2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(安徽卷)理 (2)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(安徽卷)數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.全卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.參考公式:如果事件a與b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b)如果事件a與b相互獨(dú)立,那么p(ab)=p(a)p(b)第卷(選擇題共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014安徽,理1)設(shè)i是虛數(shù)單位,z表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).若z=1+i,則zi+i·z=().a.-2b.-2ic.2d.2i答案:c解析:原式=1+ii+i(1-i)=-i+1+i+1=

2、2.2.(2014安徽,理2)“x<0”是“l(fā)n(x+1)<0”的().a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件答案:b解析:由ln(x+1)<0得-1<x<0,故選b.3.(2014安徽,理3)如圖所示,程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果是().a.34b.55c.78d.89答案:b解析:由程序框圖知依次為:x=1,y=1,z=2;x=1,y=2,z=3;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;x=5,y=8,z=13;x=8,y=13,z=21;x=13,y=21,z=34;x=21,y=34,z=55>50,

3、故輸出55.4.(2014安徽,理4)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線l的參數(shù)方程是x=t+1,y=t-3(t為參數(shù)),圓c的極坐標(biāo)方程是=4cos ,則直線l被圓c截得的弦長(zhǎng)為().a.14b.214c.2d.22答案:d解析:由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓c的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=2,故弦長(zhǎng)=2r2-d2=22.5.(2014安徽,理5)x,y滿足約束條件x+y-20,x-2y-20,2x-y+20.若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)a的值為().a.12或-1b.2或

4、12c.2或1d.2或-1答案:d解析:畫出x,y約束條件限定的可行域,如圖陰影區(qū)域所示,由z=y-ax得y=ax+z,當(dāng)直線y=ax與直線2x-y+2=0或直線x+y-2=0平行時(shí),符合題意,則a=2或-1.6.(2014安徽,理6)設(shè)函數(shù)f(x)(xr)滿足f(x+)=f(x)+sin x.當(dāng)0x<時(shí),f(x)=0,則f236=().a.12b.32c.0d.-12答案:a解析:由題意得f236=f176+sin176=f116+sin116+sin176=f56+sin56+sin116+sin176=0+12-12+12=12.7.(2014安徽,理7)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示

5、,則該多面體的表面積為().a.21+3b.18+3c.21d.18答案:a解析:由三視圖知,該多面體是由正方體割去兩個(gè)角所成的圖形,如圖所示,則s=s正方體-2s三棱錐側(cè)+2s三棱錐底=24-2×3×12×1×1+2×34×(2)2=21+3.8.(2014安徽,理8)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60°的共有().a.24對(duì)b.30對(duì)c.48對(duì)d.60對(duì)答案:c解析:正方體六個(gè)面的對(duì)角線共有12條,則有c122=66對(duì),而相對(duì)的兩個(gè)面中的對(duì)角線其夾角都不是60°,則共有3×c

6、42=18對(duì),而其余的都符合題意,故有66-18=48對(duì).9.(2014安徽,理9)若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實(shí)數(shù)a的值為().a.5或8b.-1或5c.-1或-4d.-4或8答案:d解析:令x+1=0得x1=-1;令2x+a=0得x2=-a2.當(dāng)-1>-a2,即a>2時(shí),f(x)=-3x-a-1,x<-a2,x+a-1,-a2x-1,3x+a+1,x>-1,其圖象如圖所示,則fmin(x)=f-a2=-a2+1+|-a+a|=3,解得a=8或a=-4(舍去).當(dāng)-1<-a2,即a<2時(shí),f(x)=-3x-a-1,x<-1

7、,-x+1-a,-1x-a2,3x+a+1,x>-a2,其圖象如圖所示,則fmin(x)=f-a2=-a2+1+|-a+a|=3,解得a=-4或a=8(舍去).當(dāng)-1=-a2,即a=2時(shí),f(x)=3|x+1|0,不符合題意.綜上所述,a=-4或8.10.(2014安徽,理10)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,點(diǎn)q滿足oq=2(a+b).曲線c=p|op=acos +bsin ,0<2,區(qū)域=p|0<r|pq|r,r<r.若c為兩段分離的曲線,則().a.1<r<r<3b.1<r<3rc.

8、r1<r<3d.1<r<3<r答案:a解析:由于|a|=|b|=1,a·b=0,所以|oq|=|2(a+b)|=2·|a|2+|b|2+2a·b=2,因此點(diǎn)q在以原點(diǎn)為圓心,半徑等于2的圓上.又|op|=|acos +bsin |=(acos+bsin)2=|a|2cos2+|b|2sin2+a·bsin2=1,因此曲線c是以原點(diǎn)為圓心,半徑等于1的圓.又區(qū)域=p|0<r|pq|r,r<r,所以區(qū)域是以點(diǎn)q為圓心,半徑分別為r和r的兩個(gè)圓之間的圓環(huán),由圖形可知,要使曲線c與該圓環(huán)的公共部分是兩段分離的曲線,應(yīng)有1

9、<r<r<3.第卷(非選擇題共100分)考生注意事項(xiàng):請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答,在試題卷上答題無(wú)效.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.(2014安徽,理11)若將函數(shù)f(x)=sin2x+4的圖象向右平移個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則的最小正值是. 答案:38解析:把函數(shù)f(x)=sin2x+4的圖象向右平移個(gè)單位,得到f(x)=sin2(x-)+4=sin2x-2+4的圖象.由于f(x)=sin2x-2+4的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以-2+4=k+2,kz.即=-k2-8,kz.當(dāng)k=-1時(shí),的最小

10、正值是38.12.(2014安徽,理12)數(shù)列an是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=. 答案:1解析:設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a1=a3-2d,a5=a3+2d,由題意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)·(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,d=-1,則a1+1=a3+3,故q=1.13.(2014安徽,理13)設(shè)a0,n是大于1的自然數(shù),1+xan的展開式為a0+a1x+a2x2+anxn.若點(diǎn)ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=. 答案:3解析:由

11、題意得a1=1a·cn1=na=3,n=3a;a2=1a2cn2=n(n-1)2a2=4,n2-n=8a2.將n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).a=3.14.(2014安徽,理14)設(shè)f1,f2分別是橢圓e:x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)f1的直線交橢圓e于a,b兩點(diǎn),若|af1|=3|f1b|,af2x軸,則橢圓e的方程為. 答案:x2+32y2=1解析:設(shè)b在x軸上的射影為b0,由題意得,|b0f1|=13|f1f2|=2c3,得b0坐標(biāo)為-5c3,0,即b點(diǎn)橫坐標(biāo)為-5c3

12、.設(shè)直線ab的斜率為k,又直線過點(diǎn)f1(-c,0),直線ab的方程為y=k(x+c).由y=k(x+c),x2+y2b2=1得(k2+b2)x2+2ck2x+k2c2-b2=0,其兩根為-5c3和c,由韋達(dá)定理得-53c+c=-2ck2k2+b2,-53c×c=k2c2-b2k2+b2,解之,得c2=13,b2=1-c2=23.橢圓方程為x2+32y2=1.15.(2014安徽,理15)已知兩個(gè)不相等的非零向量a,b,兩組向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成.記s=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x

13、4·y4+x5·y5,smin表示s所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號(hào)). s有5個(gè)不同的值若ab則smin與|a|無(wú)關(guān)若ab,則smin與|b|無(wú)關(guān)若|b|>4|a|,則smin>0若|b|=2|a|,smin=8|a|2,則a與b的夾角為4答案:解析:s有3種結(jié)果:s1=a2+a2+b2+b2+b2,s2=a2+ab+ab+b2+b2,s3=ab+ab+ab+ab+b2,錯(cuò)誤.s1-s2=s2-s3=a2+b2-2a·ba2+b2-2|a|b|=(|a|-|b|)20,s中最小為s3.若ab,則smin=s

14、3=b2與|a|無(wú)關(guān),正確.若ab,則smin=s3=4a·b+b2與|b|有關(guān),錯(cuò)誤.若|b|>4|a|,則smin=s3=4|a|b|cos +b2>-4|a|b|+b2>-|b|2+b2=0,正確.若|b|=2|a|,則smin=s3=8|a|2cos +4|a|2=8|a|2,2cos =1.=3,錯(cuò)誤.三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).16.(本小題滿分12分)(2014安徽,理16)設(shè)abc的內(nèi)角a,b,c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,a=2b.(1)求a值;(2)

15、求sina+4的值.分析:(1)通過觀察給出的條件及求解的問題,先將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系.首先由a=2b,得sin a=sin 2b,再由倍角公式將2b的三角函數(shù)化為b的三角函數(shù),再由正弦定理、余弦定理將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系進(jìn)行求解.(2)由(1)知三邊都已確定,先由余弦定理求出cos a的值,再利用平方關(guān)系求出sin a的值,最后利用兩角和的正弦公式求解.解:(1)因?yàn)閍=2b,所以sin a=sin 2b=2sin bcos b.由正弦定理、余弦定理得a=2b·a2+c2-b22ac.因?yàn)閎=3,c=1,所以a2=12,a=23.(2)由余弦定理得cos a=b2+c2-a22b

16、c=9+1-126=-13.由于0<a<,所以sin a=1-cos2a=1-19=223.故sina+4=sin acos4+cos asin4=223×22+-13×22=4-26.17.(本小題滿分12分)(2014安徽,理17)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率;(2)記x為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求x的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).分析:(1)先把甲在4局以內(nèi)贏得比賽的情況

17、進(jìn)行列舉,再用獨(dú)立事件和互斥事件概率公式求概率.(2)先寫出x的所有取值,再分析相應(yīng)x的值下對(duì)應(yīng)比賽結(jié)果的情況,求出相應(yīng)的概率,列出分布列,運(yùn)用公式求均值.解:用a表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”,ak表示“第k局甲獲勝”,bk表示“第k局乙獲勝”,則p(ak)=23,p(bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)p(a)=p(a1a2)+p(b1a2a3)+p(a1b2a3a4)=p(a1)p(a2)+p(b1)p(a2)p(a3)+p(a1)·p(b2)p(a3)p(a4)=232+13×232+23×13×232=5681.(2)x的可能取

18、值為2,3,4,5.p(x=2)=p(a1a2)+p(b1b2)=p(a1)p(a2)+p(b1)p(b2)=59,p(x=3)=p(b1a2a3)+p(a1b2b3)=p(b1)p(a2)p(a3)+p(a1)p(b2)p(b3)=29,p(x=4)=p(a1b2a3a4)+p(b1a2b3b4)=p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)+p(b1)p(a2)p(b3)·p(b4)=1081,p(x=5)=1-p(x=2)-p(x=3)-p(x=4)=881.故x的分布列為x2345p59291081881ex=2×59+3×29+4×1081+5&#

19、215;881=22481.18.(本小題滿分12分)(2014安徽,理18)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0,1時(shí),求f(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,先求導(dǎo),再令其等于0,求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即為相應(yīng)的極值點(diǎn),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的開口方向從而得出導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間的正負(fù),從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)討論極值點(diǎn)x2在不在區(qū)間0,1內(nèi)是問題的關(guān)鍵,要通過分類討論,得出函數(shù)f(x)在0,1上的變化趨勢(shì),從而得出f(x)在0,1上的最值情況.若函數(shù)f(x)在0,1上有單調(diào)性,那

20、么f(x)的最值就在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.若f(x)在0,1上單調(diào)遞增,那么f(x)在x=0處取得最小值,在x=1處取得最大值.若f(x)在0,1上單調(diào)遞減,那么f(x)在x=0處取得最大值,在x=1處取得最小值.若函數(shù)f(x)在0,1上不單調(diào),就要看能不能把區(qū)間0,1再細(xì)分成幾部分,通過討論函數(shù)f(x)在每一部分的單調(diào)性確定其在整個(gè)區(qū)間上的最值情況.特別要注意的是函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值要比較大小,以確定哪一個(gè)才是最值.解:(1)f(x)的定義域?yàn)?-,+),f'(x)=1+a-2x-3x2.令f'(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,x1<x2.所

21、以f'(x)=-3(x-x1)(x-x2).當(dāng)x<x1或x>x2時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x1<x<x2時(shí),f'(x)>0.故f(x)在(-,x1)和(x2,+)內(nèi)單調(diào)遞減,在(x1,x2)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)因?yàn)閍>0,所以x1<0,x2>0.當(dāng)a4時(shí),x21.由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增.所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.當(dāng)0<a<4時(shí),x2<1.由(1)知,f(x)在0,x2上單調(diào)遞增,在x2,1上單調(diào)遞減.所以f(x)在x=x2=-1+4+3a3處取得最大值.又f(0

22、)=1,f(1)=a,所以當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在x=1處取得最小值;當(dāng)a=1時(shí),f(x)在x=0處和x=1處同時(shí)取得最小值;當(dāng)1<a<4時(shí),f(x)在x=0處取得最小值.19.(本小題滿分13分)(2014安徽,理19)如圖,已知兩條拋物線e1:y2=2p1x(p1>0)和e2:y2=2p2x(p2>0),過原點(diǎn)o的兩條直線l1和l2,l1與e1,e2分別交于a1,a2兩點(diǎn),l2與e1,e2分別交于b1,b2兩點(diǎn).(1)證明:a1b1a2b2;(2)過o作直線l(異于l1,l2)與e1,e2分別交于c1,c2兩點(diǎn).記a1b1c1與a2b2c2的面積分別為

23、s1與s2,求s1s2的值.分析:(1)先將直線l1,l2的方程設(shè)出來,再分別與拋物線y2=2p1x和y2=2p2x聯(lián)立求出a1與a2的坐標(biāo),同理再求得b1,b2的坐標(biāo),利用向量這一工具,把a(bǔ)1b1與a2b2的坐標(biāo)求出,由向量共線(平行)條件知a1b1a2b2.(2)由(1)中的結(jié)論,得出b1c1b2c2,c1a1c2a2,進(jìn)而得出a1b1c1a2b2c2,以及a1b1c1與a2b2c2的相似比,再由相似三角形的面積比等于相似比的平方從而求解.(1)證明:設(shè)直線l1,l2的方程分別為y=k1x,y=k2x(k1,k20),則由y=k1x,y2=2p1x,得a12p1k12,2p1k1,由y=k

24、1x,y2=2p2x,得a22p2k12,2p2k1.同理可得b12p1k22,2p1k2,b22p2k22,2p2k2.所以a1b2=2p1k22-2p1k12,2p1k2-2p1k1=2p11k22-1k12,1k2-1k1.a2b2=2p2k22-2p2k12,2p2k2-2p2k1=2p21k22-1k12,1k2-1k1.故a1b1=p1p2a2b2,所以a1b1a2b2.(2)解:由(1)知a1b1a2b2,同理可得b1c1b2c2,c1a1c2a2.所以a1b1c1a2b2c2.因此s1s2=|a1b1|a2b2|2.又由(1)中的a1b1=p1p2a2b2知|a1b1|a2b2

25、|=p1p2.故s1s2=p12p22.20.(本小題滿分13分)(2014安徽,理20)如圖,四棱柱abcd-a1b1c1d1中,a1a底面abcd.四邊形abcd為梯形,adbc,且ad=2bc.過a1,c,d三點(diǎn)的平面記為,bb1與的交點(diǎn)為q.(1)證明:q為bb1的中點(diǎn);(2)求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比;(3)若aa1=4,cd=2,梯形abcd的面積為6,求平面與底面abcd所成二面角的大小.分析:(1)由面面平行判定定理結(jié)合題目中的條件,推出平面qbc平面a1ad,再由面面平行的性質(zhì)定理推出qca1d,再結(jié)合另外兩組對(duì)邊也對(duì)應(yīng)平行可知qbca1ad,從而得出q為bb

26、1的中點(diǎn).(2)先分別求出vq-a1ad與vq-abcd,則v下便為兩者之和,再由v上=va1b1c1d1-abcd-v下求出v上,從而求得v上v下的值.(3)用一般方法找出二面角的平面角為本題關(guān)鍵所在,通過相關(guān)運(yùn)算求得此平面角的某個(gè)三角函數(shù)值,從而得出該平面角.還可借助于空間向量這一工具,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量,利用兩個(gè)法向量與二面角的平面角的關(guān)系求出平面角.(1)證明:因?yàn)閎qaa1,bcad,bcbq=b,adaa1=a,所以平面qbc平面a1ad.從而平面a1cd與這兩個(gè)平面的交線相互平行,即qca1d.故qbc與a1ad的對(duì)應(yīng)邊相互平行,于是qb

27、ca1ad.所以bqbb1=bqaa1=bcad=12,即q為bb1的中點(diǎn).圖1(2)解:如圖1,連接qa,qd.設(shè)aa1=h,梯形abcd的高為d,四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為v上和v下,bc=a,則ad=2a.vq-a1ad=13·12·2a·h·d=13ahd,vq-abcd=13·a+2a2·d·12h=14ahd,所以v下=vq-a1ad+vq-abcd=712ahd,又va1b1c1d1-abcd=32ahd,所以v上=va1b1c1d1-abcd-v下=32ahd-712ahd=1112ahd.故v

28、上v下=117.(3)解法一:如圖1,在adc中,作aedc,垂足為e,連接a1e.又deaa1,且aa1ae=a,所以de平面aea1,于是dea1e.所以aea1為平面與底面abcd所成二面角的平面角.因?yàn)閎cad,ad=2bc,所以sadc=2sbca.又因?yàn)樘菪蝍bcd的面積為6,dc=2,所以sadc=4,ae=4.于是tanaea1=aa1ae=1,aea1=4.故平面與底面abcd所成二面角的大小為4.圖2解法二:如圖2,以d為原點(diǎn),da,dd1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)cda=.因?yàn)閟abcd=a+2a2·2sin =6,所以a=2sin.從而c(2

29、cos ,2sin ,0),a14sin,0,4,所以dc=(2cos ,2sin ,0),da1=4sin,0,4.設(shè)平面a1dc的法向量n=(x,y,1).由da1·n=4sinx+4=0,dc·n=2xcos+2ysin=0,得x=-sin ,y=cos .又因?yàn)槠矫鎍bcd的法向量m=(0,0,1),所以cos<n,m>=n·m|n|m|=22.故平面與底面abcd所成二面角的大小為4.21.(本小題滿分13分)(2014安徽,理21)設(shè)實(shí)數(shù)c>0,整數(shù)p>1,nn*.(1)證明:當(dāng)x>-1且x0時(shí),(1+x)p>1+p

30、x;(2)數(shù)列an滿足a1>c1p,an+1=p-1pan+cpan1-p,證明:an>an+1>c1p.分析:(1)考慮到欲證不等式與正整數(shù)p有關(guān),因此可采用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)有兩種思路.一種思路是先用數(shù)學(xué)歸納法證明an>c1p,再證明數(shù)列an是遞減數(shù)列,二者結(jié)合即可證得結(jié)論,其中在證an>c1p時(shí),要注意第(1)問結(jié)論的應(yīng)用和第(2)問中所給條件式的變形及應(yīng)用;另一種思路是構(gòu)造函數(shù)f(x)=p-1px+cpx1-p,然后利用導(dǎo)數(shù)證得f(x)在c1p,+)上單調(diào)遞增,從而可得f(x)>c1p,在此基礎(chǔ)上再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明an>an+1>c1p成立.(1)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)p=2時(shí),(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.假設(shè)p=k(k