2019-2020學年河南省中原名校上學期期末聯(lián)考高三數(shù)學理科試題 (2)

1、1 / 18 20192020 學年學年中原名校上中原名校上學學期期未聯(lián)考期期未聯(lián)考 高三數(shù)學（理）試題高三數(shù)學（理）試題 一、選擇題（本大題共一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分）分） 1.已知集合2|230ax xx=，|21xby y=+，則ab =（ ） a. b.(1,3 c.(0,3 d.(1,)+ 2.已知20191zi= +，則2zi=（ ） a.10 b.2 2 c.2 d.2 3.若1tan3=，則cos2=（ ） a.45 b.15 c.15 d.45 4.若直線1yx=+和曲線ln2yax=+相切，則實數(shù)a的值為（ ） a.1

2、2 b.1 c.2 d.32 5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 na中，ns是它的前n項和，若174a a =，且47522aa+=，則5s =（ ） a.29 b.30 c.31 d.32 6.函數(shù)|2 |( )lncosxf xx=的部分圖像大致為（ ） a. b. 2 / 18 c. d. 7.如圖所示，半徑為 1的圓o是正方形mnpq的內切圓，將一顆豆子隨機地扔到正方形mnpq內，用a表示事件“豆子落在圓o內”，b表示事件“豆子落在扇形oef（陰影部分）內”，則(|)p b a =（ ） a.4 b.14 c.16 d.18 8.我國古代科學家祖沖之兒子祖暅在實踐的基礎上提出了體積計算的

3、原理：“冪勢既同，則積不容異”（“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高），意思是兩個同高的幾何體，如在等高處截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所表示的幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（ ） a.12 b.8 c.122 d.122 3 / 18 9.設實數(shù)x，y滿足不等式組00152xyyxyx，(2,1)是目標函數(shù)zaxy= +取最大值的唯一最優(yōu)解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ） a.(0,1) b.(0,1 c.(, 2) d.(, 2 10.已知數(shù)列 na的前n項和為ns，且11a =，2(1)nnsann=+()*nn，則數(shù)列13nsn+的

4、前 10項的和是（ ） a.922 b.611 c.12 d.511 11.函數(shù)2log,0( )2 ,0 xx xf xx=，則函數(shù)2( )3( )8 ( )4g xfxf x=+的零點個數(shù)是（ ） a.5 b.4 c.3 d.6 12.已知圓1c：22(3)(2 2)1xy+=和焦點為f的拋物線2c：28yx=，n是1c上一點，m是2c上一點，當點m在1m時，|mfmn+取得最小值，當點m在2m時，|mfmn取得最大值，則12m m=（ ） a.2 2 b.3 2 c.4 2 d.17 二、填空題（本大題共二、填空題（本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分）分）

5、 13.“關注夕陽、愛老敬老”某馬拉松協(xié)會從 2013年開始每年向敬老院捐贈物資和現(xiàn)金.下表記錄了第x年（2013年是第一年）與捐贈的現(xiàn)金y（萬元）的對應數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了y關于x的線性回歸方程0.35ymx=+，則預測 2019 年捐贈的現(xiàn)金大約是_萬元. x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 4 / 18 14.某年級有 1000名學生，一次數(shù)學測試成績的分布為()2105,10xn，(95105)0.34px=，則該年級學生數(shù)學成績在 115 分以上的人數(shù)大約為_. 15.已知412(1)xaxx+的展開式中含3x的項的系數(shù)為 5，則a =_. 16.三棱錐pabc中，

6、點p到a，b，c三點的距離均為 8，papb，papc，過點p作po 平面abc，垂足為o，連接ao，此時6cos3pao=，則三棱錐pabc外接球的體積為_. 三、解答題（本大題共三、解答題（本大題共 6 小題，共小題，共 70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且3,sin3maa=.，(cos, )nc c=，bm n=. （1）求角a的大?。?（2）若3a =，求abc的周長l的取值范圍. 18.如圖四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，pbbc，pdcd，且paab=，e

7、為pd中點. （1）求證：pa 平面abcd； （2）求二面角abec的正弦值. 19.如圖在平面直角坐標系xoy中，橢圓c的中心在坐標原點o，其右焦點為(1,0)f，且點31,2在橢圓c上. 5 / 18 （1）求橢圓c的方程； （2）設橢圓的左、右頂點分別為a、b，m是橢圓上異于a，b的任意一點，直線mf交橢圓c于另一點n，直線mb交直線4x =于q點，求證：a，n，q三點在同一條直線上. 20.在貫徹中共中央、國務院關于精準扶貧政策的過程中，某單位在某市定點幫扶甲、乙兩村各 50戶貧困戶.為了做到精準幫扶，工作組對這 100戶村民的年收入情況、勞動能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患

8、病情況等進行調查.并把調查結果轉化為各戶的貧困指標x.將指標x按照)0,0.2，)0.2,0.4，)0.4,0.6，)0.6,0.8，0.8,1.0分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定若00.6x，則認定該戶為“絕對貧困戶”，否則認定該戶為“相對貧困戶”，且當0.81.0 x時，認定該戶為“低收入戶”；當00.2x時，認定該戶為“亟待幫助戶”.已知此次調查中甲村的“絕對貧困戶”占甲村貧困戶的 24%. （1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認為絕對貧困戶數(shù)與村落有關： 甲村 乙村 總計 絕對貧困戶 相對貧困戶 總計 6 / 18 （2）某干部決定在這兩村貧困指標處于)0,0

9、,4的貧困戶中，隨機選取 3戶進行幫扶，用x表示所選 3 戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù)，求x的分布列和數(shù)學期望ex. 附：22()()()()()n adbckab cd ac bd=+，其中nabcd=+. ()20p kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 21.已知函數(shù)2( )ln2f xxxaxx=+，ar. （1）若( )f x在(0,)+內單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍； （2）若函數(shù)( )f x有兩個極值點分別為1x，2x，證明：1212xxa+. 【選考題】【選考題】 請考生在第請考生在第 2223 題中任選一題作答，如果

10、多做，則按所做的第一題計分題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分. 22.在直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為1cos1sinxtyt= += +（t為參數(shù)，0），以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c的極坐標方程為(1 cos2 )8cos=. （1）判斷直線l與曲線c的公共點的個數(shù)，并說明理由； （2）設直線l與曲線c交于不同的兩點a，b，點(1, 1)p，若114|3papb=，求tan的值. 23.已知函數(shù)( ) |1|f xxax=+. （1）當2a =時，求不等式( )8f xx+的解集； 7 / 18 （2）若關于x的不等式( ) |5|f xx的解集包含

11、0,2，求實數(shù)a的取值范圍. 中原名校中原名校 20192020學年上期期末聯(lián)考學年上期期末聯(lián)考 高三數(shù)學（理）參考答案高三數(shù)學（理）參考答案 一、選擇題（本大題共一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分）分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 b a d b c b b a c d a d 1.【解析】由已知解得1,3a= ，(1,)b =+，所以(1,3ab =. 2.【解析】由201911zii= += ，所以22|2 | |1 3 |1310zii=+=. 3.【解析】222222cossincos2cossinc

12、ossin=+，分子分母同時除以2cos，即得： 22111tan49cos211tan519=+. 4.【解析】設切點為()00, ln2x ax +，因為ayx =，故切線的斜率01akx=，所以0 xa=， 所以ln21aaa+=+，因為0a ，故1a =. 5.【解析】因為174a a =，所以244a =，0na ，42a =.因為47522aa+=， 所以714a =.所以318q =，所以12q =，116a =，所以55116 1231112s=. 6.【解析】因為|2()|()lncos()( )xfxxf x=，所以( )f x為偶函數(shù)，排除 a，d； 當2x =時，4(2

13、)lncos20f=，排除 c. 8 / 18 7.【解析】如圖所示，半徑為 1 的圓o是正方形mnpq的內切圓， 將一顆豆子隨機地扔到正方形mnpq內，用a表示事件“豆子落在圓o內”，b表示事件“豆 子落在扇形oef（陰影部分）內”，則221( )24p a=，22114()216p ab=， ()116(|)( )44p abp b ap a=. 8.【解析】根據(jù)該幾何體的三視圖，可得該幾何體表示左邊是一個棱長為 2的正方體，右邊 是一個長為 1，寬和高為 2 的長方體截去一個底面半徑為 1，高為 2的半圓柱，所以幾何體 的體積為212 2 22 2 112122v= + =.故選 a.

14、9.【解析】如圖，作出不等式組對應的平面區(qū)域，為陰影部分oabc.則 (1,0)a，(2,1)b，(0,5)c，由zyax=得yaxz=+，平移直線yaxz=+，則直線的截距 最大時，z也最大.當0a =時，yz=在c處的截距最大，此時不滿足條件；當0a 時， 直線yaxz=+，在c處的截距最大，此時不滿足條件；當0a 時，直線yaxz=+，要 使(2,1)是目標函數(shù)zyax=取最大值的唯一最優(yōu)解，則yaxz=+在b處的截距最大，此 時目標函數(shù)的斜率a須小于直線bc的斜率2，即2a . 9 / 18 10.【解析】由2(1)nnsann=+()*nn得2 (1)nnsnan n=.則當2n 時

15、， 11(1)4(1)nnnnnassnanan=，整理得14nnaa=， 所以 na是公差為 4 的等差數(shù)列，又11a =，所以43nan=*()nn， 從而()1233222 (1)2nnn aasnnnnn n+=+=+=+， 所以111 1132 (1)21nsnn nnn=+， 故數(shù)列13nsn+的前 10 項的和10115121111s=. 11.【解析】函數(shù)2( )3( )8 ( )43 ( )2( )2g xfxf xf xf x=+=的零點，即方程 2( )3f x =和( )2f x =的根，函數(shù)2log,0,( )2 ,0 xx xf xx=的圖象如圖所示： 由圖可得方程

16、2( )3f x =和( )2f x =共有 5個根，即函數(shù)2( )3( )8 ( )4g xfxf x=+有 5 個零點. 12.【解析】由已知得：()13,2 2c，(2,0)f，記2c的準線為l，如圖，過點m作l的垂線， 垂足為d，過點1c作l的垂線，垂中為1d，則 10 / 18 111| | |11mfmnmdmnmdmcc d+=+ ，當且僅當m，1c，d三點共 線，且點n在線段1mc上時等號成立，此時|mfmn+取得最小值，則點1m的坐標為 ()1,2 2，()111| |1|1 | 1mfmnmfmcmfmcfc=+ +，當且僅當點 m為線段1fc的延長線與拋物線的交點，且點n

17、在線段1mc上時等號成立，此時 |mfmn取得最大值，又直線1fc的方程為2 2(2)yx=，由22 2(2)8yxyx=，解 得12 2xy= ，或44 2xy=，所以2m的坐標為()4,4 2， 所以2212(4 1)(4 22 2)17m m=+=. 二、填空題二、填空題 13.5.25 14.160 15.2 16.256 3 13.【解析】由已知得樣本點的中心點的坐標為(4.5,3.5)，代入0.35ymx=+， 得3.54.50.35m=+，即0.7m =，所以0.70.35yx=+，取7x =，得 0.7 70.355.25y = +=，預測 2019年捐贈的現(xiàn)金大約是 5.25

18、 萬元. 14.【解析】考試的成績x服從正態(tài)分布()2105,10n，考試的成績x關于105x =對 11 / 18 稱，(95105)0.34px=，1(115)(1 0.68)0.162p x =，該班數(shù)學成績在 115分以上 的人數(shù)為0.16 1000160=. 15.【解析】由題意知原式展開為44412(1)(1)(1)xxxaxx+，所以 412(1)xaxx+的展開式中含3x的項為224334412()()()x cxxacxx+， 即3(134 )a x，由已知條件知1345a=，解得2a =. 16.【解析】因為papb，papc，pbpcp=，故pa 平面pbc， 因為8pa

19、pbpc=，故8 2abac=，6cos3papaoad=， 33 84 666paad=，則224 2bdabad=.pa 平面pbc， bc 平面pbc，bcpa.po 平面abc，bc 平面abc，bcpo. papop=，bc 平面pao，pd 平面pao，pdbc，8pbpc=， d為bc的中點，28 2bcbd=，222pbpcbc+=. 故pcpb，構造正方體模型可知，四面體pabc的外接球半徑 2224 32papbpcr+=，所以三棱錐pabc外接球的體積為 ()344 3256 33v=. 12 / 18 三、解答題（本大題共三、解答題（本大題共 6 小題，共小題，共 70

20、分）分） 17.【解析】 （1）由題意3,sin3maa=，(cos, )nc c=，bm n=. 所以3cossin3bacca=+，由正弦定理，可得3sinsincossinsin3bacca=+， 因為()bac=+，所以sinsin()sincoscossinbacacac=+=+， 又由(0, )c，則sin0c ，整理得tan3a=， 又因為(0, )a，所以3a=， （2）由（1）和余弦定理2222cosabcbca=+， 則2222232cos3bcbcbcbc=+=+， 即229bcbc+=，整理得2()39bcbc+=， 又由22bcbc+（當且僅當3bc=時等號成立） 從

21、而22219()3()24bcbcbc+=+，可得6bc+， 又3bca+=，36bc+，從而周長(6,9l. 18.【解析】 （1）證明：底面abcd為正方形，bcab， 又bcpb，abpbb=，bc 平面pab，bcpa. 同理cdpa，bccdc=，pa 平面abcd. 13 / 18 （2）如圖，分別以ab，ad，ap所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系axyz， 不妨設正方形的邊長為 2. 則(0,0,0)a，(2,2,0)c，(0,1,1)e，(2,0,0)b，則(0,1,1)ae =，(2,0,0)ab =， 設( , , )mx y z=為平面abe的一個法向量，

22、則020n aeyzn abx=+=，令1y = ，1z =，得(0, 1,1)m =. 同理，可得平面bce的一個法向量(1,0,2)n =， 故210cos,525mmmnnn=. 所以二面角abec的正弦值為155. 19.【解析】 （1）法一：設橢圓c的方程為22221xyab+=（0ab）， 一個焦點坐標為(1,0)f，另一個焦點坐標為( 1,0)， 由橢圓定義可知2222332(1 1)0(1 1)0422a=+=， 14 / 18 2a =，2223bac=，橢圓c的方程為22143xy+=. 法二：不妨設橢圓c的方程為221xymn+=（0mn）， 一個焦點坐標為(1,0)f，

23、1mn=， 又點31,2p在橢圓c上，1914mn+=， 聯(lián)立方程，解得4m =，3n =，橢圓c的方程為22143xy+=. （2）設()11,m x y，()22,n xy，直線mn的方程為1xmy=+， 由方程組221,1,43xmyxy=+=消去x，并整理得：()2234690mymy+=， ()22(6 )36 340mm =+，122634myym+= +，122934y ym= +， 直線bm的方程可表示為11(2)2yyxx=， 將此方程與直線4x =聯(lián)立，可求得點q的坐標為1124,2yx， ()222,anxy=+，1126,2yaqx= ()()()21121221162

24、2226222yxyxyyxxx+= ()()()2112161221212ymyymymy+=+ 15 / 18 ()12121461my yyymy+=2219646343401mmmmmy+=， 所以/anaq，又向量an和aq有公共點a， 故a，n，q三點在同一條直線上. 20.【解析】 （1）由題意可知，甲村中“絕對貧困戶”有50 0.2412=（戶）， 甲、乙兩村的絕對貧困戶有(0.250.500.75) 0.2 10030+=（戶），可得出如下列聯(lián)表： 甲村 乙村 總計 絕對貧困戶 12 18 30 相對貧困戶 38 32 70 總計 50 50 100 22100 (12 32

25、 18 38)122.70630 70 50 507k=. 故沒有 90%的把握認為絕對貧困戶數(shù)與村落有關. （2）貧困指標在)0,0.4的貧困戶共有(0.250.5) 0.2 10015+=（戶）， “亟待幫助戶”共有0.25 0.2 1005=（戶），依題意x的可能值為 0，1，2，3， 31031524(0)91cp xc=，2110531545(1)91c cp xc=， 1210531520(2)91c cp xc=，353152(3)91cp xc=， 則x的分布列為： 16 / 18 x 0 1 2 3 p 2491 4591 2091 291 故2445202012319191

26、9191ex = + + + =. 21.【解析】（1）因為2( )ln2f xxxaxx=+，0 x ，所以( )ln24fxxax=+. ( )f x在(0,)+內單調遞減，( )ln240fxxax=+在(0,)+內恒成立， 即ln24xaxx+在(0,)x+上恒成立， 令ln2( )xg xxx=+，則21 ln( )xg xx =， 當10 xe時，( )0g x，即( )g x在10,e內為增函數(shù)； 當1xe時，( )0g x，即( )g x在1,e+內為減函數(shù). 所以( )g x的最大值為1gee=，所以4ae，所以4ea ，則,4ea+. （2）因為函數(shù)( )f x有兩個極值點分別為1x，2x， 則( )ln240fxxax=+=在(0,)+內有兩根1x，2x， 則1122ln240ln240 xaxxax+=+=，兩式相減，得()1212lnln4xxa xx=+. 不妨設120 xx， 當0a 時，1212xxa+恒成立； 當0a 時，要證明1212xxa+，只需證明()()12