三十四頁，共40頁。牛刀小試牛刀小試(ni do xio sh)（變式練習（變式練習2）(1998全國理全國理25第第(2)問問)*3111(1 1)(1)(1)(1)31 ()4732nnnN求證：證明證明(zhngmng)31(1)32n313113232nnn 333334710313114732nnn23331132(32)(32)nnn 33113232nnn 左邊第三十五頁，共40頁。課堂課堂(ktng)(ktng)小結(jié)小結(jié) 本節(jié)課我們一起研究了利用放縮法證明數(shù)列不等式，從中我們可以感受(gnshu)到在平時的學習中有意識地去積累總結(jié)一些常用的放縮模型和放縮方法非常必要，厚積薄發(fā)，“量變引起質(zhì)變”. 當然，要想達到爐火純青的深厚功力，還必須在實踐中不斷去感悟，仔細揣摩其方法，逐步內(nèi)化為自己個人的“修為”. 南宋杰出的詩人