高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解-第9章-無(wú)窮級(jí)數(shù)(共21頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí)題9-11. 判定下列級(jí)數(shù)的收斂性：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) 解：（1），則，級(jí)數(shù)發(fā)散。（2）由于，因此原級(jí)數(shù)是調(diào)和級(jí)數(shù)去掉前面三項(xiàng)所得的級(jí)數(shù)，而在一個(gè)級(jí)數(shù)中增加或刪去有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。（3），則，級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）因而不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。（5）級(jí)數(shù)通項(xiàng)為，由于，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。（6）級(jí)數(shù)通項(xiàng)為，而不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。2. 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性，若收斂則求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）因?yàn)樗栽摷?jí)數(shù)的和為即（2）由于，則所以該級(jí)數(shù)的和為即（3）級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為，由

2、于，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。（4）由于因而不存在，原級(jí)數(shù)發(fā)散。習(xí)題9-21. 判定下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：(1) ; (2) ； (3) (a0); (4) ；(5) ； (6) ; (7) ; (8) ；(9) ； (10) ; (11) ; (12) 解：（1）由于，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（2）因?yàn)?，而p-級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。（3）若，通項(xiàng)，級(jí)數(shù)顯然發(fā)散；若，有，不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，級(jí)數(shù)發(fā)散；若，有，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（4）因?yàn)椋鴓-級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。（5）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（6

3、）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散。（7）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。（8）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。（9）通項(xiàng)，則，所以由比值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。（10）通項(xiàng)，則，所以由根值判別法知，級(jí)數(shù)收斂。（11）由于，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法推論知級(jí)數(shù)收斂。（12）對(duì)于級(jí)數(shù)，因?yàn)?，由比值判別法知級(jí)數(shù)收斂；由于，而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂。習(xí)題9-31. 判定下列級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對(duì)收斂還是條件收斂：(1) ; (2) ; (3) ;() ; (5) ； (6) ;(7) ; (8) (0x)解：（1）這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，,且，由萊布尼茲判別

4、法知收斂但發(fā)散，故條件收斂。（2）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，故絕對(duì)收斂。（3）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，故絕對(duì)收斂。（4）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，故絕對(duì)收斂。（5）由于級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，所以絕對(duì)收斂。（6）當(dāng)n充分大時(shí)，除去級(jí)數(shù)前面有限項(xiàng)，這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，,且有，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散（），故條件收斂。（7）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以收斂，故絕對(duì)收斂。（8）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故得到所以級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列當(dāng)時(shí)有界，而數(shù)列單調(diào)遞減趨于零，由狄利克雷判別法推得級(jí)數(shù)收斂。2. 設(shè)級(jí)數(shù)及都收斂，證明級(jí)數(shù)及也都收斂證：由于級(jí)數(shù)及都收斂，則級(jí)數(shù)收斂。因?yàn)?，所以由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂，即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。

5、習(xí)題9-41. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因?yàn)?，故收斂半徑?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)顯然發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤＃?）因?yàn)?，故收斂半徑。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由于，即，級(jí)數(shù)不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，因此原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，同樣不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）因?yàn)椋适諗堪霃?。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）令，則，于是，當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；故原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此

6、時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）因?yàn)?，故收斂半徑。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）因?yàn)?，故收斂半徑。?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)原級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：(1) ； (2) 解：（1）所給冪級(jí)數(shù)收斂半徑為，收斂區(qū)間為。因?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)成立，則所以。（2）3. 求下列級(jí)數(shù)的和：(1) ； (2) 解：（1）由于則。所以（2）因?yàn)樗浴Ａ?xí)題9-51. 將下列函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ;(4) ； (5) (6)解：（1）；（2）；（3）；

7、（4）；（5）（6）因?yàn)?；而所?. 將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開成冪級(jí)數(shù)，并求其收斂區(qū)間：(1) ，在x0； (2) cosx, 在x0=;(3) ，在x0=1; (4) ， 在x0解：（1）；（2）（3）（4）因?yàn)椋凰粤?xí)題9-61利用冪級(jí)數(shù)的展開式求下列各數(shù)的近似值：(1) (誤差不超過0.0001)； (2) ln3 (誤差不超過10-4)；(3) (誤差不超過10-5).解：（1）由二項(xiàng)展開式，取可得.取前兩項(xiàng)的和作為的近似值，其誤差為故取近似值為（2）由于.令, 解出， 以代入上面的展開式, 得，取前六項(xiàng)作為的近似值，則誤差為所以。（3）由于；則，取前兩項(xiàng)的和作為的近似值，其誤差為，所

8、以。2. 計(jì)算的近似值，精確到10. 解：由于，則取前三項(xiàng)的和作為近似值，則其誤差為，故所求近似值為。3假定銀行的年存款利率為 5%，若以年復(fù)利計(jì)算利息，某公司應(yīng)在銀行中一次存入多少資金？才能保證從存入之日起，以后每年能從銀行提取300萬(wàn)元作為職工的福利直至永遠(yuǎn). 解： 第一次福利發(fā)放在創(chuàng)立之日，第一次所需要籌集的資金(單位：百萬(wàn)元)=3；第二次福利發(fā)放在一年后，第二次所需要籌集的資金(單位：百萬(wàn)元) ；第三次福利發(fā)放在二年后， 第三次所需要籌集的資金(單位：百萬(wàn)元) ；一直延續(xù)下去，則總所需要籌集的資金(單位：百萬(wàn)元)=這是一個(gè)公比為的等比級(jí)數(shù)，收斂于。因此，以年復(fù)利計(jì)算利息時(shí)，該公司需要在

9、銀行中一次存入6300萬(wàn)元資金。復(fù)習(xí)題9（A）1. 判別下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散；（2）由于，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）由于，而級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂；（4）因?yàn)?，所以原?jí)數(shù)收斂。2. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，試證明級(jí)數(shù)也收斂.證：由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件有，那么存在充分大的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，成立，于是當(dāng)時(shí)，。則由比較判別法的推論，可知級(jí)數(shù)也收斂。同理，可證得級(jí)數(shù)也收斂。由于，而級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。因?yàn)椋仁阶筮吶齻€(gè)級(jí)數(shù)都收斂，所以級(jí)數(shù)收斂。3. 判別下列級(jí)數(shù):是絕對(duì)收斂?條件收斂?還

10、是發(fā)散？（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，,且，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散，故條件收斂。（2）因?yàn)椋栽?jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（3）因?yàn)椴淮嬖?，即原?jí)數(shù)不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件，故原級(jí)數(shù)發(fā)散；（4）因?yàn)椋栽?jí)數(shù)絕對(duì)收斂；4. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為，顯然原級(jí)數(shù)只在收斂；（2）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為，顯然原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?；?）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)

11、，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，級(jí)數(shù)發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?jí)數(shù)的和為（2）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。

12、因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?jí)數(shù)的和為（3）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。?jí)數(shù)的和為（4）由于，則原級(jí)數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。由于，而所?. 將下列函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）7. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)展開式：（1）； （2）. 解：（1）（2）(B)1. 討論級(jí)數(shù)的斂散性.解：由于，由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。2. 已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)

13、數(shù)也收斂.反之，若收斂，是否一定收斂？證：由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件有，那么存在充分大的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，成立，于是當(dāng)時(shí)，。則由比較判別法的推論，可知級(jí)數(shù)也收斂。 反之，若收斂，則不一定收斂。例如，級(jí)數(shù)收斂，但調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。3. 已知級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證：由柯西不等式，有，亦即，令，分別是級(jí)數(shù)、和的部分和。由上式，可知成立。由于級(jí)數(shù)和收斂，那么部分和數(shù)列和收斂，因此數(shù)列和有界。而，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列單調(diào)有界。由數(shù)列的單調(diào)有界定理，可知極限存在，所以級(jí)數(shù)收斂，亦即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。4. 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.解：原級(jí)數(shù)，則，級(jí)數(shù)的收率半徑為。 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂半徑為，收斂域?yàn)椤?. 將函數(shù)展開為x的冪級(jí)數(shù)，并求其收斂域.解