2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(福建卷)理

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷)數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)第卷(選擇題共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014福建,理1)復(fù)數(shù)z=(3-2i)i的共軛復(fù)數(shù)z等于().a.-2-3ib.-2+3ic.2-3id.2+3i答案:c解析:因?yàn)閦=(3-2i)i=3i-2i2=2+3i,所以z=2-3i.故選c.2.(2014福建,理2)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是().a.圓柱b.圓錐c.四面體d.三棱柱答案:a解析:因?yàn)閳A錐、四面體、三棱柱的正視圖均可以是三角形,而圓柱無論從哪個(gè)

2、方向看均不可能是三角形,所以選a.3.(2014福建,理3)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若a1=2,s3=12,則a6等于().a.8b.10c.12d.14答案:c解析:因?yàn)閟3=3a1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故選c.4.(2014福建,理4)若函數(shù)y=logax(a>0,且a1)的圖象如圖所示,則下列函數(shù)圖象正確的是().答案:b解析:由圖象可知loga3=1,所以a=3.a選項(xiàng),y=3-x=13x為指數(shù)函數(shù),在r上單調(diào)遞減,故a不正確.b選項(xiàng),y=x3為冪函

3、數(shù),圖象正確.c選項(xiàng),y=(-x)3=-x3,其圖象和b選項(xiàng)中y=x3的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,故c不正確.d選項(xiàng),y=log3(-x),其圖象與y=log3x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故d選項(xiàng)不正確.綜上,可知選b.5.(2014福建,理5)閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的s的值等于().a.18b.20c.21d.40答案:b解析:該程序框圖為循環(huán)結(jié)構(gòu),由s=0,n=1得s=0+21+1=3,n=1+1=2,判斷s=315不成立,執(zhí)行第二次循環(huán),s=3+22+2=9,n=2+1=3,判斷s=915不成立,執(zhí)行第三次循環(huán),s=9+23+3=20,n=3+1=4,判斷s=2015成立,輸出s

4、=20.故選b.6.(2014福建,理6)直線l:y=kx+1與圓o:x2+y2=1相交于a,b兩點(diǎn),則“k=1”是“oab的面積為12”的().a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分又不必要條件答案:a解析:k=1時(shí),圖象如圖(1),此時(shí)oab的面積s=12×1×1=12,所以k=1是oab面積為12的充分條件;而當(dāng)oab面積為12時(shí),直線l有l(wèi)1或l2兩種可能,如圖(2),k=1或k=-1.綜上,可知選a.圖(1)圖(2)7.(2014福建,理7)已知函數(shù)f(x)=x2+1,x>0,cosx,x0,則下列結(jié)論正確的是().a.f(x)

5、是偶函數(shù)b.f(x)是增函數(shù)c.f(x)是周期函數(shù)d.f(x)的值域?yàn)?1,+)答案:d解析:由題意,可得函數(shù)圖象如下:所以f(x)不是偶函數(shù),不是增函數(shù),不是周期函數(shù),其值域?yàn)?1,+).故選d.8.(2014福建,理8)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是().a.e1=(0,0),e2=(1,2)b.e1=(-1,2),e2=(5,-2)c.e1=(3,5),e2=(6,10)d.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案:b解析:由平面向量基本定理可知,平面內(nèi)任意一個(gè)向量可用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示,a中e1=0·e2,b中e1,e2為兩個(gè)不共線向量,c中

6、e2=2e1,d中e2=-e1.故選b.9.(2014福建,理9)設(shè)p,q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓x210+y2=1上的點(diǎn),則p,q兩點(diǎn)間的最大距離是().a.52b.46+2c.7+2d.62答案:d解析:設(shè)q(x,y),則該點(diǎn)到圓心的距離d=(x-0)2+(y-6)2=x2+(y-6)2=10(1-y2)+(y-6)2=-9y2-12y+46,y-1,1,當(dāng)y=-122×(-9)=-23時(shí),dmax=-9×-232-12×-23+46=50=52.圓上點(diǎn)p和橢圓上點(diǎn)q的距離的最大值為dmax+r=52+2=62.故選d.10.(2014福建,理10

7、)用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是().a.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5b.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5c.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)d

8、.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案:a解析:本題可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5個(gè)紅球,有1+a+a2+a3+a4+a5種取法;第二步,取0或5個(gè)藍(lán)球,有1+b5種取法;第三步,取5個(gè)有區(qū)別的黑球,有(1+c)5種取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5種取法.故選a.第卷(非選擇題共100分)二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11.(2014福建,理11)若變量x,y滿足約束條件x-y+10,x+2y-80,x0,則z=3x+y的最小值為. 答案:1解析:由線性約束

9、條件畫出可行域如下圖陰影部分所示.由線性目標(biāo)函數(shù)z=3x+y,得y=-3x+z,可知其過a(0,1)時(shí)z取最小值,故zmin=3×0+1=1.故答案為1.12.(2014福建,理12)在abc中,a=60°,ac=4,bc=23,則abc的面積等于. 答案:23解析:由題意及余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=c2+16-122×4×c=12,解得c=2.所以s=12bcsin a=12×4×2×sin 60°=23.故答案為23.13.(2014福建,理13)要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1

10、m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是(單位:元). 答案:160解析:設(shè)池底長x m,寬y m,則xy=4,所以y=4x,則總造價(jià)為:f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+80x+20x=20x+4x+80,x(0,+).所以f(x)20×2x·4x+80=160,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時(shí),等號(hào)成立.所以最低總造價(jià)是160元.14.(2014福建,理14)如圖,在邊長為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為. 答案

11、:2e2解析:根據(jù)題意y=ex與y=ln x互為反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,所以兩個(gè)陰影部分的面積相等.聯(lián)立y=e與y=ex得x=1,所以陰影部分的面積s=201 (e-ex)dx=2(ex-ex)|01=2(e-e)-(0-1)=2,由幾何概型可知所求概率為2e2.故答案為2e2.15.(2014福建,理15)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四個(gè)關(guān)系:a=1;b1;c=2;d4有且只有一個(gè)是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是. 答案:6解析:根據(jù)題意可分四種情況:(1)若正確,則a=1,b=1,c2,d=4,符合條件的有序數(shù)組有0個(gè);(2)若正確,則

12、a1,b1,c2,d=4,符合條件的有序數(shù)組為(2,3,1,4)和(3,2,1,4);(3)若正確,則a1,b=1,c=2,d=4,符合條件的有序數(shù)組為(3,1,2,4);(4)若正確,則a1,b=1,c2,d4,符合條件的有序數(shù)組為(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2).所以共有6個(gè).故答案為6.三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分13分)(2014福建,理16)已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-12.(1)若0<<2,且sin =22,求f()的值;(2)求函數(shù)f(x)的最小正

13、周期及單調(diào)遞增區(qū)間.分析:首先結(jié)合已知角的范圍,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及已知的正弦值,求出余弦值,注意符號(hào)的判斷,然后代入已知的函數(shù)關(guān)系式,得出結(jié)果.在第(2)問中,結(jié)合式子特點(diǎn),利用二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式以及輔助角公式,得出最終的目標(biāo)y=asin(x+)+b形式,運(yùn)用t=2得出周期,再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)求得單調(diào)區(qū)間,此時(shí)要注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.另外,也可先化簡再分別求解.解法一:(1)因?yàn)?<<2,sin =22,所以cos =22.所以f()=2222+22-12=12.(2)因?yàn)?f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin

14、 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+4,所以t=22=.由2k-22x+42k+2,kz,得k-38xk+8,kz.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-38,k+8,kz.解法二:f(x)=sin xcos x+cos2x-12=12sin 2x+1+cos2x2-12=12sin 2x+12cos 2x=22sin2x+4.(1)因?yàn)?<<2,sin =22,所以=4,從而f()=22sin2+4=22sin34=12.(2)t=22=.由2k-22x+42k+2,kz,得k-38xk+8,kz.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-38,k

15、+8,kz.17.(本小題滿分13分)(2014福建,理17)在平面四邊形abcd中,ab=bd=cd=1,abbd,cdbd.將abd沿bd折起,使得平面abd平面bcd,如圖.(1)求證:abcd;(2)若m為ad中點(diǎn),求直線ad與平面mbc所成角的正弦值.分析:在第(1)問中,考查線線垂直問題,要尋求線線垂直的條件,可以是線面垂直或面面垂直.結(jié)合具體條件,利用面面垂直去證明線線垂直,只需在其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于交線就可以了.在第(2)問中,欲求直線與平面所成角的正弦值,自然聯(lián)想到借助于向量解決,建立合適的坐標(biāo)系之后,求得平面的法向量n,再在直線上確定一個(gè)方向向量,求得這兩個(gè)向量夾

16、角的余弦值,其絕對(duì)值即為線面角的正弦值.解:(1)平面abd平面bcd,平面abd平面bcd=bd,ab平面abd,abbd,ab平面bcd.又cd平面bcd,abcd.(2)過點(diǎn)b在平面bcd內(nèi)作bebd,如圖.由(1)知ab平面bcd,be平面bcd,bd平面bcd,abbe,abbd.以b為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以be,bd,ba的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意,得b(0,0,0),c(1,1,0),d(0,1,0),a(0,0,1),m0,12,12,則bc=(1,1,0),bm=0,12,12,ad=(0,1,-1).設(shè)平面mbc的法向量n=(x0,y0,z0),則

17、n·bc=0,n·bm=0,即x0+y0=0,12y0+12z0=0,取z0=1,得平面mbc的一個(gè)法向量n=(1,-1,1).設(shè)直線ad與平面mbc所成角為,則sin =|cos<n,ad>|=|n·ad|n|ad|=63,即直線ad與平面mbc所成角的正弦值為63.18.(本小題滿分13分)(2014福建,理18)為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為

18、10元,求:顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率;顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)商場對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說明理由.分析:在第(1)問中,主要考查古典概型概率問題,60元的組成為50+10,而摸到每個(gè)球都是等可能的,所以只要代入公式即可求得獲得60元獎(jiǎng)勵(lì)的概率.而要求得分布列及期望值,依然利用古典概型,把x的所有取值對(duì)應(yīng)概率準(zhǔn)確求出,再利用期望公式求出即可.(2

19、)先根據(jù)兩種方案中小球的面值估算期望值為60的各種可能:(10,10,50,50)和(20,20,40,40),再利用古典概型求出兩種可能性方案對(duì)應(yīng)的分布列和期望值進(jìn)行驗(yàn)證;若兩者的期望值相同,則需求出它的方差,利用方差大小確定更為合適的設(shè)計(jì)方案.解:(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為x.依題意,得p(x=60)=c11c31c42=12,即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為12.依題意,得x的所有可能取值為20,60.p(x=60)=12,p(x=20)=c32c42=12,即x的分布列為x2060p0.50.5所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為e(x)=20×0.5+60×0.5=40

20、(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元.所以,先尋找期望為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況,如果選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為60元;如果選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析:對(duì)于方案1,即方案(10,10

21、,50,50),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為x1,則x1的分布列為x12060100p162316x1的期望為e(x1)=20×16+60×23+100×16=60,x1的方差為d(x1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 6003.對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為x2,則x2的分布列為x2406080p162316x2的期望為e(x2)=40×16+60×23+80×16=60,x2的方差為d(x2)=(40-60)2×16

22、+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小,所以應(yīng)該選擇方案2.19.(本小題滿分13分)(2014福建,理19)已知雙曲線e:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別為l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求雙曲線e的離心率;(2)如圖,o為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交直線l1,l2于a,b兩點(diǎn)(a,b分別在第一、四象限),且oab的面積恒為8.試探究:是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線e?若存在,求出雙曲線e的方程;若不存在,說明理由.分析:在第(

23、1)問中,已知漸近線方程,即a與b的關(guān)系,再結(jié)合雙曲線本身a,b,c的關(guān)系及離心率e=ca,便可求得離心率.(2)首先根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線方程,然后根據(jù)動(dòng)直線l的斜率是否存在進(jìn)行分類討論.顯然斜率不存在時(shí),由直線l和雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可知其方程為x=a,此時(shí)只需檢驗(yàn)oab的面積是否為8即可;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+m,首先由oab的面積為8求出k,m的關(guān)系式,然后根據(jù)直線和圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),利用判別式的符號(hào)判斷其存在性.解法一:(1)因?yàn)殡p曲線e的漸近線分別為y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c2-a2a=2,故c=5a,從而雙曲線e的離心率e=ca=

24、5.(2)由(1)知,雙曲線e的方程為x2a2-y24a2=1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)c.當(dāng)lx軸時(shí),若直線l與雙曲線e有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則|oc|=a,|ab|=4a,又因?yàn)閛ab的面積為8,所以12|oc|·|ab|=8,因此12a·4a=8,解得a=2,此時(shí)雙曲線e的方程為x24-y216=1.若存在滿足條件的雙曲線e,則e的方程只能為x24-y216=1.以下證明:當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),雙曲線e:x24-y216=1也滿足條件.設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k<-2,則c-mk,0.記a(x1,y1),b(x2,y2).由y=kx+

25、m,y=2x得y1=2m2-k,同理得y2=2m2+k,由soab=12|oc|·|y1-y2|得,12-mk·2m2-k-2m2+k=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由y=kx+m,x24-y216=1得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因?yàn)?-k2<0,所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因?yàn)閙2=4(k2-4),所以=0,即l與雙曲線e有且只有一個(gè)公共點(diǎn).因此,存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線e,且e的方程為x24-y216=1.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,雙曲線e的方程為x2

26、a2-y24a2=1.設(shè)直線l的方程為x=my+t,a(x1,y1),b(x2,y2).依題意得-12<m<12.由x=my+t,y=2x得y1=2t1-2m,同理得y2=-2t1+2m.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)c,則c(t,0).由soab=12|oc|·|y1-y2|=8,得12|t|·2t1-2m+2t1+2m=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).由x=my+t,x2a2-y24a2=1得,(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因?yàn)?m2-1<0,直線l與雙曲線e有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)=64m2t2-16(4m2-1)(

27、t2-a2)=0,即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2=4,因此,存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線e,且e的方程為x24-y216=1.解法三:(1)同解法一.(2)當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,a(x1,y1),b(x2,y2).依題意得k>2或k<-2.由y=kx+m,4x2-y2=0得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因?yàn)?-k2<0,>0,所以x1x2=-m24-k2,又因?yàn)閛ab的面積為8,所以12|oa|·|ob|·sinaob

28、=8,又易知sinaob=45,所以25x12+y12·x22+y22=8,化簡得x1x2=4.所以-m24-k2=4,即m2=4(k2-4).由(1)得雙曲線e的方程為x2a2-y24a2=1,由y=kx+m,x2a2-y24a2=1得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因?yàn)?-k2<0,直線l與雙曲線e有且只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以雙曲線e的方程為x24-y216=1.當(dāng)lx軸時(shí),由oab的面積等于8可得l:x=2,又易知l:x=2與雙曲線e:x24-y216=1有且

29、只有一個(gè)公共點(diǎn).綜上所述,存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線e,且e的方程為x24-y216=1.20.(本小題滿分14分)(2014福建,理20)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)a,曲線y=f(x)在點(diǎn)a處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),x2<ex;(3)證明:對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0,使得當(dāng)x(x0,+)時(shí),恒有x2<cex.分析:(1)由題意可知點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為0,先求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),則曲線y=f(x)在點(diǎn)a處的切線斜率為f'(0),由f'(0)=-1可求

30、得a的值.再利用求極值的步驟求解即可.對(duì)于(2),常對(duì)此類問題構(gòu)造新函數(shù)g(x)=ex-x2,只需g(x)>0在(0,+)上恒成立即可,利用導(dǎo)數(shù)得到g(x)的單調(diào)性,從而得證.(3)根據(jù)c的值與1的大小關(guān)系分類進(jìn)行證明.當(dāng)c1時(shí),可直接根據(jù)(2)中的結(jié)論得證;當(dāng)0<c<1時(shí),證明的關(guān)鍵是找出x0.先將不等式轉(zhuǎn)化為ex>1cx2,利用對(duì)數(shù)的性質(zhì),進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為x>ln1cx2=2ln x-ln c,即可構(gòu)造函數(shù)h(x)=x-ln x+ln c,然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,在該函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)找出一個(gè)值x0,使h(x0)>0即可得證.也可結(jié)合(2)的結(jié)論,合理利用ex

31、>x2將x2中的一個(gè)x賦值,利用不等式的傳遞性來解決問題.解法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln 2.當(dāng)x<ln 2時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>ln 2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=ln 2時(shí),f(x)取得極小值,且極小值為f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)無極大值.(2)令g(x)=ex-x2,則g'(x)=e

32、x-2x.由(1)得g'(x)=f(x)f(ln 2)>0,故g(x)在r上單調(diào)遞增,又g(0)=1>0,因此,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>g(0)>0,即x2<ex.(3)若c1,則excex.又由(2)知,當(dāng)x>0時(shí),x2<ex.所以當(dāng)x>0時(shí),x2<cex.取x0=0,當(dāng)x(x0,+)時(shí),恒有x2<cex.若0<c<1,令k=1c>1,要使不等式x2<cex成立,只要ex>kx2成立.而要使ex>kx2成立,則只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.令h(

33、x)=x-2ln x-ln k,則h'(x)=1-2x=x-2x.所以當(dāng)x>2時(shí),h'(x)>0,h(x)在(2,+)內(nèi)單調(diào)遞增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=16c,當(dāng)x(x0,+)時(shí),恒有x2<cex.綜上,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)x(x0,+)時(shí),恒有x2<cex.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)對(duì)

34、任意給定的正數(shù)c,取x0=4c,由(2)知,當(dāng)x>0時(shí),ex>x2,所以ex=ex2·ex2>x22x22,當(dāng)x>x0時(shí),ex>x22x22>4cx22=1cx2,因此,對(duì)任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)x(x0,+)時(shí),恒有x2<cex.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)首先證明當(dāng)x(0,+)時(shí),恒有13x3<ex.證明如下:令h(x)=13x3-ex,則h'(x)=x2-ex.由(2)知,當(dāng)x>0時(shí),x2<ex,從而h'(x)<0,h(x)在(0,+)單調(diào)遞減,所以h(x)<h(0)=-1<0,即13x3<ex.取x0=3c,當(dāng)x>x0時(shí),有1cx2<13x3<