用放縮法證明數(shù)列中的不等式(超級(jí)好!).教學(xué)內(nèi)容

1、普寧僑中普寧僑中 鄭慶宏鄭慶宏第一頁(yè)，共40頁(yè)。 放縮法證明數(shù)列不等式是數(shù)列中的難點(diǎn)內(nèi)容，在近幾年的廣東高考數(shù)列試題中都有考查.放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)就太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)又太小”，這就讓同學(xué)們找不到頭緒，摸不著規(guī)律，總覺(jué)得高不可攀！高考命題專家說(shuō)：“放縮是一種能力.” 如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是(zhn sh)放縮法的精髓和關(guān)鍵所在！其實(shí)，任何事物都有其內(nèi)在規(guī)律，放縮法也是“有法可依”的，本節(jié)課我們一起來(lái)研究數(shù)列問(wèn)題中一些常見的放縮類型及方法，破解其思維過(guò)程，揭開其神秘的面紗，領(lǐng)略和感受放縮法的無(wú)限魅力！第二頁(yè)，共40頁(yè)。第三頁(yè)，共40頁(yè)。一一.

2、 放縮目標(biāo)放縮目標(biāo)(mbio)模型模型可求和可求和2311111 ()2222nnN求證：例例1 1231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 12311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 31(niiak k為常數(shù)）形形（一一）如如第四頁(yè)，共40頁(yè)。不等式左邊可用等比數(shù)列前不等式左邊可用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式(gngsh)求和求和.分析分析(fnx)左邊左邊(zu bian)11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnN求證：例例1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，

3、實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和第五頁(yè)，共40頁(yè)。不等式左邊可用不等式左邊可用“錯(cuò)位錯(cuò)位(cu wi)相減法相減法”求和求和.分析分析(fnx)由錯(cuò)位由錯(cuò)位(cu wi)相減法得相減法得 222nn2231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是實(shí)質(zhì)是數(shù)列求和數(shù)列求和231232222nn第六頁(yè)，共40頁(yè)。左邊不能直接左邊不能直接(zhji)求和，須先將其通項(xiàng)求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，如何放縮？放縮后求和，如何放縮？分析分析(fnx)2311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2將通項(xiàng)放縮為等將通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列比數(shù)列(d

4、n (dn b sh li)b sh li)注意到注意到11212nn左邊左邊11(1)22112n112n 12311112222n第七頁(yè)，共40頁(yè)。左邊不能直接左邊不能直接(zhji)求和，須先將其通項(xiàng)放求和，須先將其通項(xiàng)放縮后求和，如何放縮？縮后求和，如何放縮？分析分析(fnx)注意注意(zh y)到到222nn2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 3231232222nn左邊22nnnnn將通項(xiàng)放縮為將通項(xiàng)放縮為 錯(cuò)錯(cuò)位相減位相減模型模型第八頁(yè)，共40頁(yè)。【方法【方法(fngf)總結(jié)總結(jié)之一】之一】第九頁(yè)，共40頁(yè)。201319)11111()1 33 55

5、7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問(wèn)求證：例例2 222211112 ()23nnN求證：變變式式1 12221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：?jiǎn)柷笞C變變式式2 222211151()233nnN求證：變變式式3 3第十頁(yè)，共40頁(yè)。左邊左邊(zu bian)可用裂項(xiàng)相消法求和，先求和可用裂項(xiàng)相消法求和，先求和再放縮再放縮.分析分析(fnx)11(1)221n12201319)11111()1 33 55 7(21)(21)2nnnN(廣東文第(3)問(wèn)求證：例例2 2表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)(shzh)(shzh)是數(shù)列是數(shù)列求和求和

6、111111(1)()()23352121nn左邊1111()(21)(21)2 2121nnnn第十一頁(yè)，共40頁(yè)。左邊不能求和左邊不能求和(qi h)，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)相消模型后求和相消模型后求和(qi h).分析分析(fnx)11 1n 22 ()n保留保留(boli)(boli)第第一項(xiàng)，從第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開始放二項(xiàng)開始放縮縮111111 (1)()()2231nn 左邊21n22211112 ()23nnN求證：變變式式1 11(1)n n11()12nnn當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.第十二頁(yè)，共40頁(yè)。變式變式2 2的結(jié)論比變式

7、的結(jié)論比變式1 1強(qiáng)，要達(dá)目的強(qiáng)，要達(dá)目的(md)(md)，須將，須將變式變式1 1放縮的放縮的“度度”進(jìn)行修正，如何修正？進(jìn)行修正，如何修正？分析分析(fnx)2221117(201319(3)1()234nnN廣東理第：?jiǎn)柷笞C變變式式2 2保留保留(boli)(boli)前前兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)開始放縮開始放縮思路一思路一211(1)nn n左邊左邊111142n 714n374()n211111111()()()223341nn 111nn(3)n 將變式將變式1 1的通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮的通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮. .當(dāng)當(dāng)n = 1, 2時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立

8、.第十三頁(yè)，共40頁(yè)。變式變式2 2的結(jié)論比變式的結(jié)論比變式1 1強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式1 1放縮的放縮的“度度”進(jìn)行修正進(jìn)行修正(xizhng)(xizhng)，如何修正，如何修正(xizhng)(xizhng)？分析分析(fnx)2221117(201319(3)1()234nnN廣東理第：?jiǎn)柷笞C變變式式2 2保留保留(boli)(boli)第第一項(xiàng)，從第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開始放二項(xiàng)開始放縮縮思路二思路二22111nn左邊左邊11111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn 111()211nn(2)n 將通項(xiàng)放得比變

9、式將通項(xiàng)放得比變式1 1更小一點(diǎn)更小一點(diǎn).當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.第十四頁(yè)，共40頁(yè)。變式變式3 3的結(jié)論的結(jié)論(jiln)(jiln)比變式比變式2 2更強(qiáng)，要達(dá)目的，須更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式將變式2 2放縮的放縮的“度度”進(jìn)一步修正，如何修正？進(jìn)一步修正，如何修正？分析分析(fnx)保留保留(boli)(boli)前前兩項(xiàng)，從第兩項(xiàng)，從第三項(xiàng)開始放三項(xiàng)開始放縮縮思路一思路一左邊左邊11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()()22243511nn 22211151()233nnN求證：變變式式

10、3 322111nn111()211nn(3)n 將變式將變式2 2思路二中通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮思路二中通項(xiàng)從第三項(xiàng)才開始放縮.當(dāng)當(dāng)n = 1, 2時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.第十五頁(yè)，共40頁(yè)。變式變式3 3的結(jié)論的結(jié)論(jiln)(jiln)比變式比變式2 2更強(qiáng)，要達(dá)目更強(qiáng)，要達(dá)目的，須將變式的，須將變式2 2放縮的放縮的“度度”進(jìn)一步修正，如進(jìn)一步修正，如何修正？何修正？分析分析(fnx)保留保留(b(bolioli) )第第一項(xiàng)一項(xiàng)，從，從第二第二項(xiàng)開項(xiàng)開始放始放縮縮思路二思路二22144nn左邊左邊1112()321n 1123 253()n11111112 ()(

11、)()35572121nn 112()2121nn(2)n 將通項(xiàng)放得比變式將通項(xiàng)放得比變式2 2思路二更小一點(diǎn)思路二更小一點(diǎn).22211151()233nnN求證：變變式式3 32441n當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.第十六頁(yè)，共40頁(yè)。評(píng)注評(píng)注(pngzh)第十七頁(yè)，共40頁(yè)。【方法【方法(fngf)總結(jié)之總結(jié)之二】二】 放縮法證明與數(shù)列(shli)求和有關(guān)的不等式的過(guò)程中，很多時(shí)候要“留一手”， 即采用“有所保留”的方法，保留數(shù)列(shli)的第一項(xiàng)或前兩項(xiàng)，從數(shù)列(shli)的第二項(xiàng)或第三項(xiàng)開始放縮，這樣才不致使結(jié)果放得過(guò)大或縮得過(guò)小.第十八頁(yè)，共40頁(yè)。牛刀

12、小試牛刀小試(ni do xio sh)（變式練習(xí)（變式練習(xí)1）*22211151()35(21)4nnN求證：證明證明(zhngmng)21(21)n111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn 14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左邊當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然時(shí)，不等式顯然(xinrn)也成立也成立.第十九頁(yè)，共40頁(yè)。2(1),(1)nnan nbn1122111512nnababab11(1)(21)nnabnn故故1111 111111()62 23341niiiabnn51122(1)5.12n(2)n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 也

13、成立也成立 1n 156121 11()212 (11)nnnn第二十頁(yè)，共40頁(yè)。na221nnna 1(1)3niiia a當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 也成立也成立 1n 2322(1)(21)(21)(21)(22)iiiiiiiiaa 111211(2)(21)(21)2121iiiiii21111111(1)2()()33(2)2 121212121niinnnia an第二十一頁(yè)，共40頁(yè)。常見常見(chn jin)的裂項(xiàng)放縮技巧：的裂項(xiàng)放縮技巧：)1(212n22112)1(2nnnnnnnnn)2(121121) 12)(12(2)22)(12(2) 12)(12(2) 12(2111

14、2nnnnnnnnnnnnnn) 3()111(2) 1(21212) 1(1)(1) 11 (12n21210 nnnnnnnCCCCCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111) 1(111) 1(11111211212) 12)(12(4144441111121) 1)(1(11112222224.1.3.5.6.2.第二十二頁(yè)，共40頁(yè)。右邊右邊(yu (yu bian)bian)保留保留第一項(xiàng)第一項(xiàng)1111231001111231(2009200)0S 珠海二求模理第(2)的整.問(wèn)例數(shù)部分3 3122nn21nn2(1)nn21nn 2(1)nn 1 2(

15、100 1)19 182( 101 1)18S 的整數(shù)部分是思路思路(sl(sl)為了確定為了確定S S的整數(shù)部分，必須的整數(shù)部分，必須(bx)(bx)將將S S的值放縮在相鄰的兩個(gè)的值放縮在相鄰的兩個(gè)整數(shù)之間整數(shù)之間. .第二十三頁(yè)，共40頁(yè)。分析分析(fnx)思路思路(sl)左邊(zu bian)32nn211111333n 22331(2011113()3232322193(3)22nnnN求廣東理第：?jiǎn)栕C例例4 4利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性放縮為等比模型23 1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n第二十

16、四頁(yè)，共40頁(yè)。分析分析(fnx)左邊左邊(zu bian)32n21111(1)733n 23111117()3214323232nnN求證：例例4 4 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留保留(boli)(boli)第第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項(xiàng)也的方法將通項(xiàng)也放縮為放縮為等比模型等比模型后求和？后求和？ 3171141(2)4n 當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，不等式顯然也成立時(shí)，不等式顯然也成立.第二十五頁(yè)，共40頁(yè)。【方法【方

17、法(fngf)總結(jié)總結(jié)之三】之三】第二十六頁(yè)，共40頁(yè)。na221nnna 1(1)3niiia a21112111(1)(2)22 21222222iiiiiiiiiaai故故2111111(1)233(2)2222niinnia an當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 也成立也成立 1n 23第二十七頁(yè)，共40頁(yè)。(1)(2)1 22(1985)3(1)()22n nn nn nn N全國(guó)求：例證5 5(1)(2)1 22 3(1)22n nn nn n 思路思路(sl)nT nR123nnTbbbb123nnRcccc1( )niiaf n二形形（）如如第二十八頁(yè)，共40頁(yè)。證明證明(zhn(zhngm

18、nggmng) )(1)n nn (1)2nn12n1 22 3(1)n n1nkk(1)2n n11()2nkk(2)2n n評(píng)注評(píng)注(pngzh)用分析法尋找證明思路顯得用分析法尋找證明思路顯得(xin de)(xin de)一一氣呵成！氣呵成！第二十九頁(yè)，共40頁(yè)?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)總結(jié)之四】之四】第三十頁(yè)，共40頁(yè)。二二. 放縮目標(biāo)放縮目標(biāo)(mbio)模型模型可求積可求積第三十一頁(yè)，共40頁(yè)。135211()24(2060922121 (2) )nnnn N求證東理：例廣第問(wèn)6 6思路思路(sl)135211246221nnn nB1 2 3nbbbb1( )niiaf n三

19、（形形如如）第三十二頁(yè)，共40頁(yè)。證明證明(zhngmng)(zhngmng)212nn22141nn21()21nnnN1352135721nn左邊121n第三十三頁(yè)，共40頁(yè)?！痉椒ā痉椒?fngf)總結(jié)總結(jié)之五】之五】第三十四頁(yè)，共40頁(yè)。牛刀小試牛刀小試(ni do xio sh)（變式練習(xí)（變式練習(xí)2）(1998全國(guó)理全國(guó)理25第第(2)問(wèn)問(wèn))*3111(1 1)(1)(1)(1)31 ()4732nnnN求證：證明證明(zhngmng)31(1)32n313113232nnn 333334710313114732nnn23331132(32)(32)nnn 33113232nnn 左邊第三十五頁(yè)，共40頁(yè)。課堂課堂(ktng)(ktng)小結(jié)小結(jié) 本節(jié)課我們一起研究了利用放縮法證明數(shù)列不等式，從中我們可以感受(gnshu)到在平時(shí)的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地去積累總結(jié)一些常用的放縮模型和放縮方法非常必要，厚積薄發(fā)，“量變引起質(zhì)變”. 當(dāng)然，要想達(dá)到爐火純青的深厚功力，還必須在實(shí)踐中不斷去感悟，仔細(xì)揣摩其方法，逐步內(nèi)化為自己個(gè)人的“修為”. 南宋杰出的詩(shī)人